专题04 解三角形（中线问题）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题04 解三角形（中线问题）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1527" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc1527 \h 1
\l "_Tc1835" 二、典型题型 PAGEREF _Tc1835 \h 1
\l "_Tc4849" 方法一：向量化(三角形中线向量化） PAGEREF _Tc4849 \h 1
\l "_Tc22826" 方法二：角互补 PAGEREF _Tc22826 \h 6
\l "_Tc17106" 三、专项训练 PAGEREF _Tc17106 \h 9
一、必备秘籍
1、向量化(三角形中线问题）
如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）
2、角互补
二、典型题型
方法一：向量化(三角形中线向量化）
1．（2024·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求．
(2)若，且边上的中线，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及三角公式求，根据角的范围可得
（2）根据余弦定理可得，根据面积公式求解可得
【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得．
整理，得，
即．
又，
所以，
即．
因为，所以．
又，所以．
（2）由题意得，，
所以，
即，
所以．
故
2．（23-24高一下·云南·阶段练习）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角；
(2)若的中线，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式即可求解；
（2）将两边平方，结合基本不等式和面积公式可解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
在中，
所以，
整理得，
所以， 因为，,
所以，．
（2）因为的中线，，
因为，
所以，
即，可得，当且仅当时取等号，
所以的面积，
所以面积的最大值为．
3．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.

(1)求AM的长度；
(2)求∠MPB的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据AM是中线，由求解；
（2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解.
【详解】（1）解：因为AM是中线，
所以，
所以，
则；
（2）由图象知：为向量的夹角，
因为，
所以，
，则，
又，
，
所以，
因为，
所以.
4．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，满足．
(1)求；
(2)若，边BC上的中线，设点为的外接圆圆心．
①求的周长和面积：
②求的值．
【答案】(1)；
(2)①周长为，面积为；②13.
【分析】（1）由已知及正弦定理边化角，借助和角的正弦理解即得.
（2）①由中点向量公式、余弦定理、三角形面积公式列式计算即得；②边的中点分别为，利用数量积的运算律并结合圆的性质计算即得.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，
显然，因此，，
则，得，解得，
所以.
（2）①由边BC上的中线，得，两边平方得，
则，即，
在中，由余弦定理，得，解得，
因此，所以的周长为，面积为.
②令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，得，
，
，
所以.

5．（2024·辽宁抚顺·三模）在中，内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若为的中线，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，结合，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解；
（2）由（1）得到，根据，求得，再由由余弦定理得到，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，
因为，可知，所以，
又因为，联立方程组得，
所以．
（2）解：由（1）知，可得，
因为为的中线，且，所以，
两边平方得，
又由余弦定理得，即，
两式相减，可得，所以．
方法二：角互补
1．（23-24高一·全国·随堂练习）如图，已知AM是中BC边上的中线．求证：．

【答案】证明过程见解析
【分析】根据这一等式，利用余弦定理进行证明即可.
【详解】因为AM是中BC边上的中线，
所以，
因为，所以
，
.
2．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）在中，.
(1)求；
(2)求边上的中线.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算，根据面积公式得到，再利用余弦定理计算得到答案.
（2）是中点，连接，根据余弦定理结合计算即可.
【详解】（1）因为，，故，
所以，解得，
故，故.
（2）如图所示，是中点，连接，
，，，
故，解得，即边上的中线为.
3．（2024·湖南益阳·一模）在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若，求的中线长度的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）若选①，则根据正弦定理，边化角，再利用余弦定理即可求得答案；若选②，则根据正弦定理，边化角，再利用两角和的正弦公式化简，求得答案；若选③，则根据正弦定理，边化角，再利用诱导公式结合倍角公式化简，求得答案；
（2）根据可得，利用余弦定理得到，在三角形中，由余弦定理求得，即可求得答案.
【详解】（1）选择条件①：由及正弦定理，得：，
即，由余弦定理，得,
因为，所以；
选择条件②：由及正弦定理，
得：，
即.
即.
在中，，所以，
即，因为，所以，所以,
因为，所以；
选择条件③：由及正弦定理，
得：，
因为,，所以.
在中，，则，
故.
因为，所以，则，
故；
（2）因为，所以，
整理得，
在三角形中，由余弦定理得.
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，即，
即长度的最小值为.
三、专项训练
1．（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）如图，在中，已知，，AB，BC边上的中线CE，AF交于点D，则
【答案】
【分析】由题意知，以和作为基底来表示和，即为和的夹角，再结合平面向量数量积运算及向量的夹角的求法求解即可.
【详解】因为、边上的两条中线CE，AF交于点D，
所以，，
又，，，
则，，
，
则，
.
故答案为：.
2．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于 ．
【答案】/
【分析】将条件式，利用正弦定理角化边，再根据余弦定理求得，以为邻边做平行四边形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，设，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.
【详解】由，得，
，
注意，得，得，
记，由，知，
如图，以为邻边做平行四边形，
在中：，即，
得，所以，
故答案为：．
法（2）：设，在中：①
因为，则，
由余弦定理可得，得②
联立①②知：，即，解得，后面同上．
故答案为：
3．（22-23高一下·河北·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 .
【答案】
【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可.
【详解】如图，由余弦定理得，
，又，
两式相加得，即，化简得，
所以.

故答案为：
4．（22-23高一下·四川攀枝花·期末）已知的内角的对边分别为，，，且满足，，则 ；的中线的最大值为 .
【答案】 /
【分析】空1：根据题意结合正、余弦定理运算求解；空2：根据基本不等式可得，结合向量的运算求解.
【详解】空1：因为，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
且，所以；
空2：因为，可得，
由，当且仅当时，等号成立，所以，
又因为为的中线，则，
可得
，
所以，即中线的最大值为.
故答案为：；.
5．（22-23高一下·山东淄博·期中）已知在中，AD为BC边上的中线，且，，则的最小值为 ．
【答案】/0.6
【分析】在和中，分别用余弦定理建立关系，并求得，再在中利用余弦定理结合基本不等式求解作答.
【详解】依题意，，，如图，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，即，
两式相加得，于是，当且仅当时取等号，
在中，，
所以的最小值为.
故答案为：
6．（22-23高一下·河南焦作·期中）已知在中，为边上的中线，且=4，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】分别在和中，利用余弦定理得到，，根据，两式相加得到，然后利用余弦定理结合基本不等式求解.
【详解】解：如图所示：
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因为，所以，
两式相加得，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
7．（21-22高一·全国·课后作业）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，，则BC边上的中线AD长度的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理将条件进行变形，结合三角形内角之和为π，可求得csA，设AD＝x，由cs∠ADB+cs∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式可得b2+c2的取值范围，从而求得x的取值范围．
【详解】因为，
由正弦定理可知：，
又因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcsB+csAsinB，
则2csAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0，
所以csA，因为A∈(0,π)，所以，
设AD＝x，又DB＝DC＝1，
在△ADB，△ADC中分别有：cs∠ADB，cs∠ADC，
又由于cs∠ADB+cs∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2，
在△ABC中，，即，
因为b2+c2≥2bc，所以，从而b2+c2≤8，
所以2x2+2≤8，解之得，（当且仅当b＝c时等号成立），
所以BC边上的中线AD长度的最大值为，
故答案为：．
8．（22-23高一下·辽宁大连·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；
（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
即，
所以，
由余弦定理及得：
，
又，
所以，
即，
所以，
所以；
（2）由，
所以，
由（1），
所以，
因为为边上的中线，
所以，
所以
，
所以，
所以边上的中线的长为.
9．（22-23高一下·湖北武汉·期中）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果；
（2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，，所以，结合角的范围，利用三角函数性质可求得的范围，即可得出答案.
【详解】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
则，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由题意得，解得，则，
所以，所以，
所以，所以中线CD长的取值范围为．
10．（22-23高一下·湖南长沙·期中）在锐角中，角的对边分别是，，，若
(1)求角的大小；
(2)若，求中线长的范围（点是边中点）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到，从而求出结果；
（2）先利用向量的中线公式得到，再利用正、余弦定理及条件求出的范围，进而求出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得：
即，所以，
因为，所以，所以，因为，所以.
（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得:
，
所以，
因为，又，，
所以,
又因为为锐角三角形， 所以，，得到，
所以，由的图像与性质知，，
所以，所以，得到
故.