2025年中考数学二轮培优练习专题06 圆中的相关证明及计算（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc161759100" 题型01 圆中的角度和线段计算问题
\l "_Tc161759101" 题型02 垂径定理的实际应用
\l "_Tc161759102" 题型03 与圆有关的弧长、扇形面积计算
\l "_Tc161759103" 题型04 利用弧长、扇形公式解决实际问题
\l "_Tc161759104" 题型05 求弓形面积或不规则图形面积
\l "_Tc161759105" 题型06 正多边形与圆的相关计算
\l "_Tc161759106" 题型07 与圆有关的位置关系
\l "_Tc161759107" 题型08 切线的判定
\l "_Tc161759108" 题型09 三角形内切圆、外接圆的相关计算
\l "_Tc161759109" 题型10 三角形内切圆与外接圆的综合
\l "_Tc161759110" 题型11 四点共圆
\l "_Tc161759111" 题型12 圆幂定理
\l "_Tc161759112" 题型13 阿基米德折弦定理
\l "_Tc161759113" 题型14 圆与相似综合
\l "_Tc161759114" 题型15 圆与三角函数综合
\l "_Tc161759115" （时间：60分钟）
题型01 圆中的角度和线段计算问题
1．（2024·四川泸州·一模）如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，点A，B，C在上，，连接并延长，交于点，连接，若，下列结论不正确的是（ ）

A．B．直线垂直平分C．D．
3．（2023·山东青岛·二模）如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（ ）

A．B．C．D．
4．（2022·山西大同·一模）如图，是的直径，、分别切于点B、C，若，则的度数是 ；

题型02 垂径定理的实际应用
5．（2023·河北石家庄·模拟预测）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具．如图，半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B、长为4m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒（用点表示）．若以某个盛水筒（点P）刚浮出水面时开始计算时间．

(1)设点D为盛水筒在运行中的最高点，请在图中画出线段，用其长度表示盛水筒到水面的最大距离．（不说理由），并求最大距离约为多少米（结果保留小数点后一位）；
(2)筒车每秒转 °， °；
(3)浮出水面2.6秒后，盛水筒（点P）距离水面多高？（参考数据：，）
6．（2023·广东佛山·三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽，拱顶P（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度．
7．（2023·宁夏中卫·二模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里）

(1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东，同时在监测点O测得C位于南偏东，求监测点O到C船的距离．（结果精确到整数，参考数据：，，）
(2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．
8．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，．已知仪器在A处测得点D的仰角为，水深（点D到河底线的距离）．

(1)求的大小及的长；
(2)受暴雨影响，水面以平均每小时的速度升高，若不及时进行开闸泄洪，则经过多长时间水面将淹没整个桥洞？（参考数据：取4）
题型03 与圆有关的弧长、扇形面积计算
9．（2023·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形中，，以为直径的恰好经过点，交于点，当点为的中点时，下列结论错误的是（ ）
A．平分B．
C．D．的长为
10．（2023·广东东莞·三模）如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 ．

11．（2023·吉林长春·二模）如图，边长为1的正方形的顶点A在扇形的半径上，点B．C在上，点D在上，若，则扇形的面积为 ．
12．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为，则下面圆锥的侧面积为 ．
13．（2023·湖南湘西·二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形围成一个圆锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为2，则此圆锥的母线长为 ．

题型04 利用弧长、扇形公式解决实际问题
14．（2023·河南周口·模拟预测）某中学要把一块长，宽的矩形空地改建为一个如图所示的花园．花园内的小路（阴影部分）由圆心角为，内径为，外径为的圆环形小路和宽为且垂直于矩形边的笔直小路组成，则花园内小路的总占地面积为 ．
15．（2023·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．

16．（2024·辽宁沈阳·一模）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道，两扇活页门的宽，点B固定，当点C在上左右运动时，与的长度不变（所有结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，，π取）
(1)若，求的长；
(2)当点C从点A向右运动时，求点O在此过程中运动的路径长．
17．（2024·河北邯郸·二模）水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______；
(2)在小明进座舱后间隔个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）．
18．（2023·吉林松原·三模）圆锥是生活中常见的立体图形，如雪糕筒，漏斗，羽毛球，路障等，赵亮同学用一个如图①所示的扇形围成如图②所示的圆锥，为圆锥的高，点D为母线上的中点，，为底面圆半径，，求图①中的长度．（参考数据：取，，）
解：如图②，因为，所以，
因为在中，点D为边中点，，
所以（__________）（填推理依据），
_________（填“”或“”）．
如图①，所以_______（填相应的三角形函数值）________（）（结果精确到）．
题型05 求弓形面积或不规则图形面积
19．（2023·山西临汾·二模）如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
20．（2023·山东济南·三模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积和是( )
A．B．C．D．
21．（2023·河南新乡·二模）如图，是的直径，，°，将沿翻折，与直径交于点，则图中阴影部分面积为

22．（2023·河南周口·二模）如图所示的是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图，其中点与点重合，点与点重合，则图中阴影部分的面积为 ．
23．（2023·广东肇庆·三模）如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径画弧，交C于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积是 ．(结果保留π)
题型06 正多边形与圆的相关计算
24．（2024·安徽阜阳·一模）如图是半径为4的的内接正六边形，则圆心O到边的距离是（ ）
A．B．3C．2D．
25．（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·宁夏·二模）中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘微提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，由此求得圆周率的近似值．例如：设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，如图，当时，，则当时， ．（结果精确到0.01，参考数据：，）
27．（2023·河北沧州·模拟预测）某数学小组在一个半径为2的圆形场地上做探究实践活动．

（1）如图1，小组将圆形场地分为12等份．机器人从一个点到另外一个点均是直线行走．
①机器人从点走到点的路程为 ；
②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线1：；路线2：，路线1的长记为，路线2的长记为，则 ；（填“>”“