2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第08讲：第一章集合与常用逻辑用语、不等式、复数章节总结(精讲)(学生版+解析)

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第一部分：典型例题讲解
题型一：集合的表示
1．（2023上·辽宁·高一校联考期中）已知集合，且是中的一个元素，则（ ）
A．B．或3C．D．或
2．（多选）（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·全国·高一专题练习）已知集合，且，则 .
4．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）集合用列举法表示为 .
5．（2023上·广东·高一校联考期中）已知集合，则的子集个数为 ．
题型二：集合的基本关系
1．（2024上·河南洛阳·高一统考期末）已知集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·吉林延边·高一统考期末）已知全集，集合.

(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)若非空集合，且，求实数的取值范围.
题型三：集合的基本运算
1．（2024·陕西·校联考一模）已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024下·江西·高三校联考开学考试）设集合，，若的真子集的个数是，则正实数的取值范围为 ．
3．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知集合．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围．
4．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
间题：已知集合．
(1)当时，求；
(2)若___________，求实数的取值范围．
5．（2023下·河南·高一校联考阶段练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
6．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）已知集合，函数定义域为集合B．
(1)若，求实数a的取值范围．
(2)若，求实数a的取值范围．
题型四：充分条件与必要条件
1．（2024上·全国·高三校联考竞赛）设，集合．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2022上·北京·高一校考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024上·天津·高三校联考期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024上·北京密云·高一统考期末）已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·江苏南京·高一统考期末）设全集，已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
题型五：“的”字结构与“是”字结构对比
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024上·福建南平·高一统考期末）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·陕西咸阳·高一统考期末）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）（2024上·四川广安·高一统考期末）“，”为真命题的充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
题型六：全称量词与存在量词
1．（2024下·广东·高三校联考开学考试）已知，；，．若为假命题，为真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·江苏徐州·高一统考期末）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是 （ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）（2024上·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
题型七：一元二次不等式
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）不等式的解集为 ．
3．（2015下·福建·高一校联考阶段练习）已知不等式的解集为或
(1)求的值
(2)解不等式．
4．（2023上·吉林白山·高一统考期末）解关于x的不等式：
(1)；
(2)．
5．（2024上·四川南充·高一统考期末）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值；
(2)求关于的不等式的解集.
题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题
1．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ．
3．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）已知二次函数，对任意都有，且．
(1)求函数的解析式；
(2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围．
4．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．
C．D．的最小值为4
5．（2023·陕西咸阳·咸阳市实验中学校考一模）已知，且，则的最小值为 ．
6．（2022上·河南·高二校联考期末）已知中，点D在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为 .
7．（2022上·河南·高三校联考专题练习）若正数，满足，则的最小值为 ．
8．（2024下·湖北·高二应城市第一高级中学校联考开学考试）已知，，其中，，若，则的最小值为 ．
题型十：复数的综合应用
1．（2024下·陕西安康·高三统考开学考试）已知复数，则 （ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024下·江苏南通·高三统考开学考试）若，且是纯虚数，则（ ）
A．B．1C．D．2
5．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知复数，其中且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
6．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知i为复数单位，，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2022·全国·模拟预测）已知复数z为纯虚数，且满足，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
第二部分：新定义题
1．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
2．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中学校考期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（ ）
A．若P有2个元素，则Q有3个元素
B．若P有2个元素，则有4个元素
C．若P有2个元素，则有1个元素
D．存在满足条件且有3个元素的集合P
3．（2015上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期中）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．（2023上·上海浦东新·高一校考期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”.
①集合是“完美集”；
②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；
③二元“完美集”有无穷多个；
④若，则“完美集”A有且只有一个，且.
其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号）
5．（2012·四川·统考一模）已知集合，对任意、、，规定运算“”满足如下性质：
（1）；（2）；（3）；
给出下列命题：①；
②若，则；
③若，且，则；
④若、、，且，，则．
其中所有正确命题的序号是 ．
6．（2023上·北京·高三北京四中校考开学考试）正实数构成的集合，定义.当集合中恰有个元素时，称集合A具有性质.
(1)判断集合，是否具有性质；
(2)若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值：
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
7．（2018上·北京西城·高一北京市第三十五中学校考期中）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．
(1)设函数，求集合和；
(2)求证：；
(3)设函数，且，求证：．
第08讲：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数
章节总结
第一部分：典型例题讲解
题型一：集合的表示
1．（2023上·辽宁·高一校联考期中）已知集合，且是中的一个元素，则（ ）
A．B．或3C．D．或
【答案】A
【分析】根据元素与集合的关系可得出关于实数的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值.
【详解】集合，且.
①当时，，此时，，集合中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去；
②当时，（舍）或.
若，则，此时集合，符合题意，
综上所述，.
故选：A.
2．（多选）（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据条件得到，从而得到选项A正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B，C和D逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】易知方程无解，所以，所以选项A正确，
因为，所以选项B错误，
因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确，
又空集是任何集合的子集，所以选项D正确，
故选：ACD.
3．（2024上·全国·高一专题练习）已知集合，且，则 .
【答案】
【分析】根据题意，列出方程，求得的值，结合集合元素的互异性，即可求解.
【详解】因为，所以或，解得或，
当时，，，集合不满足元素的互异性，所以舍去；
当时，经检验，符合题意，所以．
故答案为：．
4．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）集合用列举法表示为 .
【答案】
【分析】依题意逐个验证即可.
【详解】时，时，时，时，时，时，不合题意，
故满足题意的有，
故答案为：.
5．（2023上·广东·高一校联考期中）已知集合，则的子集个数为 ．
【答案】4
【分析】利用描述法及子集的概念计算即可.
【详解】易知，有2个元素，
所以的子集个数为．
故答案为：4
题型二：集合的基本关系
1．（2024上·河南洛阳·高一统考期末）已知集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出集合，然后结合集合相等的条件即可求解．
【详解】由题意得，，
当时，，
当或时，，
当时，，则，
若，且，则，，
所以，．
故选：B．
2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据，建立条件关系即可求实数的取值范围．
【详解】因为，，
若，则，
则，所以．
故选：B．
3．（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过解不等式求得集合，进而判断出正确答案.
【详解】，解得或，
所以或.
，解得或，
所以或.
所以，B选项正确，其它选项错误.
故选：B
4．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合是集合的子集，结合集合中元素的互异性求解即可.
【详解】集合，，
由于，则实数的取值范围是
故选：B．
5．（2024上·吉林延边·高一统考期末）已知全集，集合.

(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)若非空集合，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦恩图分析得，再化简集合，从而利用集合的交并补运算即可得解；
（2）先求得，利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）根据题意，分析可得，
而，，
则或，
所以；
（2）因为，则，
若非空集合，且，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
题型三：集合的基本运算
1．（2024·陕西·校联考一模）已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的定义域可得集合，求出函数的值域可得集合B，再求可得答案.
【详解】，则且，
可得的值域．
故选：B.
2．（2024下·江西·高三校联考开学考试）设集合，，若的真子集的个数是，则正实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】解出集合，分析可知，集合的元素个数为，确定集合，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】由可得，解得，
因为，则且，
因为的真子集的个数为，设的元素个数为，则，解得，
因为，则，所以，，解得,
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知集合．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得集合，然后由并集定义计算；
（2）由，可得，列出相应不等式组，从而可求解.
【详解】（1）由题意知：，解得，所以，
所以.
（2）由题意，得，所以，解得.
故的取值范围为.
4．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
间题：已知集合．
(1)当时，求；
(2)若___________，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得或，，结合集合的运算，即可求解；
（2）由或和，若选择①②，转化为，列出不等式，即可求得的取值范围；若选择③：得到，结合集合的运算，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式，解得或，可得或，
当时，可得，
则，所以．
（2）解：由集合或和，
若选择①：由，即，可得，解得，
所以实数的取值范围为；
若选择②：由“”是“”的必要条件，可得，可得，解得，
所以实数的取值范围为；
若选择③：由或，可得，
要使得，则，解得，所以实数的取值范围为.
5．（2023下·河南·高一校联考阶段练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合后可求；
（2）先求出，再根据可得的不等式，故可求其取值范围.
【详解】（1）由得，，
当时，,
，所以．
（2）因为或，
又,
所以，所以实数的取值范围是
6．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）已知集合，函数定义域为集合B．
(1)若，求实数a的取值范围．
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)且或
【分析】（1）由可得，解不等式可得所求范围；
（2）由可得，根据转化为关于实数的不等式，解不等式可得所求范围.
【详解】（1）由题可得，得，即，
所以或.
（2）；对函数，，由于，
当时，即，，函数无意义，所以，得，
由，知或，得且或.
题型四：充分条件与必要条件
1．（2024上·全国·高三校联考竞赛）设，集合．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解.
【详解】因为，
当时，则有，或，
若，显然解得；
若，则，整理得，
因为，，
所以无解；
综上，，即充分性成立；
当时，显然，即必要性成立；
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
2．（2022上·北京·高一校考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解得或，根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】解得或，
所以“”“”，“”“”，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：B．
3．（2024上·天津·高三校联考期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由，得，必有，
而当时，可以是负数，如成立，却有，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2024上·北京密云·高一统考期末）已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性结合充分、必要条件逐项分析判断.
【详解】当时，满足，但不成立，不满足充分性，A选项错误；
由指数函数单调性可知，若，则，反之，若，则，
所以是的充要条件，B选项错误；
当时，满足，但不成立，不满足充分性，C选项错误；
若，则有，反之，不能得到，比如当时，不成立，
所以是的充分不必要条件，D选项正确.
故选：D
5．（2024上·江苏南京·高一统考期末）设全集，已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2).
【分析】（1）求出集合A，由集合运算列式可得结果，
（2）由充分条件得，根据子集关系列式可得结果.
【详解】（1）由，解得，所以.
因为，且，所以或，解得或，
所以实数的取值范围是或.
（2）因为“”是“”的充分条件，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
题型五：“的”字结构与“是”字结构对比
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解一元一次不等式结合必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】由题意，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A.
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，再根据两个范围的包含关系即可判断.
【详解】由可得: ,解得：，
因是的真子集，故 “”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
3．（2024上·福建南平·高一统考期末）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先分析不等式成立的一个充分不必要条件的性质，再解不等式即可得解.
【详解】要成为不等式成立的一个充分不必要条件，
则该条件所对应的集合为不等式的解集的真子集，
解，得，故不等式的解集为，
逐一分析各选项，可知只有D选项对应的集合满足题意，故D正确.
故选：D.
4．（2024上·陕西咸阳·高一统考期末）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可.
【详解】因为“不等式在上恒成立”，
显然不满足题意，
所以，解得，
则“不等式在上恒成立”等价于，
故要找的必要不充分条件需要被推出.
对于A，是充要条件，故A错误；
对于B，因为推不出，故B错误；
对于C，因为，反之不能推出，故C正确；
对于D，因为推不出，故D错误．
故选：C．
5．（多选）（2024上·四川广安·高一统考期末）“，”为真命题的充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】变形得到，恒成立，由基本不等式求出的最小值，从而得到，分析四个选项，得到AB满足要求.
【详解】，恒成立，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，
由于和均为的真子集，故AB正确，CD不合要求.
故选：AB
题型六：全称量词与存在量词
1．（2024下·广东·高三校联考开学考试）已知，；，．若为假命题，为真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题以及特称命题的真假，结合二次函数的最值以及一元二次方程的判别式，即可求得答案.
【详解】由题意知，为假命题，
则，为真命题，
当时，的图象的对称轴为，
此时其最大值为，则；
又，为真命题，
即，即得，
综合可得的取值范围为，
故选：A
2．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据含有一个量词命题的否定，即可得答案.
【详解】由题意知命题为存在量词命题，
其否定为全称量词命题：，
故选：A
3．（2024上·江苏徐州·高一统考期末）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解即可.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
因此有，所以实数的最小值为，
故选：C
4．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】先由p是假命题，得到是真命题，求出b的范围，对四个选项一一验证.
【详解】由，，得，.
由于命题p是假命题，可知是真命题，所以在时恒成立，
则，解得.
故选：CD.
5．（多选）（2024上·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案.
【详解】，
则对都成立，
又，所以，
观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.
故选：BCD.
题型七：一元二次不等式
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.
【详解】由不等式可得，
即，可得，
因此不等式的解集是.
故选：C
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解.
【详解】，即，则且．解得，
不等式的解集为.
故答案为：.
3．（2015下·福建·高一校联考阶段练习）已知不等式的解集为或
(1)求的值
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题知,是方程的两个解，根据韦达定理列出方程，解出即可；
（2）化简不等式，分类讨论，即可得到不等式的解集.
【详解】（1）因为不等式的解集解集为或,
所以，是方程的两个解，
所以，解得.
（2）由（1）知原不等式为，
即，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
4．（2023上·吉林白山·高一统考期末）解关于x的不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用分式不等式的解法求解即可得解；
（2）将不等式化为，分类讨论的取值范围，从而得解.
【详解】（1）由题意，
可得，解得或，
所以不等式的解集为.
（2）不等式可化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，不等式化为，其解集为；
当时，不等式化为，
（ⅰ）当，即时，不等式的解集为；
（ⅱ）当，即时，不等式的解集为；
（ⅲ）当，即时，不等式的解集为.
5．（2024上·四川南充·高一统考期末）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值；
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由不等式解集可得是的两个根，利用根与系数关系求参数值；
（2）由题意有，讨论、、求不等式解集.
【详解】（1）由题设的解集为，即是的两个根，
所以.
（2）由题意，
当时，解得或，故解集为；
当时，解得，故解集为；
当时，解得或，故解集为；
题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题
1．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得恒有成立，结合二次不等式恒成立性质对进行分类讨论进行求解即可.
【详解】由题意得恒成立，当时, 恒成立，满足题意；
当时, ,解得,综上.
故选:C.
2．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意确定为真命题，则只需，设，根据二次函数的性质求得在上的最大值，即可求得答案.
【详解】若是假命题，则为真命题，故，
只需，
设，则在上单调递减，
在上单调递增，其中，
故，所以,即实数的取值范围是,
故答案为:
3．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）已知二次函数，对任意都有，且．
(1)求函数的解析式；
(2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得函数关于对称，再根据求出即可；
（2）不等式即为，将当作参数，分，和三种情况讨论，利用分离参数法求解即可.
【详解】（1）因为，所以函数关于对称，
则，解得，
所以；
（2）不等式即为，
当时，则恒成立，
而，
所以，即，
因为，
所以；
当时，恒成立，此时；
当时，则恒成立，
而，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为．
4．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】由对数的运算性质和换元法，结合二次函数的最值求法，可得所求值域；
由题意可得，恒成立，运用换元法和参数分离，以及二次函数的图象和性质，解不等式可得所求范围．
【详解】（1），
令，则函数化为，，
因此当时，取得最小值，
当时，，取得最大值0，
即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0，
可得函数的值域为；
（2），恒成立，
即，恒成立，
令，则，恒成立，
令，，
则，
解得，
所以实数的取值范围为
5．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可.
（2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可.
【详解】（1）因为一元二次不等式的解集为，
所以和1是方程的两个实根，则，
解得．因此所求不等式即为：，解集为或．
（2）可化为：，当时显然成立；
当时，对恒成立，
令，则，
当，即时，
所以，即．
6．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）设定义域为的奇函数，（其中为实数）．
(1)求的值；
(2)是否存在实数和，使不等式成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）由是定义在的奇函数，利用，即可求出的值，再利用定义验证.
（2）先证明函数单调性脱去不等式中的，转化为不等式恒成立问题，通过分离参数转化为函数最值问题求解.
【详解】（1）由是定义在的奇函数，则有，得，把代入函数得，
而，所以符合题意.
（2），因为函数且在单调递增，
所以在上单调递减，从而在上单调递减.
因为在上单调递减. 所以
设函数，要想满足题意，只需大于在上的最小值或者小于在上的最大值即可，
由双勾函数的性质可知在递减，在递增，在上递减，
所以在上的最小值为，在上的最大值为.
所以存在.
题型九：基本不等式及其应用
1．（2023上·新疆·高一校考期末）若正实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正实数、满足，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为.
故选：B．
3．（2024上·广西·高一校联考期末）已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可.
【详解】，则有，
可得，即4，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为4.
故选：B
4．（多选）（2024上·河南驻马店·高一统考期末）已知正实数，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，当时，，A选项不正确.
B选项，，当且仅当时等号成立，B选项正确.
C选项，，当且仅当时等号成立，C选项正确.
D选项，，
但无解，所以等号不成立，D选项错误.
故选：BC
5．（2023·陕西咸阳·咸阳市实验中学校考一模）已知，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，，
得
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
6．（2022上·河南·高二校联考期末）已知中，点D在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据向量共线可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解.
【详解】∵，由于D在线段（不含端点）上，
故三点共线，所以且，
则，
当且仅当时，即时取等号，
故有最小值.
故答案为：.
7．（2022上·河南·高三校联考专题练习）若正数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】正数，满足，
依题意，，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
8．（2024下·湖北·高二应城市第一高级中学校联考开学考试）已知，，其中，，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标形式可得的等量关系，利用基本不等式可求的最小值.
【详解】因为，故即，
故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，
故答案为：.
题型十：复数的综合应用
1．（2024下·陕西安康·高三统考开学考试）已知复数，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数除法运算法则结合共轭复数概念可得答案.
【详解】，则.
故选：B
2．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】由复数相等可列出方程组求解.
【详解】由题意，
所以，解得，所以.
故选：D.
3．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用乘方运算和模长计算可得，可知虚部为.
【详解】根据题意可得，
易知的虚部是.
故选：D
4．（2024下·江苏南通·高三统考开学考试）若，且是纯虚数，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合是纯虚数，求得，即可求解．
【详解】设，则
因为是纯虚数，可得，即，所以．
故选：B.
5．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知复数，其中且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】由复数模的几何意义，问题转化为点到直线的距离.
【详解】复数，其中且，
复数在复平面内对应的点，在直线上，
的几何意义是点到点的距离，
其最小值为点到直线的距离，最小值为.
故选：D
6．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知i为复数单位，，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由复数相等求出的值，再由复数几何意义得解.
【详解】由，则，
由复数相等得，
所以在复平面上对应的点为，在第四象限.
故选：D
7．（2022·全国·模拟预测）已知复数z为纯虚数，且满足，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合复数运算公式化简求，根据纯虚数定义列方程求.
【详解】由题意得，，
因为复数z为纯虚数，
所以，解得，
故选：A.
第二部分：新定义题
1．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对B．①对②错C．①错②对D．①错②错
【答案】A
【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题.
【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且，
且集合是由某些正整数组成的集合，
所以，，
因为，满足其中且，所以，
因为，且，，所以，
因为，，，所以，故①对；
下面讨论元素与集合的关系，
当时，；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；依次类推，
当时，，，，
所以，则，故②对.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解.
2．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中学校考期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（ ）
A．若P有2个元素，则Q有3个元素
B．若P有2个元素，则有4个元素
C．若P有2个元素，则有1个元素
D．存在满足条件且有3个元素的集合P
【答案】C
【分析】若集合中有个元素，设，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选项ABC；假若有个元素，设，再根据题设条件推导分析，可得到中还有第四个元素，推出矛盾，从而可判断出D选项.
【详解】若有2个元素，设，则，
因为至少有个元素，所以中除外至少还有一个元素，
不妨设，，则，
若，则且，
所以，与假设矛盾，所以，
所以或，
当时，则，所以，
若，则，与矛盾，所以，同理可知，
所以此时，；
当时，则，所以，
若，则，与矛盾，所以，同理可知，
此时，；
由上可知，当有2个元素，则有个元素，有个元素，有个元素，
故A错误，B错误，C正确；
不妨假设有个元素，设，则为互不相等的正数，
由③可知：，
又因为为互不相等的正数，所以也为互不相等的正数，
由②可知：都是集合的元素，
因为为互不相等的正数，所以都是不等于的正数，所以，
又因为为互不相等的正数，所以，
考虑到和，若，则为互不相等的正数，
又因为，所以，所以是与不相等正数，
因为都是集合的元素，所以集合中至少有个元素，这与假设矛盾，
因此考虑的情况，所以，同理可得，所以，
所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以有个元素不可能成立，故D错误；
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中元素个数的目的.
3．（2015上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期中）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】确定M中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案.
【详解】的子集有，
由题意知M中一定含有，
则M中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取；
当剩余的5个集合都不选时，，共1个；
当只取1个时，或，
或，满足题意，此时M有3个；
当取2个时，或，
或，满足题意，此时M有3个；
当取3个时，或，
或或，满足题意，此时M有4个；
当取4个时，没有符合题意的情况；
当5个全选时，，共1个，
故所有含的“M—集合类”的个数为，
故选：D
4．（2023上·上海浦东新·高一校考期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”.
①集合是“完美集”；
②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；
③二元“完美集”有无穷多个；
④若，则“完美集”A有且只有一个，且.
其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号）
【答案】①②③④
【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确.
【详解】对于①中，，，
集合是“完美集”，所以①正确；
对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系和相当于的两根，
由，解得或（舍去），所以，
所以、至少有一个大于2，所以②正确；
对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的，
所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确；
对于④中，不妨设A中，
由，得，
当时，即有，所以，于是，无解，
即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”A只有一个，为．
当时，由，即有，
事实上，，矛盾，
所以当时不存在完美集，所以④正确.
故答案为：①②③④.
【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
(2)若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值：
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)具有性质；不具有性质.
(2)3
(3)存在，4
【分析】（1）将集合，进行计算，得出集合中的元素个数即可知具有性质；不具有性质.
（2）利用等比数列性质和集合性质的定义，即可得集合中的元素个数最大值为3；
（3）根据集合具有的性质的定义，对集合中的元素个数进行分类讨论，再由集合元素的互异性得出矛盾即可求出中的元素个数最大值是4.
【详解】（1）具有性质；不具有性质.
若，则，恰有个元素，所以具有性质；
若，，有5个元素，，不具有性质.
（2）当中的元素个数时，因为中所有元素能构成等比数列，
不妨设元素依次为构成等比数列，则，其中互不相同.
于是这与具有性质，中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.
当中的元素个数恰有3个时，取时满足条件，
所以集合中的元素个数最大值为3.
（3）因为，不妨设，
所以.
（1）当时，构成等比数列，
所以，即，其中互不相同.
这与中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.
（2）当时，构成等比数列，第3项是或.
① 若第3项是，则，即，
所以，与题意矛盾.
② 若第3项是，则，即，
所以成等比数列，设公比为，则中等比数列的前三项为：
，其公比为，第四项为，第十项为.
(ⅰ)若第四项为，则，得，
又，得，此时中依次为
显然，不合题意.
(ⅱ)若第四项为，则，得，又，得，
此时中依次为，显然，不合题意.
因此，.
取满足条件.
所以中的元素个数最大值是4.
【点睛】方法点睛：对于“新定义”的题目关键在于充分理解定义的本质，把新定义与高中已学内容建立联系，灵活运用类比、归纳、分类讨论等数学思想才能将问题解决.
7．（2018上·北京西城·高一北京市第三十五中学校考期中）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．
(1)设函数，求集合和；
(2)求证：；
(3)设函数，且，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，直接解方程、，可得出集合、；
（2）分、两种情况讨论，第一种情况直接验证即可；在第二种情况下，任取，由“稳定点”和“不动点”的定义证得，即可得出结论；
（3）分、两种情况讨论，在第一种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出；在第二种情况下，推导出，结合不等式的基本性质可得出，从而得出.综合可证得结论成立.
【详解】（1）解：由，可得，即，
由，解得，即.
故当时，.
（2）证明：当，则成立，
若，对任意的，，则，所以，，
因此，.
综上所述，.
（3）证明：因为，则关于的方程无实解，
即方程无实解，则，
构造函数，
①当时，函数的图象恒在轴上方，
即对任意的，则恒成立，
则，即恒成立，即；
②当时，函数的图象恒在轴下方，
即对任意的，则恒成立，
则，即恒成立，即.
综上所述，当时，.
【点睛】关键点点睛：在证明第三问时，要注意分、两种情况分析，确定与之间的大小关系，进而可得出与的大小，从而证出结论成立.