2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根)(知识+真题+5类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根)(知识+真题+5类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共56页。试卷主要包含了函数的零点，函数零点的判定等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10040" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc10040 \h 1
\l "_Tc31784" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc31784 \h 2
\l "_Tc11329" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc11329 \h 3
\l "_Tc7405" 高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数 PAGEREF _Tc7405 \h 3
\l "_Tc24302" 高频考点二：证明唯一零点问题 PAGEREF _Tc24302 \h 5
\l "_Tc22542" 高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题 PAGEREF _Tc22542 \h 6
\l "_Tc32187" 高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题 PAGEREF _Tc32187 \h 9
\l "_Tc11836" 高频考点五：构造函数研究函数零点问题 PAGEREF _Tc11836 \h 12
\l "_Tc31249" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc31249 \h 13
\l "_Tc30902" 备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图 PAGEREF _Tc30902 \h 13
\l "_Tc10184" 第五部分：新定义题 PAGEREF _Tc10184 \h 14
第一部分：基础知识
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·乙卷文）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·乙卷文）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
3．（2022·全国·乙卷理）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
典型例题
例题1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.
(1)若在上为“凸函数”，求的取值范围；
(2)若，判断在区间上的零点个数.
例题2．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)讨论函数在上的零点个数．（参考数据：，）
例题3．（23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知曲线C：
(1)若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；
(2)若，讨论的零点个数．
练透核心考点
1．（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为.
(1)求的值；
(2)判断函数的零点个数.
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值．
(2)在（1）的条件下，若，试探究在上零点的个数．
高频考点二：证明唯一零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数．
(1)若，当时，证明：．
(2)若，证明：恰有一个零点．
例题2．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知函数在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：在区间内有唯一零点.
例题3．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明：有唯一零点．
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为的导函数.求证:在上存在唯一零点.
2．（2023高三上·全国·专题练习）已知，函数，.证明：函数，都恰有一个零点.
高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题
典型例题
例题1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围．
例题2．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数
(1)若函数在处取得极值，求的值；
(2)若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.
例题3．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知在处取得极小值．
(1)求的解析式；
(2)求在处的切线方程；
(3)若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.
例题4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数.
(1)求在上的最大值；
(2)若函数恰有三个零点，求的取值范围.
练透核心考点
1．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，.
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在处有极小值．
(1)求c的值．
(2)函数恰有一个零点，求实数a的取值范围．
4．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论的单调性并求极值.
(2)设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.
高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点个数.
(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明.
例题2．（2023·四川·一模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)令（a为常数），若有两个零点，求实数a的取值范围.
例题3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：函数在上有两个不同的零点.
例题4．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论函数的零点个数．
练透核心考点
1．（2023·四川·三模）已知函数和函数，且有最大值为．
(1)求实数a的值；
(2)直线y＝m与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，且，证明：．
高频考点五：构造函数研究函数零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求实数的取值范围.
例题2．（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数 ，，是自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于的方程 有两个不等实根，求的取值范围；
(3)若 ，为整数，且当时， 恒成立，求 的最大值.
练透核心考点
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数.
(1)判断的单调性；
(2)当时，求函数的零点个数.
2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数，
(1)若函数，
①求的最小值；
②若，且，求证：；
(2)若函数，且有两个相异的零点，又，求实数的取值范围．
第四部分：典型易错题型
备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图
1．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知函数，其中.
(1)若，求的单调区间；
(2)若恰有2个不同的极值点，求的取值范围；
(3)若恰有2个不同的零点，求的取值范围.
第五部分：新定义题
1．（2024高三下·江苏·专题练习）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.若为上的“2类函数”，求实数的取值范围.
第06讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10040" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc10040 \h 1
\l "_Tc31784" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc31784 \h 1
\l "_Tc11329" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc11329 \h 6
\l "_Tc7405" 高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数 PAGEREF _Tc7405 \h 6
\l "_Tc24302" 高频考点二：证明唯一零点问题 PAGEREF _Tc24302 \h 11
\l "_Tc22542" 高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题 PAGEREF _Tc22542 \h 15
\l "_Tc32187" 高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题 PAGEREF _Tc32187 \h 24
\l "_Tc11836" 高频考点五：构造函数研究函数零点问题 PAGEREF _Tc11836 \h 35
\l "_Tc31249" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc31249 \h 41
\l "_Tc30902" 备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图 PAGEREF _Tc30902 \h 41
\l "_Tc10184" 第五部分：新定义题 PAGEREF _Tc10184 \h 43
第一部分：基础知识
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·乙卷文）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】
，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
2．（2022·全国·乙卷文）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
3．（2022·全国·乙卷理）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究
【详解】（1）的定义域为
当时,,所以切点为,所以切线斜率为2
所以曲线在点处的切线方程为
（2）
设
若,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以在上单调递增
所以存在,使得,即
当单调递减
当单调递增
所以
当,
令则
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又，，
所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设
所以在单调递增
所以存在,使得
当单调递减
当单调递增,
又
所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减，
当，，
又，
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点
所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为
【点睛】方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
典型例题
例题1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.
(1)若在上为“凸函数”，求的取值范围；
(2)若，判断在区间上的零点个数.
【答案】(1)
(2)1个
【分析】
（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式在恒成立即可求得的取值范围；
（2）易知，由导函数求得其在上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个.
【详解】（1）由可得其定义域为，且，
所以，
若在上为“凸函数”可得在恒成立，
当时，显然符合题意；
当时，需满足，可得；
综上可得的取值范围为；
（2）若，可得，所以，
令，则；
易知在区间上恒成立，
因此可得在上单调递减；
显然，；
根据零点存在定理可得存在使得，
因此可知当时，，即在上为单调递增；
当时，，即在上为单调递减；
又，显然在上不存在零点；
而，结合单调性可得在上存在一个零点；
综上可知，在区间上仅有1个零点.
例题2．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)讨论函数在上的零点个数．（参考数据：，）
【答案】(1)极小值是，无极大值；
(2)2
【分析】
（1）求导，即可根据函数的单调性求解极值点，
（2）分类讨论和上的导数正负，结合零点存在性定理即可求解.
【详解】（1）
函数，
；
令，即，解得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取极小值，
函数的极小值是，无极大值；
（2），则，
令则，
由于时，，因此函数在上单调递增，
由于，
因此存在唯一的，使得，
故当单调递减，当单调的递增，
时，，此时单调递减，
综上可知在单调递减，在单调递增，
又，，当时，，
因此与轴有两个不同的交点，故在上的零点个数为2.
【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
例题3．（23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知曲线C：
(1)若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；
(2)若，讨论的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简；
（2）先求得，得的单调性，然后讨论的正负，结合零点存在定理得零点个数．
【详解】（1）依题意得，，此时，
，
则切线斜率为，故切线方程：，即.
（2），
令得，令得，
令得．减区间为，增区间为，
∴．
当时，，
∴，∴在上有且仅有一个零点．
当时，令，，
∴在上单调递增，
∴，即，
又，∴在上有一个零点，
又
令，则，∴在上单调递减，
∴，∴，∴在上有一个零点．
综上所述，时，有一个零点，时，有2个零点.
练透核心考点
1．（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为.
(1)求的值；
(2)判断函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
（1）由的图象关于对称，得到，列出方程组即可求解；
（2）由（1）得到函数的解析式，求出，利用判断根的情况，分类讨论确定零点的个数.
【详解】（1）因为函数的图象关于点中心对称，故为奇函数，
从而有，即，
，
，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）可知，，，，
①当时，，，所以在上单调递增，
，，
函数有且仅有一个零点；
②当时，，，
有两个正根，不妨设，则，
函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，
函数有且仅有一个零点；
③当时，，
令，解得或，
有两个零点；
④当时，，，
有一个正根和一个负根，不妨设，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，
函数有且仅有三个零点；
综上，当时，函数有三个零点；
当时，函数有两个零点；
当时，函数有一个零点.
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值．
(2)在（1）的条件下，若，试探究在上零点的个数．
【答案】(1)
(2)只有1个零点
【分析】（1）求导，再利用导数的几何意义求解；
（2）由（1）知，再利用导数法求解.
【详解】（1）解：由，
得，则有
所以切线方程为．
又因为曲线在点处的切线方程为，
所以．
（2）由（1）知，
则．
令，则．
当时，，则单调递减，
所以．
所以在上单调递增．
当时，；当时，．
所以在上存在零点，且只有一个零点．
当时，，则单调递减，，，
所以存在，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减．
而，所以在上无零点．
综上，在上只有1个零点．
高频考点二：证明唯一零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数．
(1)若，当时，证明：．
(2)若，证明：恰有一个零点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据题意，求导可得，即可得到在上单调递增，再由，即可证明；
（2）根据题意，构造函数，求导可得，即在上单调递增，再结合，即可证明.
【详解】（1）
证明：因为，所以，．
当时，，则在上单调递增，
所以当时，．
（2）
．
令，则．
令，则．
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以，所以，
则在上单调递增．
因为，所以恰有一个零点，则恰有一个零点．
例题2．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知函数在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：在区间内有唯一零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得，分和讨论的单调性，并保证在内有唯一零点即可.
（2）利用导数确定在区间上的单调性，根据零点存在性定理证明即可.
【详解】（1），当时，，
①当时，在上单调递减，没有极值点，不合题意；
②当时，与在上分别单调递增，显然在上单调递增，
因为，
所以，得，此时在内有唯一零点，
所以当时，；当时，，
所以在内有唯一极小值点，符合题意.
综上，实数的取值范围为.
（2）证明：由（1）知，当时，，，
∴在上，
∴在上单调递增，
∵当时，单调递增，
∴当时，单调递减,当时，单调递增，
∵当时，，∴，
又∵，∴在内有唯一零点，
即在内有唯一零点.
例题3．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明：有唯一零点．
【答案】(1)1
(2)证明见详解
【分析】（1）易判断单调递增，令，即可得，令即可求；
（2）由导数判断单调递增，即可得证.
【详解】（1）由易判断在单调递增，
且，，
所以可令，
得， 所以，
由题意，即，
所以；
（2），则，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
所以，
结合（1）可得存在唯一，使得，即函数有唯一零点.
【点睛】关键点点睛：解决本题（1）的关键是通过同构得出；（2）的关键是二次求导确定函数的单调性.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，为的导函数.求证:在上存在唯一零点.
【答案】证明见解析
【分析】
求导，确定函数单调性，再利用零点存在定理判断零点情况.
【详解】设，
当时，，所以在上单调递减，
又因为，
所以在上存在唯一的零点，命题得证．
2．（2023高三上·全国·专题练习）已知，函数，.证明：函数，都恰有一个零点.
【答案】证明见解析
【分析】先求导确定函数单调性，然后利用零点存在定理来证明即可.
【详解】证明：函数的定义域为，，
时，，时，，
在上单调递减，在上单调递减增，
时，，，，
函数恰有一个零点.
函数的定义域为，，
时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
时，，，
令（表示中最大的数），，
函数恰有一个零点.
高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题
典型例题
例题1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为：和，单调递减区间为：
(2)或
【分析】
（1）首先求函数的导数，利用导数求解函数的单调区间；
（2）首先求函数的导数，并化简为，，再讨论的取值，结合函数的单调性，判断函数极值点的个数，从而求解实数的取值范围.
【详解】（1）
当时，，定义域为

令，得或，
所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为：
（2）
①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．
②当时，在和上单调递增，在上单调递减，
故有两个极值点a和，与条件相符．
③当时，在和上单调递增，在上单调递减，
故有两个极值点a和，与条件相符．
④当时，，
故在上单调递增，无极值点，舍去．
⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去．
综上可得：或
例题2．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数
(1)若函数在处取得极值，求的值；
(2)若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用极值点的意义得到，从而求得，再进行验证即可得解；
（2）分类讨论的取值范围，利用导数得到的性质，从而得到且，解之即可得解.
【详解】（1）因为，则，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
当时，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.
（2）由，其中，
当时，可得，单调递增，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极大值，也是最大值，
最大值为，
又，且当时，，
所以要使得函数有两个零点，则满足，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
例题3．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知在处取得极小值．
(1)求的解析式；
(2)求在处的切线方程；
(3)若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）求出，由题意可的，由此即可求出答案；
（2）分别求出，的值，再利用点斜式写出直线；
（3）将问题转化为函数与有且只有一个交点，求出函数的单调性与极值，即可求出的取值范围.
【详解】（1）由题意知，
因为在处取得极小值
则，解得：
经检验，满足题意，所以，
所以
（2）由题意知，，
所以所以切点坐标为，斜率
所以切线方程为：，即.
（3）令，解得或，
则，，的关系如下表：
则，，
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于函数与有且只有一个交点，
即或，解得：或，
所以.
例题4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数.
(1)求在上的最大值；
(2)若函数恰有三个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）求导，再利用导数求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最大值；
（2）利用导数求出函数的极值，再结合题意列出不等式组即可得解.
【详解】（1）
，
可知时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，
由，，
；
（2）
，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在单调递减，
所以，，
当时，，当时，，
因为有三个零点，所以，即，
解得，故的取值范围为.
练透核心考点
1．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，.
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，对任意的恒成立，分析函数在上的单调性，根据可求得实数的取值范围，即可得解；
（2）令，分析可知，函数的图象与直线只有一个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得，则，
因函数在上单调递增，
所以对任意的恒成立，
又因为函数在上为增函数，
则，解得，故实数的最小值为.
（2）解：，令，可得，
因为函数的图象与有且只有一个交点，
令，则函数的图象与直线只有一个公共点，
则，令，解得或，令，解得，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，极小值为，
的图象如下所示：

由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点，
因此，实数的取值范围是.
2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）求出导数，计算出切点及斜率，写出直线方程即可;
（2）利用导数求出单调区间以及极值，要使函数有三个不同的零点，只需满足计算即可.
【详解】（1）当时，，．
所以，，
所以切线l：，即
（2）
令，得或．
当或时，；当时，．
∴的增区间为，；减区间为．
∴的极大值为，的极小值为．
∴，解得：．
此时，，所以函数有三个不同的零点，所以．
3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在处有极小值．
(1)求c的值．
(2)函数恰有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）利用导数在处取到极值的必要不充分条件，从而求出c值，再对c进行检验即可求出结果．
（2）利用导数研究函数单调性，通过极值的范围求实数a的取值范围．
【详解】（1）因为，所以，
又因为函数在处有极小值，
所以，解得或，
当时，，
则时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
可得函数在处取得极小值；
当时，，
则时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减，
可得函数在处取得极大值，不合题意，舍去．
所以c的值为3.
（2），
函数定义域为R，，
当时，恒成立，在R上单调递增，
时，有一个零点-1；
时，，，恰有一个零点.
当时，解得或，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
时，有极大值，时，有极小值，
恰有一个零点，或
解得，
综上可知，函数恰有一个零点，实数a的取值范围为.
4．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论的单调性并求极值.
(2)设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值；
(2).
【分析】（1）求出，然后可得单调性和极值；
（2），然后求出当时的单调性，要使函数在内有两个不同的零点，则有，解出，然后证明即可.
【详解】（1）因为在上单调递增，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2）因为，
所以，
当时，，
所以当或时，在上单调，至多只有一个零点，不满足题意，
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以要使函数在内有两个不同的零点，则有，
由可得，下面证明当时，
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以当时，
综上：实数的取值范围为.
高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点个数.
(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明.
【答案】(1)有且仅有一个零点
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解；
（2）根据题意可得有两个不同实根，进而可得，两式相加得，两式相减得，从而有，进而要证，只需证，即证，
构造函数即可证明.
【详解】（1）当时，，
所以函数在上单调递增，
又因为，
所以函数有且仅有一个零点.
（2）方程有两个不同实根，等价于有两个不同实根，
得，令，则，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
由，得当时，；
当的大致图象如图所示，

所以当，即时，有两个不同实根；
证明：不妨设且
两式相加得，两式相减得，
所以，
要证，只需证，
即证，
设，令，
则，
所以函数在上单调递增，且，
所以，即，
所以，原命题得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，常用解决策略是根据，两式相加相减，进而可得，进而要证，只需证，即证，从而将双变量转化为单变量，令，讨论该函数的单调性和最值即可证明.
例题2．（2023·四川·一模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)令（a为常数），若有两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间；
（2）根据题意分析可得有两解，令，利用导数判断原函数的单调性与极值，结合图像分析求解.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为， ，
令，解得；令，解得；
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）由题意可知：，其定义域为，
则有两个零点，即有两解，即有两解，
令，则.
令，解得；令，解得；
则的单调递减区间是，单调递增区间是，
可知，
又因为，且当趋近于，趋近于0，
要使得有两解，只需，所以，

故实数a的取值范围为.
例题3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：函数在上有两个不同的零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）当时，由可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为，则，
所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）解：当时，且当时，由，可得，
令，其中，则，令，可得，列表如下：
所以，函数的最小值为，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
故当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
此时，函数在上有两个不同的零点.
例题4．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论函数的零点个数．
【答案】(1)极小值，无极大值.
(2)当时，函数没有零点；
当或时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点.
【分析】（1）根据题意得出，然后分别令以及，通过计算即可得出函数的单调性，进而求出结果；
（2）可将转化为，记，求出函数的单调性以及最值，最后根据函数的单调性以及最值，然后数形结合可得出结果.
【详解】（1）当时，，，
令，则；令，则；
故函数的单调递增区间是，单调递减区间为；
当时，函数取极小值，无极大值.
（2）令，因为，所以，
记，有，
令，则；令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，从而，
因此当时，直线与的图像没有交点；
当或时，直线与的图像有1个交点；
当时，直线与的图像有2个交点.
综上：当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.
练透核心考点
1．（2023·四川·三模）已知函数和函数，且有最大值为．
(1)求实数a的值；
(2)直线y＝m与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，且，证明：．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）根据的单调性得到最大值为，然后列方程求解即可；
（2）根据交点情况得到，然后再结合的单调性即可得到，即可证明.
【详解】（1）的定义域为R，且，，
当时，，递增；当时，，递减；
所以，
所以，解得，又，所以a＝1.
（2）证明：由（1）可知：在递增，在递减，
又，所以在递增，在递减，
和的图象如图所示：

设和的图象交于点A，则当直线y＝m经过点A时，
直线y＝m与两条曲线和共有三个不同的交点，
则，且，，，
因为，所以，即，
因为，，且在递增，所以，
所以，
因为，所以，即，
因为，，且在递减，
所以，所以，
所以，即．
【点睛】函数零点问题：
（1）转化为方程的根；
（2）转化为函数与轴交点的横坐标；
（3）转化为两个函数图象交点的横坐标.
2．（23-24高二下·贵州·阶段练习）设函数，曲线在点处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)令函数，是否存在实数k使得没有零点？若存在，请求出实数k的范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，；
(3)
【分析】（1）利用导数在的值为0可得答案；
（2）分别令，可得答案；
（3）利用单调性求出函数的极值，画出大致图象，转化为函数与的图象没有交点可得答案．
【详解】（1），
因为曲线在点处取得极值，
所以，
解得，经检验符合题意；
（2）由（1），
，
当，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间为，；
函数的单调递减区间为，；
（3）存在，理由如下，
由（2）函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为，； 所以，，
，当时，，当时，，可得的大致图象如下，

若函数没有零点，则函数与的图象没有交点，
所以.
【点睛】关键点点睛：函数没有零点，转化为函数与的图象没有交点问题，数形结合可得答案.
3．（23-24高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数（）．
(1)当时，过点作的切线，求该切线的方程；
(2)若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设切点为，求导，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，求出切点，即可得解；
（2）分离参数，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象仅有两个交点，求的取值范围．
【详解】（1）当时，，则，
设切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，即，所以，
所以切线方程为，即；
（2）由，得，令，
则，
令得，令得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向，
作出函数的图象和直线，
如图示，在定义域内有且仅有两个零点,
即和有且只有两个交点，
由图象知，的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数在上的最小值为．
(1)求a的值；
(2)若函数有3个零点，求实数b的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求导，再对分四种讨论，求出函数的单调性即得解；
（2）由（1），可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图象可得答案.
【详解】（1）由,,
当时,在上恒大于等于0,所以在上单调递增,
,不合题意；
当时,则时,,单调递减；时,,单调递增,所以,,
所以,不满足；
当时,在上,且不恒为0,所以在上单调递减,
,适合题意；
当时,在上,,所以在上单调递减,
,所以,不满足；
综上,．
（2）由（1）,所以,
令,则,
所以,且当时,；当时,；当时,,
所以极小值为,
极大值为,
如图：
当时,函数有3个零点．
高频考点五：构造函数研究函数零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据定义域可化简函数，构造新函数，即求的解集即可，而，所以解集为．
（2）引入隐零点x0 ，利用导数得到在上单调递减，在上单调递增，最后得到的范围.
【详解】（1）的定义域为
∴当时，，
令，．
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，
则不等式的解集为．
（2）当时，，
令，恒成立，
则在上单调递增，又，
，存在唯一的使，且，
所以
当时，，由，
则在上单调递减，
当时，，由，（分开考虑导函数符号）
当时，在上单调递增，则，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，
由题意则，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，此时，即，
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是构造新的函数，并利用隐零点法求解的范围..
例题2．（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数 ，，是自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于的方程 有两个不等实根，求的取值范围；
(3)若 ，为整数，且当时， 恒成立，求 的最大值.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论和两种情况，求函数的单调性；
（2）方程，转化为，利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，求参数的取值范围；
（3）首先参变分离为，再令，，利用导数求函数的单调区间，并求函数的最小值的取值范围，即可求解的最大值.
【详解】（1），
若，则恒成立，所以在上单调递增，
若，，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，时，的增区间是，
当时，的减区间是，增区间是；
（2）方程，显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有2个交点，
，
当时，，在区间和单调递减，
并且时，，当时，
当时，，单调递增，
时，当时，取得最小值，，
如图，函数的图象，
与有2个交点，则；
（3）当时，，，
所以，
当时，，，
令，，
则，
由（1）可知，在单调递增，而且，
所以在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点，
设此零点为，则，且，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的最小值为，
所以，
所以整数的最大值为2.
【点睛】关键点点睛：本题第二问和第三问的关键是运用参变分离，转化为函数图象的交点问题，以及隐点问题，求最值.
练透核心考点
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数.
(1)判断的单调性；
(2)当时，求函数的零点个数.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递减
(2)2
【分析】（1）求导函数，，利用导数研究函数的单调性，进而求得，从而求出的单调区间；
（2）把问题转化的零点问题，利用导数判断出的单调性，先判断在上不存在零点，再判断在上存在零点，最后判断在上存在零点，即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为.
令，则.
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，
所以在上恒成立，所以在上单调递减，在上单调递减.
（2）且的零点等价于且的零点.
,令，
易知，因为，
所以存在，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
在上单调递增.
当时，，当时，，
所以在，上不存在零点.
取，则，
所以在上存在一个零点，设为.
又，所以，因为，所以，
因为，所以，因为，所以，
所以在上存在一个零点.
综上所述，当时，函数的零点个数为2.
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数，
(1)若函数，
①求的最小值；
②若，且，求证：；
(2)若函数，且有两个相异的零点，又，求实数的取值范围．
【答案】(1)①0 ②证明见解析
(2)
【分析】
（1）①利用导数求出函数的单调区间，进而求出函数的最小值；②利用第①问的结论结合对数运算及对数函数的单调性可得结果；
（2）函数有两个相异的零点转化为函数与有两个不同的交点，利用导数得出结果.
【详解】（1）①因为，且定义域为，
又，令，即，所以，
令，即，所以，
即在上为增函数，在上为减函数，
所以当时有最小值，即的最小值为0.
②因为，所以，即，
由①可知，当时，，即，
所以，所以，即.
（2）因为，且有两个相异的零点，
则，即，
【分析】（1）求得，设，利用导数求得函数的单调性，结合，得到，即可求解；
（2）求得，转化为有两个不等的正根，设，分和，两种情况，利用导数求得函数的单调性，结合，列出不等式，即可求解；
（3）根据题意，转化为，设，求得，得出函数单调性和最值，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：若，则，可得，
设，则，
当时，递增；当时，递减，
所以，即，所以在递减，
即的单调减区间为，无增区间.
（2）解：由函数，可得，
由题意可得有两个不等的正根，
设，
若，则在递增，不符合题意；
若，可得，令，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
可得，
因为有两个不等的正根，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）解：由，可得，即，
设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
又时，时，，
因为恰有2个不同的零点，所以，可得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法总结：利用导数研究函数的零点求参数问题的求解策略:
1、构造函数法：构造新函数，利用导数求得函数的单调性与极值，结合零点的个数，列出不等式组，即可求得参数的范围；
2、参数分离法：根据题意，化简得到，转化为和两个函数的图象的交点个数，从而求得参数的取值范围.
第五部分：新定义题
1．（2024高三下·江苏·专题练习）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.若为上的“2类函数”，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】
理解新定义函数的性质，将其转化为导函数在给定区间上的范围问题，接着通过参变分离法化成求对应函数的最值问题即得参数范围.
【详解】由可得：，
由题意知，对于任意不同的，都有，
不妨设，则，
若对于任意不同的，，
故，
设，故在为增函数，
故在上恒成立，故，
故在上恒成立，
令，而，
令，在单调递减，
且，，
所以使，即，
即，
当时，，，故在单调递增，
当时，，，故在单调递减，
，则得：.
若对于任意不同的，，
则，设，
则在上为减函数，故，
故在上恒成立，令，
，令，在单调递减，
所以，则，即在单调递减，
，则得：；
综上，即得实数的取值范围为.
+
0
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
减
极小值
增