第三章　§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大.
题型一　分离参数求参数范围
例1　已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间与极值；
当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以当x＝0时，函数f(x)有极小值f(0)＝0，无极大值.即f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，极小值为0，无极大值.
(2)若f(x)≤x2在(0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围.
因为f(x)≤x2在(0，＋∞)上有解，所以ex－x2－ax－1≤0在(0，＋∞)上有解，
由(1)知当a＝1，x>0时，f(x)>f(0)＝0，即ex－(x＋1)>0，
所以当00时，f′(x)0，可得e≤xg(e)＝0，与题意不符，综上，实数m的取值范围为(－∞，1].
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解.
(1)当a＝1时，求f(x)的极值；
令f′(x)>0，得x>1，令f′(x)g(x)max.
(1)求函数f(x)的单调区间；
因为a>0，所以令f′(x)>0，得0