2025年中考数学一轮复习讲与练第4章 三角形真题测试（提升卷）（2份，原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得，故A，C正确；
∴在的垂直平分线上，
∴，故D选项正确，
而不一定成立，故C选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， ，且，，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】可求，再由，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
3．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故选：A．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．
5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，，可得，由，可得，进而可得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
6．（2023·山西·统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（ ）

A．①④B．②③C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，．
【详解】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；
如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；
如图，点不是中点，所以点不是重心；
①正确

②当，如图时最大，，
，，，
，
，
②错误；

③如图5，若，，
∴，，，，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴③错误；
④如图6，，
∴，
即，
在中，，
∴，
∴，
当时，最大为5，
∴④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．
8．（2023·安徽·统考中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据正方形的性质可由定理证，即可判定是等腰直角三角形，进而可得，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得；由此即可判断①正确；再根据，可判断③正确，进而证明，可得，结合，即可得出结论④正确，由随着长度变化而变化，不固定，可 判断②不一定成立．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；

又∵,,
∴,
∴，
∵，即：，
∴，
∴，故③正确，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故④正确，
∵若，则，
又∵，
∴，
而点E是上一动点，随着长度变化而变化，不固定，
而，
则故不一定成立，故②错误；
综上，正确的有①③④共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形＂三线合一＂的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．
10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，

矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
四边形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）将一副三角尺如图所示放置，其中，则___________度．

【答案】105
【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：105．
【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________．

【答案】8
【分析】利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键．
13．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．

（1）的面积为________；
（2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________．
【答案】 3
【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积；
（2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长．
【详解】解：（1）过点E作，

正方形的边长为3，
，
是等腰三角形，，，
，
在中，，
,
故答案为：3；
（2）延长交于点K，
正方形的边长为3，
，，
，，
，
，
，
F为的中点，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知，，，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
14．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．

【答案】
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【详解】解：，
，
设周长为，设周长为，
和是以点为位似中心的位似图形，
．
．
和的周长之比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
15．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________．

【答案】
【分析】根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得，
∴，
∴，
∵与四边形的面积比为，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．

【答案】
【分析】根据公式求得，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．
17．（2023·湖北·统考中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________．
【答案】①③④
【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，，
∴，故①正确；
∴，
∴，，故③正确；
∵，，，
∴，；故②错误；
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，故④正确；
故答案为①③④．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键．
18．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为________．

【答案】5
【分析】过点D作于点F，利用勾股定理求得，根据旋转的性质可证、是等腰直角三角形，可得，再由，得，证明，可得，即，再由，求得，从而求得，，即可求解．
【详解】解：过点D作于点F，
∵，，，
∴，
∵将绕点A逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
∵ ，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：5．

【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】②③④
【分析】根据等腰三角形的三线合一可知，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判断②；根据相似可以得到，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④．
【详解】解：∵，，
∴，
在点P移动过程中，不一定，
相矛盾，
故①不正确；

延长交于点P,
则为矩形，
∴
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故③正确，
，
即当的最小值，作B、D关于的对称点,
把图中的向上平移到图2位置，使得，连接，即为的最小值，则，,
这时，
即的最小值是20，
故④正确；
故答案为：②③④

【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
20．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则___________．

【答案】3
【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，

在中，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；
（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的角平分线，
∴，
由作图可得，
在和中，
，
∴；
（2）∵，为的角平分线，
∴
由作图可得，
∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
22．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的中点，．求证：．

【答案】见解析
【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等．
【详解】证明：是的中点，
，
在和中，
，
【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．
23．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．

(1)证明：．
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）可证，从而可证四边形是菱形，即可得证；
（2）可求，再证，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
25．（2023·上海·统考中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

(1)求证：
(2)若，求证：
【答案】见解析
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，，
，
．
（2）证明：，
，
，即，
在和中，，
，
，
由（1）已证：，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
26．（2023·四川宜宾·统考中考真题）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离，如图．在桥面上点处，测得到左桥墩的距离米，左桥墩所在塔顶的仰角，左桥墩底的俯角，求的长度．（结果精确到米．参考数据：，）

【答案】的长度米
【分析】上截取，使得，设，在中，，，则，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，上截取，使得，

∴，
∵
∴，
设，在中，，
∴
又
∴
∴
即米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
27．（2023·湖北·统考中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米
【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
28．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．
若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

【答案】图②中，图③中，证明见解析
【分析】图②：如图②所示，连接，先由三角形中位线定理得到，，再证明得到，则，进一步证明，即可证明是等腰直角三角形，则；
图③：仿照图②证明是等边三角形，则．
【详解】解：图②中，图③中，
图②证明如下：
如图②所示，连接，
∵点F，G分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等腰直角三角形，
∴；

图③证明如下：
如图③所示，连接，
∵点F，G分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等边三角形，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．