备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题29求数列的通项公式10题型分类(原卷版+解析)

这是一份备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题29求数列的通项公式10题型分类(原卷版+解析)，共92页。试卷主要包含了数列的通项公式，数列的递推公式等内容，欢迎下载使用。

1.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式，就能求出这个数列的每一项．
一、单选题
1．（2024高二上·浙江嘉兴·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．17B．37C．107D．128
2．（2024·海南·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为，则（ ）
A．650B．1050C．2550D．5050
3．（2024·吉林·三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22B．24C．25D．26
4．（2024·吉林通化·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，，，，构成数列，其前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024高三·全国·对口高考）数列1，3，7，15，……的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川南充·模拟预测）已知数列 满足：，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
8．（2024高二·全国·课后作业）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．n
9．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024高二下·河南·期中）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024高三下·安徽·阶段练习）在数列中，且，则它的前项和（ ）
A．B．C．D．
12．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（ ）
A．壬午年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
13．（2024·云南昆明·模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A．B．1C．4043D．4044
14．（2024·云南玉溪·模拟预测）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．D．2
15．（2024高三上·福建龙岩·期末）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99B．103C．107D．198
二、填空题
16．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为 .
17．（2024高三·全国·对口高考）已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为 ．
18．（2024·山东泰安·模拟预测）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是 ．
19．（2024高二上·河南·阶段练习）若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则 .
20．（2024高三上·贵州贵阳·阶段练习）若数列满足，则 .
21．（2024高三·全国·专题练习）数列满足，前16项和为540，则 ．
22．（2024高三·全国·专题练习）数列满足，前16项和为508，则 ．
23．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则的通项公式为 ．
24．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ．
25．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ．
三、解答题
26．（2024高三·全国·专题练习）已知数列，，且对于时恒有，求数列的通项公式．
27．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：求.
28．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是首项为.
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
29．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}中，，，求{an}的通项.
30．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列中，，满足，设为数列的前项和．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．
31．（2024高三·全国·专题练习）在数列{}中，求通项公式．
32．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
33．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
34．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，求．
35．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的通项公式．
36．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
37．（2024·江苏南通·模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
38．（2024·广东潮州·二模）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
39．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
40．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和满足．
(1)写出数列的前3项；
(2)求数列的通项公式．
41．（2024·河北衡水·三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
42．（2024·海南海口·一模）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.
43．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，.证明：是等比数列.
44．（2024高三·全国·专题练习）已知是各项都为正数的数列，为其前n项和，且，，
(1)求数列的通项；
(2)证明：.
45．（2024高三下·河北石家庄·阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
46．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知是数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
47．（2024高三·全国·专题练习）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
48．（2024·河北沧州·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
49．（2024·江西·三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
50．（2024高三·全国·专题练习）记为数列的前项和．已知．证明：是等差数列；
51．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）为数列的前n项积，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式．
52．（2024·湖北·模拟预测）已知数列的前n项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的最大值．
53．（2024高三下·陕西西安·阶段练习）已知数列的前n项积.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项为，求的最小值.
54．（2024高三上·江苏·阶段练习）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
55．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的通项公式．
56．（2024高三·全国·专题练习）数列满足：，求通项.
57．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：，求此数列的通项公式.
58．（2024·山东·模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，求的最小值．
59．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足，且
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
60．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项积为，求和.
61．（2024高三上·安徽·阶段练习）已知正项数列满足：，，.
（1）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（2）若，设，，求数列的前项和.
62．（2024高二·江苏·专题练习）已知正项数列满足，设．
(1)求，；
(2)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(3)的通项公式，并求其前项和为．
63．（2024高三·福建福州·阶段练习）已知正项数列满足且．
（I）证明数列为等差数列；
（II）若记，求数列的前项和．
64．（2024高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
65．（2024·四川·一模）已知数列的各项均为正数，且满足.
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和.
66．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，设，求数列的通项公式.
67．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，且，求其通项公式
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
（一）
观察法
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考虑各项的变化规律与序号的关系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
题型1：观察法
1-1．（2024·湖南长沙·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球．

A．12B．20C．55D．110
1-2．（2024·辽宁·三模）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．存在正数，使得恒成立D．
1-3．（2024高二上·山东聊城·期中）若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（ ）
A．B．C．D．
71．（2024高三上·河北唐山·期中）若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（ ）
A．B．
C．D．
（二）
1.累加法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
2.累乘法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
题型2：累加法
2-1．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2-2．（2024·新疆喀什·模拟预测）若，则（ ）
A．55B．56C．45D．46
2-3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的通项为( )
A．B．
C．D．
2-4．（2024·四川成都·模拟预测）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型3：累乘法
3-1．（2024高二·全国·课后作业）数列中，，（为正整数），则的值为（ ）
A．B．C．D．
3-2．（2024高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知 ， 则 （ ）
A．506B．1011C．2022D．4044
3-3．（2024高一下·青海西宁·阶段练习）已知数列满足，且，则( )
A．B．C．D．
（三）
待定系数法
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：求出 ，再可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再求出．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在通过累加法，求出之后得．
题型4：待定系数法
4-1．（2024·四川乐山·三模）已知数列满足，，则 ．
4-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知：，时，，求的通项公式．
（四）
同除法
对于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均为常数)型
方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn ),将递推关系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn )解得x＝ eq \f(c,p－q),则由原递推公式构造出了an＋1＋ eq \f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋ eq \f(c,p－q)·qn )，而数列{an＋ eq \f(c,p－q)·qn}是以a1＋ eq \f(c,p－q)·q为首相以为公比的等比数列。（注：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效）
方法二：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以,则有 eq \f(an+1,pn+1) ＝ eq \f(an,pn) ＋ eq \f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。
方法三：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以qn+1，则有，然后利用待定系数法求解。
题型5：同除法
5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
5-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
（五）
取倒数法
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
题型6：取倒数法
6-1．（2024高三·全国·对口高考）数列中，，，则 ．
6-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项.
6-3．（2024高三·全国·专题练习）设，数列满足，，求数列的通项公式．
（六）
取对数法
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
题型7：取对数法
7-1．（2024高三·全国·专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式．
7-2．（2024高三·全国·专题练习）设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有．
（七）
已知通项公式与前项的和关系求通项问题
对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．
简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．
题型8：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
8-1．（2024·青海西宁·二模）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
8-2．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前项和为，若，且，，则的值为
A．－8B．6C．－5D．4
8-3．（2024·陕西渭南·二模）已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为 .
8-4．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)已知，，求数列的前20项和.
（八）
周期数列
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
题型9：周期数列
9-1．（2024高二上·黑龙江·期中）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
9-2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
9-3．（2024高二上·河南周口·阶段练习）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
9-4．（2024高二上·吉林·期末）已知数列满足：，，，，则（ ）.
A．B．C．1D．2
（九）
前n项积型
类比前项和求通项过程：
（1），得
（2）时，
题型10：前n项积型
10-1．（2024·福建南平·模拟预测）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
10-2．（2024高二上·山东威海·期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)求，；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的通项公式．
10-3．（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
专题29 求数列的通项公式10题型分类
1.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式，就能求出这个数列的每一项．
一、单选题
1．（2024高二上·浙江嘉兴·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．17B．37C．107D．128
【答案】C
【分析】根据题意可得既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，从而可求得数列的通项，即可得解．
【详解】∵能被3除余2且被7除余2，∴既是3的倍数，又是7的倍数，
即是21的倍数，且，∴，
即，∴．
故选：C．
2．（2024·海南·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为，则（ ）
A．650B．1050C．2550D．5050
【答案】A
【分析】观察数列各项得出是等差数列，计算求和即可.
【详解】由条件观察可得：，即，所以是以2为首项，2为公差的等差数列.
故，
故选：A
3．（2024·吉林·三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22B．24C．25D．26
【答案】B
【分析】根据观察归纳出为奇数，为偶数数，即可求解.
【详解】设该数列为，
当为奇数时，
所以为奇数；
当为偶数时，
所以为偶数数；
所以，
故选:B.
4．（2024·吉林通化·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，，，，构成数列，其前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数列的前4项，归纳出数列的通项，即可用裂项相消法求其前n项和为，即可得的值.
【详解】由题意可知，
则，
所以其前n项和为：
，
则.
故选：B.
5．（2024高三·全国·对口高考）数列1，3，7，15，……的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由前4项得到，再利用累加法求解．
【详解】依题意得，，，
所以依此类推得，
所以．
又也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是．
故选：C．
6．（2024·四川南充·模拟预测）已知数列 满足：，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由得到，结合，得到，从而得到，再利用累加法得到，结合等比数列求和公式求出的值.
【详解】，，
∴，，
∴，
又，故，
所以，
所以，
故，
则，
所以.
故选：C．
7．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
【答案】C
【分析】根据递推关系化简后，由累乘法直接求.
【详解】，
，
即，
可得，
.
故选：C.
8．（2024高二·全国·课后作业）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．n
【答案】D
【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据，利用数列的通项和前n项和的关系，得到，再利用累乘法求解.
【详解】解：由①
②，
①②得：，
即：，
所以，
所以
故选：．
10．（2024高二下·河南·期中）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【详解】解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：．
11．（2024高三下·安徽·阶段练习）在数列中，且，则它的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用累乘法求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法可求得的值.
【详解】，，，
因此，.
故选：A.
【点睛】结论点睛：常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
12．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（ ）
A．壬午年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
【答案】A
【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合，，分别求出100年后天干为壬，地支为午，得到答案.
【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于，余数为0，故100年后天干为壬，
由于，余数为4，故100年后地支为午，
综上：100年后的2122年为壬午年.
故选：A
13．（2024·云南昆明·模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A．B．1C．4043D．4044
【答案】A
【分析】由递推式得到，从而得到，由此再结合即可求得的值.
【详解】由得，
两式相加得，即，故，
所以.
故选：A．
14．（2024·云南玉溪·模拟预测）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.
【详解】由得
，
所以数列的周期为3，所以．
故选：B
15．（2024高三上·福建龙岩·期末）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99B．103C．107D．198
【答案】B
【分析】根据递推公式，构造新数列为等比数列，求出数列通项，再并项求和，将用表示，再结合通项公式，即可求解.
【详解】由得，
∴为等比数列，∴，
∴，，
∴，
①为奇数时，，；
②为偶数时，，，
∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解，
综上所述，.
故选：B.
【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题.
二、填空题
16．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】依题意可得，即可得到是为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.
【详解】因为，
设，即，
根据对应项系数相等则，解得，故，
所以是为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
故答案为：
17．（2024高三·全国·对口高考）已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用构造法及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解.
【详解】由，得，即
由所以，
于是数列是以首项为，公比为的等比数列，
因此，即，
当时，,此式满足，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
18．（2024·山东泰安·模拟预测）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是 ．
【答案】
【分析】由题意可证得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出，再由与的关系求出的通项公式
【详解】，，且，
，是以为首项，为公比的等比数列．
，．
时，，
且不满足上式，所以．
故答案为：.
19．（2024高二上·河南·阶段练习）若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则 .
【答案】
【分析】由n＝1，2，3，4，5，6，分别求出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，然后总结规律，求出a2014．
【详解】由 得a3＝2，
a2＝a3＝2，
由，得a4＝4，
由，得a5＝4，
a4＝a5＝4，
由，得a6＝8，
由，得a7＝8．
a6＝a7＝8…
由此可知a2018＝a2019
故答案为：．
【点睛】本题考查了数列递推式，解答此题的关键在于分析出数列的项规律出现，是中档题．
20．（2024高三上·贵州贵阳·阶段练习）若数列满足，则 .
【答案】
【分析】先对化简得，从而可求得
【详解】因为，
所以
.
故答案为：
21．（2024高三·全国·专题练习）数列满足，前16项和为540，则 ．
【答案】-2
【分析】分为奇数与偶数两种情况，分别求得前16项中奇数项和偶数项的和，再根据偶数项与的关系求解即可
【详解】因为数列满足，
当为奇数时，，
所以，，，，
则，
当为偶数时，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因为前16项和为540，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
22．（2024高三·全国·专题练习）数列满足，前16项和为508，则 ．
【答案】3
【分析】根据,讨论n的奇偶性，可分别得到当为奇数时有，当为偶数时，从而结合前16项和为508，可得，结合列出等式，即可求得答案.
【详解】由，
当为奇数时，有，
可得，
，
累加可得；
当为偶数时，，
可得，，，．
可得．
,
，
，即．
故答案为：3．
23．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则的通项公式为 ．
【答案】
【分析】根据递推公式构造得到数列是等比数列，根据等比数列求通项公式.
【详解】，①．②
由得．
又因为，所以是公比为，首项为的等比数列，从而，即．
故答案为：
24．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式.
【详解】设，令得：，解得：；
，化简得，，
所以，从而，
故，
又，所以是首项和公差均为的等差数列，
从而，故．
故答案为：
25．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【分析】首先求不动点，将已知等式两侧与不动点作差，再化简得到为等差数列，进而求通项公式.
【详解】设，令得：，解得：；
，化简得：，
所以，从而，又，
所以是首项为，公差为1的等差数列，故，
所以．
故答案为：
三、解答题
26．（2024高三·全国·专题练习）已知数列，，且对于时恒有，求数列的通项公式．
【答案】．
【分析】将递推关系变形为，结合即可求解.
【详解】因为，所以，又因为，
所以数列是常数列0，所以，所以 ．
27．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：求.
【答案】
【分析】等号两边同时加上，构造等比数列求解即可.
【详解】因为
所以两边同时加上得：，
所以，当时，
故，故，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
于是
28．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是首项为.
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，解得，得到是首项为，公比为的等比数列，得到通项公式.
（2）确定，再利用分组求和结合等差等比数列求和公式计算得到答案.
【详解】（1），设，
即，即，解得，
，故是首项为，公比为的等比数列.
，故.
（2），则
.
29．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}中，，，求{an}的通项.
【答案】an=1+
【分析】
利用特征方程法求数列通项，计算即可.
【详解】∵{an}的特征函数为：，
由，
∴
∴数列{an-1}是公比为的等比数列，
∴an-1=an=1+.
30．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列中，，满足，设为数列的前项和．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，公比为的等比数列，即可求出其通项公式；
（2）利用分组求和法求出，依题意可得对于任意正整数恒成立，参变分离可得，令，求出，即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，所以．
（2）因为，
所以
，
若对于恒成立，即，
可得即对于任意正整数恒成立，
所以，令，则，
所以，可得，所以，
所以的取值范围为．
31．（2024高三·全国·专题练习）在数列{}中，求通项公式．
【答案】
【分析】构造新数列，利用等比数列的性质求得其通项公式，进而求得数列{}通项公式.
【详解】可化为：．
又
则数列是首项为，公比是2的等比数列．
∴，则．
所以数列{}通项公式为
32．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】构造新数列，并利用等比数列的性质求得其通项公式，进而求得数列的通项公式．
【详解】由，可得
又，
则数列是以为首项，2为公比的等比数列，
则，故．
则数列的通项公式为.
33．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】解法一：利用待定系数法可得，即可得到是首项为，公比为的等比数列，从而求出其通项公式；
解法二：两边同时除以得，再利用构造法计算可得；
【详解】解法一：因为，
设，
所以，
则，解得，
即，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：因为，两边同时除以得，
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，所以.
34．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，求．
【答案】
【分析】将已知关系式变形为，两边同除以可得，记，则，再构造等比数列可求解.
【详解】由已知关系式得,
所以数列是以为首项，公比为3得等比数列，故，
所以
35．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的通项公式．
【答案】．
【分析】将已知式子变形为，进而根据等比数列的定义求得答案．
【详解】，，则，
则，
，所以是以2为首项，2为公比的等比数列．
于是，．
36．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】根据等差数列的定义可得答案.
【详解】为等差数列，
首项，公差为，
.
37．（2024·江苏南通·模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）两边同时取到数，构造等比数列求解即可；
（2）放缩法证明不等式即可.
【详解】（1）因为，，故，
所以，整理得．
又，，，
所以为定值，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，得.
（2）因为，
所以．
38．（2024·广东潮州·二模）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推公式证明为定值，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即可得解；
（2）由，得，则，则，再利用裂项相消法求出数列的前项和，即可得证.
【详解】（1）因为，所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以；
（2）由，得，
则，
所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以.
39．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，由结合可以得到，从而由等比数列的定义直接写出通项公式即可.
（2）由题意，直接由错位相减法结合等比数列前项和的公式计算即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，故，
故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
故.
（2）由（1）得，
所以由题意，
故，
则，
故
，
则.
40．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和满足．
(1)写出数列的前3项；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)，，
(2)．
【分析】（1）由递推关系即可求解，
（2）由的关系，即可得到，进而可证明为等比数列，即可求解.
【详解】（1）由，得．
由，得，
，得．
（2）当时，有，即 ①
令，则，与①比较得，，
是以为首项，以2为公比的等比数列．
，故．
41．（2024·河北衡水·三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据与的关系化简，可得，由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求出，再由累乘法求解.
【详解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式两边同时除以，得．
又，所以，即，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
42．（2024·海南海口·一模）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由与的关系式即可证得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式；
（2）由等差数列的前n项和公式求出，再由裂项相消法可证明，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）∵，∴
当时，，解得.
当时，，
即，
∵，∴，
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴.
（2）因为，所以
∴当时， ，
∴
，
∴，
∴实数的取值范围为.
43．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，.证明：是等比数列.
【答案】证明见解析
【分析】记，令，求出不动点，可得，从而可得结果.
【详解】由，当n1时，可得14；
当时，anSnSn15an5an11，
即，即，
记，令，求出不动点，
故，又1 15 ≠0，
∴数列{an1}是以为首项，以为公比的等比数列．
44．（2024高三·全国·专题练习）已知是各项都为正数的数列，为其前n项和，且，，
(1)求数列的通项；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）法一，利用，结合完全平方公式求得，进而得到是等差数列，从而求得，由此得解；
法二：利用，结合完全平方公式与构造法得到，进而求得，再利用求根公式即可得解；
（2）利用放缩法与裂项求和法即可得解.
【详解】（1）法一：
因为，
所以当时，，
所以，，
两式相减可得，又，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，即，
故当时，，
经检验，当时，满足上式，
所以.
法二：
因为，
所以当时，，
故，等号两边平方得，
设，则，又，，
所以是首项为，公差为的等差数列，
故，即，则，
故，则，解得或，
当时，，则，而，矛盾，舍去，
当时，经检验，满足题意，故.
（2）由法一易知，
由法二易得，
故由（1）得，
，
所以，命题得证.
45．（2024高三下·河北石家庄·阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据的关系作差可得，进而由递推法可得，
（2）根据等比中项，结合等差中项，即可得矛盾求解.
【详解】（1）由题意，，在数列中，当时，成等差数列，所以，即，
所以时，，又由知时，成立，
即对任意正整数均有，
所以，从而，
即数列的通项公式为：.
（2）由题意及（1）得，，在数列中，，所以.
假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，
即，化简得，
因为成等差数列，所以，所以，化简得，
又，所以，即，所以，所以，这与题设矛盾，所以假设不成立，
所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
46．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知是数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）结合（1）的结论，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴是以、公比为2的等比数列，
∴.
（2）由（1）知，，
当时，.
当时，，①
∴，②
①-②得，，
∴，当时，也适合，
∴.
47．（2024高三·全国·专题练习）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，由可得出，两式作差推导出，然后利用累乘法可求得数列的通项公式；
（2）证法一：利用放缩法推导出，再结合等比数列求和公式可证得结论成立；
证法二：利用放缩法推导出，再结合裂项法可证得结论成立.
【详解】（1）解：对任意的，
当时，，两式相减．
整理得，
当时，，
也满足，从而．
（2）证明：证法一：因为，
所以，
．
从而；
证法二：因为，
所以，
，证毕.
48．（2024·河北沧州·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和与项的关系可得，由可得，再利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）根据的周期性，利用分组求和的方法即可求解.
【详解】（1），
当时，，两式子作差可得
，
又，所以，
可得数列为公差为2 的等差数列，
当时，，
所以，数列的通项公式为.
（2），
，
所以，数列的前项和.
49．（2024·江西·三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系即可求出结果；
（2）利用错位相减法即可求出结果.
【详解】（1），
两式相减得：，
由于，则，
当时，，得，
，则，
所以是首项和公差均为2的等差数列，故．
（2）①
所以②
由得：，
所以
．
50．（2024高三·全国·专题练习）记为数列的前项和．已知．证明：是等差数列；
【答案】证明见解析
【分析】根据和的关系化简递推关系即可证明.
【详解】证明：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，
所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
51．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）为数列的前n项积，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由与的关系，把已知式中换成的关系式，然后可配出等比数列的比值；
（2）由（1）求得后，代入已知可得或由与的关系求解．
【详解】（1）证明： 由已知条件知 ①,
于是． ②,
由①②得． ③ ，
又 ④，
由③④得，所以 ，
令，由，得，，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列．
，
法1：时，，
又符合上式，所以；
法2：将代回得：．
52．（2024·湖北·模拟预测）已知数列的前n项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用即项与和的关系方法求得，再利用求得；
（2）再由定义求得，并利用作差法得出是递减的，从而易得最大值．
【详解】（1）∵①，∴②，
由①②可得，由①也满足上式，∴③，
∴④，由③④可得，
即，∴，∴．
（2）由（1）可知，则，
记，
∴，
∴，
∴，即单调递减，
∴的最大值为．
53．（2024高三下·陕西西安·阶段练习）已知数列的前n项积.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数列的前项积为，可知，结合递推公式，即可求出结果.
（2）由（1）求出，证明数列为等差数列，求和后配方求最小值即可.
【详解】（1）.
当时，；
当时，，也符合.
故的通项公式为.
（2），
，
是以为首项，2为公差的等差数列，
，
当时，的最小值为.
54．（2024高三上·江苏·阶段练习）已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由及可得，由等差数列的定义即可证得数列是等差数列；
（2）由（1）可得，从而有，从而由已知可得时，，进而可得时，，检验即可得答案.
【详解】解：（1）证明：，.
，
是等差数列.
（2）由（1）可得，.
时，；
时，.
而，，，均不满足上式.
（）.
55．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的通项公式．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)由题意可得，结合即可得到是公差等差数列；
(2)由（1）得，进而得到，结合和即可得出结果.
【详解】解析：（1）将代入，得，
整理得．
当时，得，所以数列是以为首项，为公差等差数列．
所以．
（2）由（1）得，代入，可得．
当时，；
当时，
所以．
56．（2024高三·全国·专题练习）数列满足：，求通项.
【答案】
【分析】根据递推关系求得当时，，分奇偶项进行讨论即可求出结果.
【详解】因为，
所以当时，，
当时，，
两式相减得：，
构成以为首项，2为公差的等差数列；
构成以为首项，2为公差的等差数列，
，
，
57．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：，求此数列的通项公式.
【答案】.
【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类讨论，借助等比数列的通项公式求解作答.
【详解】在数列中，由，得，当时，，
两式相除得：，因此数列构成以为首项，为公比的等比数列；
数列构成以为首项，为公比的等比数列，于是，
所以数列的通项公式是.
58．（2024·山东·模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)95
【分析】（1）先利用数列的递推公式求得与的关系，然后用构造法构造等比数列可解；
（2）利用（1）中通项公式可表示出相邻奇数项，并项求和可得，解不等式可知，再由求出即可得答案.
【详解】（1）由题意知当时，．
设，则，所以，即．
又．
所以是首项为4，公比为2的等比数列．
所以．即．
（2）当为偶数时，，即
，
令．则可解得．即．
又因为
故的最小值为95．
59．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足，且
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）通过构造得，则可得到的通项；
（2）利用等比数列求和公式得，通过作差得，，则得到是一个增数列，计算即可得到答案.
【详解】（1）因为
所以，，，所以．
又因为，所以，所以．
因为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
即，
所以，
又因为，所以，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
又因为，所以，
即，所以，
所以，
因为，
，
所以是一个增数列，
因为，，
所以满足题意的n的最小值是20．
60．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在数列中，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项积为，求和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)，
【分析】（1）由条件变形化简，利用等比数列的定义证明即可；
（2）结合（1）得，计算乘积即可.
【详解】（1）由题意可得：，
是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以
是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由上可得：，
同理.
61．（2024高三上·安徽·阶段练习）已知正项数列满足：，，.
（1）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（2）若，设，，求数列的前项和.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.
【分析】（1）把已知等式左边因式分解，由数列为正项数列得，但需对讨论，，不是等比数列，否则是等比数列；
（2）由（1）求得，即可得，用分组求和法求和．
【详解】解：（1）∵，
又是正项数列，可得，∴，
∴当时，数列不是等比数列；
当时，易知，故，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2.
（2）由（1）知，，，
∴.
【点睛】本题考查等比数列的判断，考查分组求和法，数列中由递推公式不能说明数列是等比数列，加上条件才可得是等比数列．
62．（2024高二·江苏·专题练习）已知正项数列满足，设．
(1)求，；
(2)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(3)的通项公式，并求其前项和为．
【答案】(1)，
(2)是，理由见解析
(3)，
【分析】（1）对等式进行因式分解可得递推关系，判断数列为等比数列，得到通项公式，代入求出的通项公式，即可求出结果；
（2）由（1）中的通项公式作差即可证明；
（3）由等差数列前项和公式可求出结果.
【详解】（1），当时，，，
可得，
则或，因为为正项数列，所以.
数列为首项为1，公比为2的等比数列，
可得；
，
，；
（2）数列为等差数列，理由：，
则数列为首项为0，公差为1的等差数列；
（3），
前项和为．
63．（2024高三·福建福州·阶段练习）已知正项数列满足且．
（I）证明数列为等差数列；
（II）若记，求数列的前项和．
【答案】（I）证明见解析；（II）．
【详解】试题分析：（I）将原式变形得，利用累乘法得：，是以为首项，以为公差的等差数列；（II）由（I）知．
试题解析：（I）证明：将原式变形得：，………………2分
由于为正项数列，故有：，利用累乘法得：．
从而得知：数列是以为首项，以为公差的等差数列．．………………6分
（II）由（I）知，………………9分
从而
．………………12分
考点：1、等差数列；2、累积法；3、裂项相消法．
【方法点晴】本题考查等差数列、累积法和裂项相消法，涉及转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合性较高，属于较难题型．第二小题利用转化化归思想将原式变形得，利用累乘法得：可得是等差数列．第二小题利用裂项相消法即可求得正解．
64．（2024高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据递推式，令n=1，可求得；将整理变形可得，利用，即可求得数列的通项公式；
（2）由可确定的表达式，进而可得的表达式，讨论n的奇偶性，求得数列的前项和为.
【详解】（1），
当时，，，
解得．
又，，
，
当时，，
当时上式也成立，
．
（2）数列满足，且．
,
，
当为偶数时，数列的前项和为
．
当为奇数时，数列的前项和为
,
当时也成立，
．
65．（2024·四川·一模）已知数列的各项均为正数，且满足.
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；.；（2）
【解析】（1）根据题意，知，且，令和即可求出，，以及运用递推关系求出的通项公式；
（2）通过定义法证明出是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前项和公式，即可求得的前项和.
【详解】解：（1）由题可知，，且，
当时，，则，
当时，，，
由已知可得，且，
∴的通项公式：.
（2）设，则，
所以，，
得是首项为8，公比为4的等比数列，
所以数列的前项和为：
，
即，
所以数列的前项和：.
【点睛】本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式，考查计算能力.
66．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，设，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】记，令，求出不动点，得到，则是等比数列，求出，进而可得答案.
【详解】依题，
记，令，求出不动点；
由定理2知：
，
；
两式相除得到，
∴是以为公比，为首项的等比数列，
∴，
从而．
67．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，且，求其通项公式．
【答案】
【分析】根据特征方程解出，令，得到，利用取倒数法求出，即可求出的通项公式．
【详解】因为，
所以特征方程为，解得,
令，代入原递推式得,
因为，所以，
故,
因此，，从而,
又因为，所以
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
（一）
观察法
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考虑各项的变化规律与序号的关系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
题型1：观察法
1-1．（2024·湖南长沙·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球．

A．12B．20C．55D．110
【答案】C
【分析】把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解.
【详解】由题意知：
，
，
，
，
所以.
故选：C
1-2．（2024·辽宁·三模）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．存在正数，使得恒成立D．
【答案】D
【分析】A选项，分析出为公比为7的等比数列，求出；B选项，从图中求出；C选项，分析出为等比数列，公比为，求出通项公式，由数列的单调性分析出答案；D选项，分析出图n中的小正六边形的个数，每个小正六边形的边长，从而求出面积.
【详解】A选项，图1中正六边形的个数为1，图2中正六边形的个数为7，
由题意得为公比为7的等比数列，所以，故，A错误；
B选项，由题意知，，，B错误；
C选项，为等比数列，公比为，首项为6，故，
因为，所以单调递增，不存在正数，使得恒成立，C错误；
D选项，分析可得，图n中的小正六边形的个数为个，每个小正六边形的边长为，故每个小正六边形的面积为，
则，D正确.
故选：D
1-3．（2024高二上·山东聊城·期中）若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用观察归纳法求出通项公式.
【详解】因为数列的前4项分别是，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，
所以对照四个选项，正确.
故选：D
71．（2024高三上·河北唐山·期中）若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及分子分母的取值的规律，即可找出数列的通项公式.
【详解】通过观察数列的前6项，可以发现有如下规律：
且奇数项为正，偶数项为负，故用表示各项的正负；
各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，
而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，
故第n项的绝对值是，
所以数列的通项可为，
故选：D
（二）
1.累加法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
2.累乘法：形如的解析式
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
题型2：累加法
2-1．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用递推公式可得相邻两项前后项之差，再利用累加法可得通项，最后裂项相消求和即可.
【详解】因为，故可得，，…，，及累加可得，
则，所以，
则．
故选：B．
2-2．（2024·新疆喀什·模拟预测）若，则（ ）
A．55B．56C．45D．46
【答案】D
【分析】在数列递推式中依次取，得到个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案.
【详解】由，
得，，
，，，
累加得，
，
当时，上式成立，
则，
所以.
故选：D
2-3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的通项为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先把，利用累加法和裂项相消法可求答案.
【详解】因为，所以，则当时，，
将个式子相加可得，
因为，则，当时，符合题意，
所以.
故选：D.
2-4．（2024·四川成都·模拟预测）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用累加法求得的通项公式，再运用裂项相消法求和即可.
【详解】解：当时，由累加法可得：，
所以（），
又因为，
所以（），
当时，，符合，
所以（），
所以，
所以．
故选：A.
题型3：累乘法
3-1．（2024高二·全国·课后作业）数列中，，（为正整数），则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出，进而可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A
3-2．（2024高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知 ， 则 （ ）
A．506B．1011C．2022D．4044
【答案】D
【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可.
【详解】解：，
，
，，
，，
显然，当时，满足，
∴，
.
故选：D.
3-3．（2024高一下·青海西宁·阶段练习）已知数列满足，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简数列的关系式，利用累乘法求解数列的通项公式即可．
【详解】数列满足，且，
∴，，
∴，，，，
累乘可得：，
可得：．
故选：D﹒
（三）
待定系数法
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：求出 ，再可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再求出．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在通过累加法，求出之后得．
题型4：待定系数法
4-1．（2024·四川乐山·三模）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【分析】凑配法得出数列是等比数列，由等比数列的通项公式可得结论．
【详解】由得，又，
所以，即是等比数列，
所以，即．
故答案为：．
4-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】解法一：利用待定系数法可得，结合等比数列分析运算；解法二：整理得，结合等比数列分析运算；解法三：整理得，根据累加法结合等比数列求和分析运算.
【详解】解法一：设，整理得，可得，
即，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：，
整理得，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，
当时，则
，
故，
显然当时，符合上式，故.
故答案为：.
4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知：，时，，求的通项公式．
【答案】
【分析】构造等比数列，即可由等比数列的性质求解.
【详解】设，所以，
∴ ，解得：，
又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列，
∴ ，∴ ．
（四）
同除法
对于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均为常数)型
方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn ),将递推关系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn )解得x＝ eq \f(c,p－q),则由原递推公式构造出了an＋1＋ eq \f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋ eq \f(c,p－q)·qn )，而数列{an＋ eq \f(c,p－q)·qn}是以a1＋ eq \f(c,p－q)·q为首相以为公比的等比数列。（注：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效）
方法二：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以,则有 eq \f(an+1,pn+1) ＝ eq \f(an,pn) ＋ eq \f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。
方法三：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以qn+1，则有，然后利用待定系数法求解。
题型5：同除法
5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】构造新数列，并求得其通项公式，进而求得数列的通项公式．
【详解】将两边除以，
得，则，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，
∴数列的通项公式为．
5-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】先将条件变形为，再利用累加法即可求得数列的通项公式.
【详解】两边除以，得
，则，故
，
，
则数列的通项公式为．
（五）
取倒数法
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
题型6：取倒数法
6-1．（2024高三·全国·对口高考）数列中，，，则 ．
【答案】
【分析】先两边取倒数，再构造等差数列即可求解．
【详解】由，，可得，
所以，即(定值)，
故数列以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，所以．
故答案为：．
6-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项.
【答案】
【分析】取倒数后得到是等差数列，求出，得到通项公式.
【详解】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，
，
∴.
6-3．（2024高三·全国·专题练习）设，数列满足，，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】将递推得到两边取倒数得到，令，则，当时是等差数列，求出通项公式进而求出的通项公式；当时利用构造法求出通项公式进而求出的通项公式．
【详解】，，两边取倒数得到，
令，则，
当时，，，，
数列是首项为，公差为的等差数列．
，，．
当时，，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
，
，
，
，
，
（六）
取对数法
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
题型7：取对数法
7-1．（2024高三·全国·专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】在等式两边取对数可得，可得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项，即可得出数列的通项公式.
【详解】对任意的，，
因为，则，
所以，，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，解得.
7-2．（2024高三·全国·专题练习）设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有．
【答案】证明见解析
【分析】变换得到，考虑和两种情况，确定是首项为，公比为的等比数列，计算通项公式得到证明.
【详解】恒成立，，则，
则，，
当时，，故，即，
取，满足；
当且时，是首项为，公比为的等比数列，
故，即，
故，
故，取，得到恒成立.
综上所述：存在常数，使得对于任意的，都有．
（七）
已知通项公式与前项的和关系求通项问题
对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．
简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．
题型8：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
8-1．（2024·青海西宁·二模）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
【答案】C
【分析】利用化简可得出，则可求出答案.
【详解】当时， ，
当时，由得，
两式相减可得
，即，
所以，可得，
所以.
故选：C.
8-2．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前项和为，若，且，，则的值为
A．－8B．6C．－5D．4
【答案】C
【分析】利用，可得，通过构造等比数列，求得的通项公式，进而可以求出的值.
【详解】对于，
当时有，即
，
，
两式相减得：
，
由可得
即从第二项起是等比数列，
所以，
即，
则，故，
由可得，
故选C.
【点睛】本题考查递推式求通项公式，关键是要通过观察递推式构造出等比数列，利用等比数列来解决问题，本题难度较大，对学生的计算能力要求较高.
8-3．（2024·陕西渭南·二模）已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为 .
【答案】
【分析】先由 ，求得 ，进而得出，再按照裂项相消求和.
【详解】在数列中，又，且，
两式相除得，，
∴数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则，∴ ，
当，，
当时，，也满足上式，
∴数列的通项公式为，
则，
数列的前2023项和为.
故答案为：
8-4．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)已知，，求数列的前20项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，将替换，然后两式相减作差即可得到结果；
（2）根据题意，由分组求和法，分别求出奇数项和与偶数项和，即可得到结果.
【详解】（1）当时，可得，
当时，，
，
上述两式作差可得，
因为满足，所以的通项公式为.
（2），，
所以，
.
所以数列的前20项和为.
（八）
周期数列
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
题型9：周期数列
9-1．（2024高二上·黑龙江·期中）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据递推关系逐步代入可发现数列是一个周期数列，即可得出答案．
【详解】，，
，，，，，
数列是以为周期的周期数列．
又，
．
故选：B．
9-2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据首项和递推公式，，发现数列是以3为周期的周期数列，然后逐项分析各选项；
【详解】∵，，∴，故A错误；
，，
∴数列是以3为周期的周期数列，∴，故B错误；
∵，，
∴，故C正确；
，故D错误．
故选：C．
9-3．（2024高二上·河南周口·阶段练习）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据递推公式得到为周期为3的数列，从而得到.
【详解】，则，，，……，
故为周期为3的数列，
因为，所以.
故选：D
9-4．（2024高二上·吉林·期末）已知数列满足：，，，，则（ ）.
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】把递推关系式里的换成，结合得到
，然后把上式的的换成得到周期.
【详解】
即
又
是以为周期的周期数列.
故选：C
（九）
前n项积型
类比前项和求通项过程：
（1），得
（2）时，
题型10：前n项积型
10-1．（2024·福建南平·模拟预测）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合前n项积的意义求解作答.
（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求解作答.
【详解】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，
即，当时，有，两式相除得，，
显然，即，因此当时，，即，
所以数列的通项公式.
（2）设的前项和为，由（1）得，，于是，
因此，
则，
所以数列前项和为.
10-2．（2024高二上·山东威海·期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)求，；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的通项公式．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接令中的，可得答案；
（2）通过得到，两式相除整理后可证明数列为等差数列；
（3）当时，通过可得数列的通项公式，注意验证时是否符合.
【详解】（1）由，且，
当时，，得，
当时，，得；
（2）对于①，
当时，②，
①②得，
即，，
又，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得，
，
当时，，
又时，，不符合，
.
10-3．（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）对于数列,根据,利用和的关系求解;对于数列,因为其前项积,根据即可求解;
（2）由（1）知,利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）当时,,
∴,
当时,,
化简得,
∵,∴,
∴数列是首项为,公差为的等差数列,
∴.
当时,,
当时,，当时也满足，
所以.
（2）,
设①,
则②,
①-②得,
∴.