2025年中考数学二轮复习培优突破专题2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc153477096" 知识点梳理
\l "_Tc153477097" 模块一 胡不归模型
\l "_Tc153477098" 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线
\l "_Tc153477099" 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线
\l "_Tc153477100" 【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算
\l "_Tc153477101" 模块二 阿氏圆模型
\l "_Tc153477102" 【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）
\l "_Tc153477103" 【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）
\l "_Tc153477104" 【题型6】一内一外提系数
\l "_Tc153477105" 【题型7】隐圆型阿氏圆
知识点梳理
一、胡不归模型讲解
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．
，记，即求BC＋kAC的最小值．
构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．
将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小．
二、阿氏圆模型讲解
【模型来源】
所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似．
【模型建立】
如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R＝OB，
连接 PA、PB，则当“PA＋PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC＝R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB＝PC。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA＋PC”值最小。
模块一 胡不归模型
【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线
2023·西安·二模
如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可．
【详解】解：过作，
菱形，，
，，即为等边三角形，，
在中，，
，
当、、三点共线时，取得最小值，
，，
，
在中，，
则的最小值为．
故答案为：．
2023·保定·一模
如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

（1） °；
（2）的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】（1）由矩形的性质得到，又由得到是等边三角形，则，即可得到答案；
（2）过点P作于点E，过点M作于点F，证明，进一求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）过点P作于点E，过点M作于点F，

在中，
由（1）知：，
∴，
∴，
在矩形中，
，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为2
2023·湘西·中考真题
如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．

【答案】6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6
如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．
【答案】
【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间，由，推出，可得，推出当共线且和重合时，运动时间最短．
【详解】如图，作于H，于，交AO于．
∵运动时间，
∵，，
∴，
∵，C（1，0），，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，
，
∴，
∴，
∵，设，则，
则有：
∴或（舍去），
∴
∴
2023·江苏宿迁中考模拟
如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为 秒．
【答案】
【分析】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P，可得，利用角所对的直角边等于斜边的一半得到动点运动的时间为解题即可．
【详解】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P，
令，则，
解得或，
∴A，B两点坐标为，，
∴，
∵A，B两点关于对称，
∴，
∵顶点C到x轴的距离为，
∴
∴，
∵都是的高，
∴，
由题意得动点运动的时间为，
∵是等边三角形，，
∴，
∵作，
∴，
∴，
显然在l上另取一点，连接，
∵，
∴当时，运动时间最短为，
故答案为：．
2023·四川自贡·统考中考真题
如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

【答案】
【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴，，
作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，
作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，
此时，，
∴有最小值，
作轴于点P，

则，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，则，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
联立，，解得，即；
过点D作轴于点G，

直线与x轴的交点为，则，
∴，∴，
∴，
即的最小值是
2023·成都市七中校考
如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，点为线段上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点M作于点N，作点E关于的对称点G，连接．由勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的知识可得，从而可得当G，M，N三点共线时取得最小值，即取得最小值，然后利用锐角三角函数和勾股定理可求出的长．
【详解】解：如图，过点M作于点N，作点E关于的对称点G，连接，则．
由折叠的性质可知，，，，
∴．∵四边形是矩形，∴，．
∴．
∵，∴，∴，
∴，
∴当G，M，N三点共线时取得最小值，即取得最小值，
∵，，∴，
∴．
∵，，∴，∴，∴，∴，
∴．
即取得最小值是．
【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线
如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．

【答案】/
【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的的长度便可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
在线段下方作，过点作于点，连接，

∴，
∴，
当、、三点共线时，的值最小，
此时，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
∴的最小值为
2023·广西二模
如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ．
【答案】
【详解】解：作，过M作交于一点即为点P，
∵，
∴，
∴，
∴当时的值最小，
∴在中，,
故答案为；
如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 3 ．
【答案】3
【解答】解：作，过点作于点，
则此时最小，
，，，
，，
，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：3．
如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：的度数为，，是直径，，
，作，于，于，连接．
，，在中，，
，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，
，
，
在中，
，，
，
的最小值为，故选：．
如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是
A．B．C．D．8
【答案】
【解答】解：如图，以为斜边在下方作等腰，过作于，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．故选：．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF＋FB的最小值是
【答案】
【分析】由FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC补成等边△ABP，过F作BP的垂线FH，GF+FB= GF+ FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+FB最短，又由于点G为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度．
【详解】延长AC到点P，使CP= AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB= 90°，∠ABC= 30°，AB=4
∴AC = CP=2 ，BP= AB=4
∴△ABP是等边三角形
∴∠FBH= 30°
∴ Rt△FHB中，FH=FB
∴当G、F、H在同一直线上时，
GF+FB= GF+ FH = GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G
∴∠AGC = 90°
∵O为AC中点
∴OA=OC=OG=
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动，
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P= 60°，OP= 3，sin∠P=
∴ ∴GH最小值为
如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .

【答案】
【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：过点做，过点作于，过点作于点，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当共线时，的值最小，
即的最小值为，
【法一：正切和角公式】详情见本专辑1-3 “12345模型”
，故△AHC的三边之比为，则答案为
【法二：常规法】
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，∴，
∴，，
∴，∴，故答案为．

【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算
2023·广东深圳·统考三模
如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB=；（3）．
【详解】解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，
如图2，由题可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，
∴h=OC•sin60°=OC，∴OC==，
∴AB=2OC=；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，
如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°，
∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，则OF=，AB=2OF=，
∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为．
如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，．
①求的值；
②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
【解答】（1）证明：四边形是矩形．
，
和关于对称，
，，
，
四边形是菱形．
（2）①设交于．
四边形是菱形，
，，
，
，，
在中，，
，
②作于．易知，
点的运动时间，
当、、共线时，的值最小，此时是的中位线，
．，，
，
当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，的长为，点走完全程所需的时间为．
抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点落在点处，且，点是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点，连结．当的值最小时，求的长．
【解答】解：（1）经过，，
，解得，抛物线的解析式为．
（2）如图，连接，过点作于，过点作于．
抛物线，顶点，，
直线的解析式为，，
，，，，，
轴，，
，，，，
，，，
，的最小值为3，此时为与的交点，，
平移后抛物线的解析式为，平行轴，将代入抛物线解析式，
，
模块二 阿氏圆模型
【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1）
如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【答案】
【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．
如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，．
求①；②；③；④的最小值．
【解答】解：①取的中点，连结，，
，，，，
，，，，
，当在上时，最小，
最小值为的长，，的最小值为，
②，的最小值为，
③在取一点，使
，，
，，，，
，当在上，，
，的最小值为，
④，的最小值为．
如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，先利用勾股定理求得，，在上截取，过作于，于，求得，，，进而求得，证明求得，利用两点之间线段最短得到，当共线时取等号，即可求解．
【详解】解：连接，∵为的直径，，
∴， ∵在中，，
∴，，
在上截取，过作于，于，连接、，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
在中，，
∵，是公共角，
∴，
∴，则，
∴，当共线时取等号，
故的最小值为，
故答案为：．
如图，正方形ABCD边长为2 eq \r(2)，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+eq \f( eq \r(2),2)PD的最小值为______．
【答案】
如图，等边三角形ABC边长为4 eq \r(3)，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋eq \f(1,2)CP的最小值为______________．
【答案】
如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋eq \f(1,2)PN的最小值为_______________
【答案】
2023·山东烟台·统考中考真题
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

【答案】
【分析】在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
【详解】如图，在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．

如图1，抛物线y＝ax 2＋( a＋3 )x＋3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点E是线段OA上的一个动点，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 EQ \F(MN, NE ) ＝ EQ \F(6, 5 ) 时，求点E的坐标；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，连接E′A、E′B，求E′A＋ EQ \F(2, 3 ) E′B的最小值．
y
B
O
A
E
P
M
N
图1
y
B
O
A
E
P
M
N
图2
E′
【答案】（1）∵抛物线y＝ax 2＋( a＋3 )x＋3与x轴交于点A（4，0）
∴16a＋4( a＋3 )＋3＝0，解得a＝－ EQ \F(3, 4 )
∴抛物线的函数表达式为y＝－ EQ \F(3, 4 ) x 2＋ EQ \F(9, 4 ) x＋3
（2）∵A（4，0），∴OA＝4
∵y＝－ EQ \F(3, 4 ) x 2＋ EQ \F(9, 4 ) x＋3，∴B（0，3），∴OB＝3
∴AB＝eq \r(, 3 2＋4 2 )＝5
∵PE⊥OA，PM⊥AB，∴∠PMN＝∠AEN＝90°，∠PNM＝∠ANE
∴△PMN∽△AEN，∴ EQ \F(PN, AN ) ＝ EQ \F(MN, NE ) ＝ EQ \F(6, 5 )
设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b
∴ eq \b\lc\{( eq \a\al\c1\vs4(4k＋b＝0,b＝3)) 解得 eq \b\lc\{( eq \a\al\c1\vs4(k＝－ EQ \F(3, 4 ),b＝3))
∴直线AB的函数表达式为y＝－ EQ \F(3, 4 ) x＋3
设E（m，0），则P（m，－ EQ \F(3, 4 ) m 2＋ EQ \F(9, 4 ) m＋3），N（m，－ EQ \F(3, 4 ) m＋3）
∴PN＝－ EQ \F(3, 4 ) m 2＋ EQ \F(9, 4 ) m＋3－( － EQ \F(3, 4 ) m＋3 )＝－ EQ \F(3, 4 ) m 2＋3m＝－3m( EQ \F(1, 4 ) m－1 )
∵∠AEN＝∠AOB＝90°，∠NAE＝∠BAO
∴△AEN∽△AOB，∴ EQ \F(AN, NE ) ＝ EQ \F(AB, BO ) ＝ EQ \F(5, 3 )
∴AN＝ EQ \F(5, 3 ) NE＝ EQ \F(5, 3 )( － EQ \F(3, 4 ) m＋3 )＝－ EQ \F(5, 4 ) m＋5＝－5( EQ \F(1, 4 ) m－1 )
∴ EQ \F(－3m( EQ \F(1, 4 ) m－1 ), －5( EQ \F(1, 4 ) m－1 ) ) ＝ EQ \F(6, 5 )，∴ EQ \F(3m, 5 ) ＝ EQ \F(6, 5 )
∴3m＝6，∴m＝2，∴E（2，0）
y
B
O
A
E
P
M
N
D
E′
（3）在OB上取点D，连接E′D、AD，使∠OE′D＝∠OBE′
则△OE′D∽△OBE′，∴ EQ \F(E′D, E′B ) ＝ EQ \F(OD, OE′ ) ＝ EQ \F(OE′, OB ) ＝ EQ \F(2, 3 )
∴E′D＝ EQ \F(2, 3 ) E′B，OD＝ EQ \F(2, 3 ) OE′＝ EQ \F(4, 3 )
∴E′A＋ EQ \F(2, 3 ) E′B＝E′A＋E′D≥AD
∵AD＝eq \r(,OA 2＋OD 2 )＝ EQ \F(4eq \r(,10), 3 )，∴E′A＋ EQ \F(2, 3 ) E′B≥ EQ \F(4eq \r(,10), 3 )
即E′A＋ EQ \F(2, 3 ) E′B的最小值为 EQ \F(4eq \r(,10), 3 )
【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1）
如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断．
【详解】解：延长到，使得，连接，．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
又在中，，，，
，
，
的最小值为
如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆O的半径为 eq \r(2)，P是圆O上一动点，PA+ eq \r(2)PB的最小值为________．
【答案】
已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小值为________．
【答案】12
【题型6】一内一外提系数
如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ．
【解答】解：在上取点，使，
，
，
，
，
，
，
在延长线上取，
，
则，
又，
，
，
，
，
当为和圆的交点时最小，即最小，且值为，
，
的最小值为，
故答案为：．
如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，
的最小值是
【解答】解：(1)如图，连接，，交于点，连接，，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当、、在一条直线上时，
，
.
(2)延长CD至点H，使CH=2CD
显然，由（1）可知
∴
由勾股定理可得，，故.
【题型7】隐圆型阿氏圆
2023·咸阳·三模
如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】在上取一点G，使得连接．根据菱形的性质可知，则，结合，可得，利用相似三角形的性质证得根据可知的长即为的最小值，利用勾股定理求出便可解决问题．
【详解】解：如图，在上取一点G，使得，连接．

∵四边形为菱形，，
∴，，
∵，P是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴当点G、P、C在同一直线上时，取得最小值，
此时
2023·宿迁·三模
如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，利用两点之间的距离公式，即可求出的最小值，即可得．
【详解】解：如图所示，取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，

∵、，，
∴，，
以O为圆心，为半径作，在优弧上取一点Q，连接，
∵，，
∴，
∴A，P，B，Q四点共圆，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点F作于点G，
∵，，
∴
∴点F的坐标为，
∵，
∴
∵，即,
∴的最小值是
如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，．
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，的最小值为
如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】由折叠的性质可得，点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，利用相似三角形的性质得到，从而得到，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：由题意可得：
∴点在以为圆心，以为半径的圆上，
在线段上取一点，使得，则

∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值

，
∴的最小值为：
如图，在平面直角坐标系中，、、、，是外部的第一象限内一动点，且，则的最小值是 ．
【答案】
【解答】解：如图，取一点，连接，，，
、、，
，，
以为圆心为半径作，在优弧上取一点，连接，，
，，
，
、、、四点共圆，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的最小值是