2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲第六章数列章节验收测评卷(19题新题型)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲第六章数列章节验收测评卷(19题新题型)(学生版+解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知数列的前5项依次为，按照此规律，可知（ ）
A．8B．12C．16D．32
2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等比数列的公比为4，则的值为（ ）
A．4B．C．D．16
3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且等比数列满足，则（ ）
A．2024B．1012C．2D．
4．（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（ ）
A．3.4升B．2.4升C．2.3升D．3.6升
5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列an满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列，，其前项和为，若，则（ ）
A．0B．C．2025D．
7．（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波那契数列，
13．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列均为等差数列，且其前n项和分别为和.若，则 .
14．（23-24高一下·上海·期中）将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为 .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于，将数列中落在区间内的项的个数记为，求数列的通项公式.
17．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列an的前n项和为，且.
(1)求证：数列an为等比数列，并求其通项公式；
(2)令，数列bn的前n项和为.求证：.
18．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和．若，且数列满足．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：数列的前n项和；
(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围．
19．（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）如果数列的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”．
(1)已知是正项等比数列，是等差数列，且，，．记．
①求数列的前项和；
②判断数列是不是“凸数列”，并证明你的结论；
(2)设项正数数列是“凸数列”，求证：，，
第06讲 第六章 数列 章节验收测评卷
（19题新题型）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知数列的前5项依次为，按照此规律，可知（ ）
A．8B．12C．16D．32
【答案】A
【知识点】观察法求数列通项
【分析】利用观察法求出数列的通项公式即可得解.
【详解】数列的前5项依次为，则，
所以.
故选：A
2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知等比数列的公比为4，则的值为（ ）
A．4B．C．D．16
【答案】A
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】利用等比数列项的性质化简计算即得.
【详解】因等比数列的公比为4，故.
故选：A.
3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且等比数列满足，则（ ）
A．2024B．1012C．2D．
【答案】A
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】根据题意易知，再利用等比数列性质计算即可得出结果.
【详解】易知，
又，所以，
因为为等比数列，所以，
所以.
故选：A
4．（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（ ）
A．3.4升B．2.4升C．2.3升D．3.6升
【答案】A
【知识点】等差数列的简单应用、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】根据题意建立数列模型，由等差数列定义可求得首项和公差，即可求出结果.
【详解】设从下至上各节的容积分别为，
由题意知为等差数列，公差为，
因为，即，
解得
所以．
故选：A
5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列an满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列
【分析】根据递推公式，构造等比数列得出数列的通项公式.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
6．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列，，其前项和为，若，则（ ）
A．0B．C．2025D．
【答案】A
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】借助等差数列求和公式结合题意计算可得的公差，即可得.
【详解】设数列的公差为，则，
故，
，
故，则.
故选：A.
7．（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、递推数列的实际应用
【分析】利用给定条件结合对数的性质构造，两侧同时平方求最值即可.
【详解】由题知是的正整数解，
故，
取指数得，
同除得，，
故，即，
根据是递增数列可以得到也是递增数列，
于是原不等式转化为.
而可以得到满足要求的的最大值为5，故A正确.
故选：A
8．（23-24高二上·上海嘉定·阶段练习）已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】数列的极限、无穷等比数列各项的和、求等比数列前n项和、数列不等式恒成立问题
【分析】首先判断，根据an为无穷递缩等比数列可得，再就分类讨论后可得的取值范围，即可判断.
【详解】若，则，不满足，且显然不合题设，所以且；
所以，因为，则，
又对任意的，，即，即，
若，则，即对任意的恒成立，
当或时，当时，
所以对任意的，不恒成立，故A，C错误；
当，则，即对任意的恒成立，
当时，若，则，故D不恒成立，
所以，满足.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高二下·安徽·阶段练习）设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．与均为的最大值
【答案】ACD
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据题意，由等比数列的性质依次分析选项，即可得答案．
【详解】根据题意，是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，
由可得，故C正确；
由可得，则，故A正确；
是各项为正数的等比数列，，
则有，
对于B，，则有，故B错误，
对于D，，则与均为的最大值，D正确.
故选：ACD
10．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（ ）
A．可能为等差数列B．不可能为等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
【答案】AC
【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列
【分析】对于AB，举例判断，对于C，根据等差数列的定义结合题意分析判断，对于D，根据等比数列的定义结合题意分析判断，
【详解】对于A，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以A正确．
对于B，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以B错误．
对于C，设的公差为，则，得，
因为，所以数列是等差数列，所以C正确．
对于D，设的公比为，则，
当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误．
故选：AC
11．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是数列中的最大值
D．数列无最大值
【答案】ABC
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性
【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断.
【详解】对于A，由可得，（*），
由可得.
当时，因，则，即（*）不成立；
当时，，（*）成立，故，即A正确；
对于B，因，故B正确；
对于C,D，由上分析，且，则是数列中的最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前项和，的值为 .
【答案】99
【知识点】裂项相消法求和
【分析】由裂项求和法求和，列方程即可求解.
【详解】∵，
∴．
由，解得．
故答案为：99
13．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列均为等差数列，且其前n项和分别为和.若，则 .
【答案】
【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题
【分析】根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式化简，结合条件求出答案即可．
【详解】因为为等差数列，且，
所以
，
故答案为：．
14．（23-24高一下·上海·期中）将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为 .
【答案】/
【知识点】裂项相消法求和
【分析】分为奇数和偶数，按照最优分解定义，求数列的通项，再求和.
【详解】当时，，则，
当时，，则，
故数列的前2023项和为
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对新概念的理解，并对分奇数和偶数两种情况进行讨论，从而得到数列的通项公式.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项
【分析】（1）采用累乘法直接求解即可；
（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）由题意知：当时，，
；
当时，满足；
综上所述：.
（2）由（1）知：，
.
16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于，将数列中落在区间内的项的个数记为，求数列的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）通过解不等式进行求解即可.
【详解】（1）当时，为等差数列，设公差为.
.
（2）由（1）得，，
，，，…，，
.
17．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列an的前n项和为，且.
(1)求证：数列an为等比数列，并求其通项公式；
(2)令，数列bn的前n项和为.求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
（3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；
【详解】（1）由题意知，
当时，，所以．
当时，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
因为，所以，
所以，令，可得，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，可得
，
所以，所以．
（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于．
因为，
所以，所以数列的最大项为和，且．
所以，即，
解得或，即实数的取值范围是．
19．（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）如果数列的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”．
(1)已知是正项等比数列，是等差数列，且，，．记．
①求数列的前项和；
②判断数列是不是“凸数列”，并证明你的结论；
(2)设项正数数列是“凸数列”，求证：，，
【答案】(1)①；②是“凸数列”，证明见解析；
(2)证明见解析.
【知识点】错位相减法求和、由基本不等式证明不等关系、数列新定义、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）根据的通项公式再应用错位相减即可求解；
（2）应用数列新定义即可得证；
（3）记，利用分析法，只需证，由数列an为对数性凸数列，得到，，再用基本不等式证明即可.
【详解】（1）①设an的公比为，bn的公差为，
由题意可得解得或（舍去），，
因此，．故，
从而，（i）
，（ii）
（i）－（ii）得，，
即．
②由①，，
所以，
故数列是“凸数列”．
（2）记，则原不等式等价于
，
即，
因而只需证明，
因为，所以，
故，
而
，
从而，
即，结论得证.
【点睛】方法点睛：解决数列新定义题型，需要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，结合所学习过的知识点，逐一分析、证明、求解.