山东省泰安市东平县2024-2025学年上学期七年级期中数学试卷（五四学制）

这是一份山东省泰安市东平县2024-2025学年上学期七年级期中数学试卷（五四学制），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线（ ）
A．笛卡尔心形线B．三叶玫瑰形曲线
C．太极曲线D．蝴蝶形曲线
2．（4分）下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．B．﹣3，﹣4，﹣5
C．9，40，41D．0.9，1.2，1.5
3．（4分）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．（4分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，则∠α的度数为（ ）
A．45°B．35°C．30°D．25°
6．（4分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D
7．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，沿过点A的直线折叠，再次折叠，使点C与点D重合，则AE的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）如图，F是△ABC的重心，连接AF并延长交BC于D，则四边形CDFE的面积是（ ）
A．2B．5C．3D．4
9．（4分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，点G，H在BC边上，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，则∠EMF的度数为（ ）
A．59°B．58°C．57°D．56°
10．（4分）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．∠BAQ＝40°B．DE＝BDC．AF＝ACD．∠EQF＝25°
11．（4分）如图，四边形ABCD是长方形地面，长AB＝10m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走（ ）
A．13mB．mC．5mD．12m
12．（4分）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.只要求填写最后结果.）
13．（4分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 ．
14．（4分）如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，AB＝25m，BC＝20m m2．
15．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，且AD＝DE＝EB，那么∠A＝ °．
16．（4分）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，若PC＝12，则PD等于 ．
17．（4分）如图，等边三角形ABC的边长为4cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时 s．
18．（4分）在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c），根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…，分析上面勾股数组可以发现（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），第6个勾股数组为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分。写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）
19．（10分）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B
（1）作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'；
②在直线l上找一点D，使△ABD的周长最小；
（2）求出△A'B'C'的面积．
20．（10分）如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD长为半径画弧，与AB，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
22．（10分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点
（1）求证：AE平分∠DAB，BE平分∠ABC；
（2）若AD＝9，CD＝24，求BE的长．
23．（12分）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：MN∥AB．
24．（12分）综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，请说明理由；若不是
问题解决：
（3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下
25．（14分）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到点E，使DE＝AD 可以判定△ADC≌ ，得出AC＝ ．
这样就能把线段AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系 ．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠EDF＝90°，DE交AB于点E，连接EF．请判断BE，CF，并说明理由．
【问题拓展】
（3）如图3，△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，且∠ADE＝90°，请直接写出AE的长．
2024-2025学年山东省泰安市东平县七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的.）
1．（4分）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线（ ）
A．笛卡尔心形线B．三叶玫瑰形曲线
C．太极曲线D．蝴蝶形曲线
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以不是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（4分）下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．B．﹣3，﹣4，﹣5
C．9，40，41D．0.9，1.2，1.5
【分析】根据勾股数的定义对各选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵，不是整数，
∴，，2不是勾股数；
B、∵﹣3，﹣5不是正整数，
∴﹣6，﹣4，故选项B不符合题意；
C、∵94+402＝412，
∴能构成直角三角形，是勾股数；
D、∵8.9，1.3不是正整数，
∴0.9，7.2，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
3．（4分）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：∵三角形三边长分别为3，x，14，
∴14﹣3＜x＜14+5，即11＜x＜17．
∵x为正整数，x＝12，14，16．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．
4．（4分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的定义，过C点画AB的垂线，即一条直角边与AB重合，另一条直角边经过点C．
【解答】解：用三角板作△ABC的边AB上的高线，摆放位置正确的是．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
5．（4分）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，则∠α的度数为（ ）
A．45°B．35°C．30°D．25°
【分析】延长BC与直线l相交于D，根据两直线平行，内错角相等求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长BC与直线l相交于D，
∵l∥m，
∴∠1＝25°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠α＝60°﹣25°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质并作辅助线得到内错角是解题的关键．
6．（4分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知AB＝DE，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC；
B、已知AB＝DE，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC；
C、已知AB＝DE，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC；
D、已知AB＝DE，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，沿过点A的直线折叠，再次折叠，使点C与点D重合，则AE的长度为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由折叠得∠ADB＝∠B，∠EDC＝∠C，AD＝AB＝2，DE＝CE，则∠ADB+∠EDC＝∠B+∠C＝90°，所以∠ADE＝90°，由勾股定理得22+（3﹣AE）2＝AE2，求得AE＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝2，
∴∠B+∠C＝90°，
由折叠得∠ADB＝∠B，∠EDC＝∠C，DE＝CE，
∴∠ADB+∠EDC＝∠B+∠C＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣（∠ADB+∠EDC）＝90°，
∵AD2+DE7＝AE2，DE＝CE＝3﹣AE，
∴82+（3﹣AE）3＝AE2，
∴AE＝，
故选：B．
【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明∠ADE＝90°是解题的关键．
8．（4分）如图，F是△ABC的重心，连接AF并延长交BC于D，则四边形CDFE的面积是（ ）
A．2B．5C．3D．4
【分析】根据重心的概念，得到AD，BE是△ABC的中线，故可得，进而推出△ABF的面积和四边形CDFE的面积相等，即可解答．
【解答】解：∵F是△ABC的重心，
∴AD，BE是△ABC的中线，
∴，
四边形CDFE的面积＝S△EBC﹣S△FBD＝S△ABD﹣S△FBD＝S△ABF＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了重心的概念，三角形中线的性质，熟练利用面积的转化得到△ABF的面积和四边形CDFE的面积相等是解题的关键．
9．（4分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，点G，H在BC边上，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，则∠EMF的度数为（ ）
A．59°B．58°C．57°D．56°
【分析】根据平行线的性质得到∠DEG+∠AFH＝118°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，从而得到∠DEM与∠AFH的和，利用两个平角求出∠FEM与∠EFM的和，最后根据三角形内角和等于180°即可求出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝118°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×118°＝236°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣236°＝124°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣124°＝56°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
10．（4分）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．∠BAQ＝40°B．DE＝BDC．AF＝ACD．∠EQF＝25°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A．由作图可知，
∴∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝40°，
故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴DE＝BD，
故选项B正确，不符合题意；
C．∵∠B＝30°，
∴∠AFC＝70°，
∵∠C＝70°，
∴AF＝AC，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，
∴∠EQF＝20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
11．（4分）如图，四边形ABCD是长方形地面，长AB＝10m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走（ ）
A．13mB．mC．5mD．12m
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【解答】解：如图所示，将图展开，
原图长度增加2米，则AB＝10+2＝12（m），
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，
∴AC＝＝＝13（m），
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
故选：A．
【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
12．（4分）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，据此得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，
故①正确，符合题意；
∵∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，
故②正确，符合题意；
如图所示，作OG⊥MC于G，
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，
故④正确，符合题意；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
与题意不符，
故③错误，不符合题意；
综上，符合题意的有①②④；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.只要求填写最后结果.）
13．（4分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 50°或130° ．
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为130°．
【解答】解：如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°；
如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故答案为：50°或130°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思想求解是解题的关键．
14．（4分）如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，AB＝25m，BC＝20m 96 m2．
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，那么△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【解答】解：如图，连接AC．
在△ACD中，∵AD＝12m，∠ADC＝90°，
∴AC＝15m，
又∵AC2+BC2＝157+202＝252＝AB6，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×15×20﹣．
故答案为：96．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．
15．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，且AD＝DE＝EB，那么∠A＝ 45 °．
【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠A，∠C分别与∠EBD的关系，再根据三角形内角和定理即可求得∠EBD的度数，从而不难求解．
【解答】解：∵AD＝DE＝EB，BD＝BC，
∴∠A＝∠DEA，∠EBD＝∠EDB，
∴∠A＝2∠EBD，∠C＝3∠EBD，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，即∠A+7∠A＝180°，
∴∠A＝45°，
故答案为：45．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用．
16．（4分）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，若PC＝12，则PD等于 6 ．
【分析】过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM＝PD，从而求得PD的长．
【解答】解：过点P作PM⊥OB于M．
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝PC＝8．
∵PD＝PM，
∴PD＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．
17．（4分）如图，等边三角形ABC的边长为4cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时 s．
【分析】根据等边三角形的性质得到角与边的等量关系，从而证明△BDP≌APQ，由此得到边之间的关系，进而求解．
【解答】解：设点P需移动t秒，点D落在BC边上．
∵三角形PQD是等边三角形，
∴∠DPQ＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣∠APQ﹣∠DPQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠BDP＝180°﹣∠B﹣∠BPD＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，
∴△BDP≌△APQ（ASA）．
∴BP＝AB﹣AP＝4﹣t，BD＝AP＝t，
∵∠BPD＝30°，
∴BD＝BP（7﹣t），
∴t＝．
故答案为：．
【点评】本题通过动点问题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质的运用．
18．（4分）在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c），根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…，分析上面勾股数组可以发现（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），第6个勾股数组为 （13，84，85） ．
【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…可知，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，第6组勾股数中间的数为：6×（13+1）＝84，即可得出结论．
【解答】解：由勾股数组：（3，4，7），12，（7，25）…可知，12＝2×（4+1），…，
∴第4组勾股数中间的数为6×（9+1）＝40，即勾股数组为（5，41），
第5组勾股数中间的数为：5×（11+5）＝60，即勾股数组（11，61），
第6组勾股数中间的数为：6×（13+5）＝84，即勾股数组（13，85），
故答案为：（13，84．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理逆定理，找出数据之间的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共78分。写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）
19．（10分）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B
（1）作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'；
②在直线l上找一点D，使△ABD的周长最小；
（2）求出△A'B'C'的面积．
【分析】（1）①依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'；
②连接AB'，交直线l于D，连接BD，则AD+BD最小值等于AB'的长；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，①△A'B'C'就是所求作的三角形；
②如图2，点D即为所求作的点：
（2）△A'B'C'的面积＝3×5﹣×1×5﹣×1×3＝4．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解决问题的关键是掌握轴对称的性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
20．（10分）如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．
【分析】根据题意可得：AB＝45海里，CD⊥AD，∠DBC＝60°，∠BAC＝30°，再利用三角形的外角性质可得∠ACB＝∠BAC＝30°，从而可得AB＝BC＝45海里，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AB＝1.5×30＝45（海里），CD⊥AD，∠BAC＝30°，
∵∠DBC是△ABC的一个外角，
∴∠ACB＝∠DBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴AB＝BC＝45海里，
在Rt△BCD中，BD＝BC•cs60°＝45×＝，
∴÷30＝，
∴3时3（0分）+2（5分）＝10时（15分），
∴轮船10时（15分）到达灯塔C的正东方向D处．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD长为半径画弧，与AB，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）根据三线合一得出∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．由SAS可证明△ADE≌△ADF；
（2）由作图知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性质求出∠ADE＝70°，则可得出答案．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠CAD．
由作图得：AE＝AF．
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝80°，∠BAD＝∠CAD，
∴，
由作图得：AE＝AD．
∴∠AED＝∠ADE，
∴，
∵AB＝AC，AD为△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
22．（10分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点
（1）求证：AE平分∠DAB，BE平分∠ABC；
（2）若AD＝9，CD＝24，求BE的长．
【分析】（1）延长AE交BC的延长线于F点，由∠BCD＝∠D＝90°，得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠DAF＝∠AFB，由AAS证得△ADE≌△FCE得出AE＝EF，AD＝CF，则AB＝BC+AD＝BC+CF＝BF，由等腰三角形三线合一得出BE平分∠ABC，BE⊥AE，∠AFB＝∠BAF，推出∠DAF＝∠BAF，即可得出结论；
（2）设BC＝x，则AB＝x+9，DE＝CE＝12，由勾股定理得出AE＝＝15，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2＝x2+122①，在Rt△ABE中，BE2＝（x+9）2﹣152②，由①②组成方程组，解方程组即可得出结果．
【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于F点，
∵∠BCD＝∠D＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝EF，AD＝CF，
∴AB＝BC+AD＝BC+CF＝BF，
∴BE平分∠ABC，BE⊥AE，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AE平分∠DAB；
（2）解：设BC＝x，则AB＝x+9，
∵CD＝24，
∴DE＝CE＝12，
由勾股定理得，AE＝＝，
在Rt△BCE中，BE8＝BC2+CE2＝x6+122  ①，
在Rt△ABE中，BE2＝（x+2）2﹣152   ②，
由①②解得：x＝16，BE＝20．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、勾股定理、解方程组等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
23．（12分）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：MN∥AB．
【分析】（1））先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，故可得出∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，根据SAS定理可知△ACE≌△DCB，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）中△ACE≌△DCB，可知∠CAM＝∠CDN，再根据∠ACD＝∠ECB＝60°，A、C、B三点共线可得出∠DCN＝60°，由全等三角形的判定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC＝NC，再根据∠MCN＝60°可知△MCN为等边三角形，故∠NMC＝∠DCN＝60°故可得出结论．
【解答】证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠ECB＝60°，
∵∠DCA＝∠ECB＝60°，
∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD；
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM＝∠CDN，
∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C，
∴∠DCN＝60°，
在△ACM与△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC＝NC，
∵∠MCN＝60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC＝∠DCN＝60°，
∴∠NMC＝∠DCA，
∴MN∥AB．
【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出△ACE≌△DCB，△ACM≌△DCN是解答此题的关键．
24．（12分）综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，请说明理由；若不是
问题解决：
（3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下
【分析】（1）由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，即梯子为斜边，将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为252﹣72＝242，所以梯子顶端到地为24米；
（2）求出BB'的长度即可；
（3）先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与24.3比较即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，
∴AC＝＝＝24m，
答：这架云梯顶端距地面的距离AC有24m．
（2）云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m．理由如下：
由（1）可知AC＝24m，
∴A′C＝AC﹣AA′＝24﹣4＝20m．
在Rt△A′CB′中，
∴，
∴BB′＝CB′﹣BC＝15﹣6＝8m．
（3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，
则能够到达墙面的最大高度为．
∵24.32＝590.49＜600，
∴，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24.3m高的墙头去救援被困人员．
【点评】本题考查勾股定理和解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．
25．（14分）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到点E，使DE＝AD SAS 可以判定△ADC≌ △EDB ，得出AC＝ BE ．
这样就能把线段AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系 2＜AD＜8 ．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠EDF＝90°，DE交AB于点E，连接EF．请判断BE，CF，并说明理由．
【问题拓展】
（3）如图3，△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，且∠ADE＝90°，请直接写出AE的长．
【分析】（1）延长AD到点E，使DE＝AD，根据SAS定理证明△ADC≌△EDB，可得结论；
（2）如图2，延长FD至G，使DG＝DF，连接EG，BG，由（1）同理得：△BDG≌△CDF，则∠C＝∠DBG，CF＝BG，再利用勾股定理得出答案；
（3）延长AB，ED交于F，证明△BDF≌△CDE（ASA），则BF＝CE＝5，ED＝DF，所以AF＝3+5＝8，根据线段垂直平分线的性质可得AE的长．
【解答】解：（1）如图1，延长AD到点E，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝10，
△ABE中，10﹣6＜AE＜10+7，
∴4＜2AD＜16，
∴7＜AD＜8；
故答案为：SAS，△EDB，2＜AD＜7；
（2）BE2+CF2＝EF6，证明如下：如图2，延长FD至G，连接EG，
∵∠EDF＝90°，
∴ED是FG的垂直平分线，
∴EF＝EG，
由（1）同理得：△BDG≌△CDF，
∴∠C＝∠DBG，CF＝BG，
∵∠A＝90°，
∴∠EBC+∠C＝90°，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，
∴EG2＝BE5+BG2，
∴BE2+CF3＝EF2；
（3）如图3，延长ED，
∵EC⊥BC，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ECD＝90°，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∵∠BDF＝∠CDE，
∴△BDF≌△CDE（ASA），
∴BF＝CE＝8，ED＝DF，
∴AF＝3+5＝6，
∵∠ADE＝90°，DF＝ED，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴AE＝AF＝8．
【点评】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
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