2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第03讲基本不等式(知识+真题+5类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第03讲基本不等式(知识+真题+5类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共41页。试卷主要包含了基本不等式，两个重要的不等式，利用基本不等式求最值，常用技巧等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14195" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc14195 \h 1
\l "_Tc5988" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc5988 \h 2
\l "_Tc14641" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc14641 \h 3
\l "_Tc21210" 高频考点一：基本不等式的内容及辨析 PAGEREF _Tc21210 \h 3
\l "_Tc31971" 高频考点二：利用基本不等式比较大小 PAGEREF _Tc31971 \h 3
\l "_Tc32049" 高频考点三：利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc32049 \h 4
\l "_Tc5819" 角度1：利用基本不等式求积最大值 PAGEREF _Tc5819 \h 4
\l "_Tc31156" 角度2：利用基本不等式求和最小值 PAGEREF _Tc31156 \h 5
\l "_Tc1331" 角度3：二次与二次（一次）的商式的最值 PAGEREF _Tc1331 \h 5
\l "_Tc15331" 角度4：“1”的妙用求最值 PAGEREF _Tc15331 \h 5
\l "_Tc26869" 角度5：条件等式求最值 PAGEREF _Tc26869 \h 6
\l "_Tc6219" 高频考点四：基本不等式的恒成立问题 PAGEREF _Tc6219 \h 7
\l "_Tc10457" 高频考点五：利用基本不等式解决实际问题 PAGEREF _Tc10457 \h 8
\l "_Tc5359" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc5359 \h 10
\l "_Tc19225" 备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等” PAGEREF _Tc19225 \h 10
\l "_Tc32327" 第五部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc32327 \h 10
第一部分：基础知识
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
第二部分：高考真题回顾
1．（2022·全国·（甲卷文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·（甲卷文理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
3．（2022·全国·（新高考Ⅰ卷））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：基本不等式的内容及辨析
典型例题
例题1．（2024上·陕西安康·高一校考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（2024·全国·高三专题练习）任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（ ）
A．B．C．5D．3
练透核心考点
1．（2024·全国·高一假期作业）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．当时，的最小值是3
C．当时，的最大值是5
D．若正数满足，则的最小值为3
高频考点二：利用基本不等式比较大小
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．2
例题2．（2024下·福建·高一校联考开学考试）杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为.
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?
(2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由.
练透核心考点
1．（多选）（2024上·湖南常德·高三统考期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2024·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
高频考点三：利用基本不等式求最值
角度1：利用基本不等式求积最大值
典型例题
例题1．（2024上·安徽·高一校联考期末）若正数满足，则的最大值为（ ）
A．6B．9C．D．
例题2．（2024下·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，向量，则的最大值为 .
角度2：利用基本不等式求和最小值
典型例题
例题1．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）若实数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
例题2．（2024上·广西·高一校联考期末）已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．8D．
例题3．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知，则的最小值为
角度3：二次与二次（一次）的商式的最值
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）函数 的最大值为 .
例题2．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为 ．
例题3．（2024·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为 ．
角度4：“1”的妙用求最值
典型例题
例题1．（2024上·安徽·高一校联考期末）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．6B．16C．20D．18
例题2．（多选）（2024上·福建漳州·高一统考期末）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为2D．的最大值为8
角度5：条件等式求最值
典型例题
例题1．（2024下·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）对于正数，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
2．（多选）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知，若，则（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为8
3．（多选）（2023上·安徽合肥·高一合肥市第六中学校考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值是
C．的最小值是8D．的最小值是
4．（多选）（2023上·河南三门峡·高一校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为4B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为2
5．（2023上·重庆永川·高一重庆市永川中学校校考期末）已知，且，则的最小值是 .
6．（2023·全国·高三专题练习）当时，求函数的最小值.
高频考点四：基本不等式的恒成立问题
典型例题
例题1．（2024上·山东滨州·高一统考期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024上·重庆·高一校联考期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2024上·江西萍乡·高一统考期末）已知，函数，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由.
(2)借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第几天最低？
例题2．（2024上·江西上饶·高一统考期末）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?
练透核心考点
1．（2024上·安徽亳州·高一统考期末）拉鲁湿地国家级自然保护区位于西藏自治区首府拉萨市西北角，是国内最大的城市湿地自然保护区，也是世界上海拔最高、面积最大的城市天然湿地．其中央有一座凉亭，凉亭的俯瞰图的平面图是如图所示的正方形结构，其中EFIJ和GHKL为两个相同的矩形，俯瞰图白色部分面积为20平方米．现计划对下图平面正方形染色，在四个角区域（即图中阴影部分）用特等颜料，造价为200元/平方米，中间部分即正方形MNPQ区域使用一等颜料，造价为150元/平方米，在四个相同的矩形区域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等颜料，造价为100元/平方米．
(1)设总造价为W元，MN的边长为x米，AB的边长为y米，试建立W关于x的函数关系式；
(2)计划至少要投入多少元，才能完成平面染色．
2．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）某工厂生产某种产品，年固定成本为200万元，可变成本万元与年产量（件）的关系为
每件产品的售价为90万元，且工厂每年生产的产品都能全部售完.
(1)将年盈利额（万元）表示为年产量（件）的函数；
(2)求年盈利额的最大值及相应的年产量.
第四部分：典型易错题型
备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等”
1．（2024·全国·高二专题练习）已知函数当时，y取最大值b，则的值为（ ）
A．8B．C．4D．0
2．（多选）（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）下列式子中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2024上·山东临沂·高一山东省临沂第一中学期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若且，则D．
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024·全国·高一假期作业）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求的最小值；
(2)若实数a，b，x，y满足，求证：；
(3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
第03讲 基本不等式
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25909" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc25909 \h 1
\l "_Tc28128" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc28128 \h 2
\l "_Tc5088" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc5088 \h 5
\l "_Tc12365" 高频考点一：基本不等式的内容及辨析 PAGEREF _Tc12365 \h 5
\l "_Tc1133" 高频考点二：利用基本不等式比较大小 PAGEREF _Tc1133 \h 8
\l "_Tc19911" 高频考点三：利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc19911 \h 11
\l "_Tc6846" 角度1：利用基本不等式求积最大值 PAGEREF _Tc6846 \h 11
\l "_Tc2614" 角度2：利用基本不等式求和最小值 PAGEREF _Tc2614 \h 12
\l "_Tc1122" 角度3：二次与二次（一次）的商式的最值 PAGEREF _Tc1122 \h 13
\l "_Tc6424" 角度4：“1”的妙用求最值 PAGEREF _Tc6424 \h 14
\l "_Tc31356" 角度5：条件等式求最值 PAGEREF _Tc31356 \h 15
\l "_Tc15404" 高频考点四：基本不等式的恒成立问题 PAGEREF _Tc15404 \h 20
\l "_Tc14388" 高频考点五：利用基本不等式解决实际问题 PAGEREF _Tc14388 \h 23
\l "_Tc26818" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc26818 \h 28
\l "_Tc29019" 备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等” PAGEREF _Tc29019 \h 28
\l "_Tc12343" 第五部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc12343 \h 30
第一部分：基础知识
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
第二部分：高考真题回顾
1．（2022·全国·（甲卷文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
2．（2022·全国·（甲卷文理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
【答案】/
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
3．（2022·全国·（新高考Ⅰ卷））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：基本不等式的内容及辨析
典型例题
例题1．（2024上·陕西安康·高一校考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据各项所给条件，结合均值不等式分析、判断作答.
【详解】对于A，当时，，A不正确；
对于B，当时，，且，若，则，B不正确；
对于C，，则，即C不正确；
对于D，当时，由均值不等式得成立，当且仅当时取等号，则D正确.
故选：D
例题2．（多选）（2024·全国·高三专题练习）任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（ ）
A．B．C．5D．3
【答案】BD
【分析】利用已知结论求出的最大值进行判断，为此需凑出三个正数的和为定值．
【详】根据题意可得，
当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为4．
从而AC不可能，BD可以取．
故选：BD．
练透核心考点
1．（2024·全国·高一假期作业）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.
2．（多选）（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．当时，的最小值是3
C．当时，的最大值是5
D．若正数满足，则的最小值为3
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，①，
但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误.
B选项，当时，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
C选项，当时，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以C选项正确.
D选项，是正数，
，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：BCD
高频考点二：利用基本不等式比较大小
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】当时，可判断A；当时，可判断B；当时，可判断C；利用均值不等式，可判断D.
【详解】选项A：当时，，，不成立，故A错误；
选项B：当时，，，不成立，故B错误；
选项C：当时，，不成立，故C错误；
选项D：由有意义，故，因此
由均值不等式，，当且仅当，即时等号成立
故D正确
故选：D
例题2．（2024下·福建·高一校联考开学考试）杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为.
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?
(2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由.
【答案】(1)
(2)“汪1”用的时间最少，理由见解析
【分析】（1）平均成本为，利用比较不等式，即可求解函数的最值；
（2）利用速度，时间和路程的关系，分别求解，，，再根据不等式，比较时间大小，即可求解.
【详解】（1）由题意，购买台“机器狗”的总成本为，
则每台机器狗的平均成本为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买台.
（2）由题意，“汪1”满足，可得，
“汪2”满足，可得，
“汪3”满足，
，，
所以 ，
因为，，且，
所以可得，
则，
所以，所以 “汪1”用的时间最少.
练透核心考点
1．（多选）（2024上·湖南常德·高三统考期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据不等式的性质和基本不等式判断AB，利用特值法判断CD．
【详解】∵，∴ 即，∴，A正确；
由基本不等式知：，当且仅当时等号成立
又，∴
∴即,当且仅当时等号成立；
已知 ,故，B正确;
令，，C错误；
令，，分母为零无意义，D错误．
故选：AB．
2．（多选）（2024·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解.
【详解】设一楼到五楼的距离为，
由题知，A错误；
因为，
且，所以，所以，所以，
又因为，（因为，所以取不到等号），所以，B正确；
对C，因为，所以，
又因为，
所以，即，C正确；
对D，因为，
所以，即，D正确；
故选:BCD.
高频考点三：利用基本不等式求最值
角度1：利用基本不等式求积最大值
典型例题
例题1．（2024上·安徽·高一校联考期末）若正数满足，则的最大值为（ ）
A．6B．9C．D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：C．
例题2．（2024下·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，向量，则的最大值为 .
【答案】/0.125
【分析】根据向量的数量积的坐标运算可得，结合题意利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知，故，
又，所以，
故，当且仅当，结合，即时取等号，
故的最大值为，
故答案为：
角度2：利用基本不等式求和最小值
典型例题
例题1．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）若实数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】通过求出，代入所求式消元，运用基本不等式求解即得.
【详解】由可知，则，代入得：，
当时等号成立，即当时，取得最小值.
故选：D.
例题2．（2024上·广西·高一校联考期末）已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可.
【详解】，则有，
可得，即4，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为4.
故选：B
例题3．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知，则的最小值为
【答案】
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
角度3：二次与二次（一次）的商式的最值
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）函数 的最大值为 .
【答案】/
【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，则，
所以
≤，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
例题2．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
故答案为：
例题3．（2024·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为 ．
【答案】
【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
角度4：“1”的妙用求最值
典型例题
例题1．（2024上·安徽·高一校联考期末）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．6B．16C．20D．18
【答案】D
【分析】将所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正数，满足，
则，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D
例题2．（多选）（2024上·福建漳州·高一统考期末）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为2D．的最大值为8
【答案】BC
【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到，D错误.
【详解】A选项，因为，由基本不等式得，
即，故A错误；
B选项，因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，B正确；
C选项，两边平方得，
，其中，
当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，
的最小值为2，C正确；
D选项，因为，，
所以，
故D错误.
故选：BC
角度5：条件等式求最值
典型例题
例题1．（2024下·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）对于正数，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得利用基本不等式可得，再结合二次函数不等式求解方法即可求解.
【详解】由题可知：，
因为都是正数，所以（当且仅当时取等），
所以（当且仅当时取等），
化简可得，解得，故C正确.
故选：C.
例题2．（多选）（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用不等式的性质可判定A项，结合基本不等式可判定B项，利用特殊值可判定C项，根据条件放缩得出，即可得出判定D项.
【详解】对于A，，
所以选项正确；
对于B，由题，
当且仅当等号成立，故B选项正确；
对于C，可取特殊值满足题意，则，故C选项错误；
对于D，，
即，则，故D正确.
故选：ABD
练透核心考点
1．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】D
【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：D.
2．（多选）（2024下·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知，若，则（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最小值为8
【答案】ABD
【分析】对于AB：根据题意消去，结合的取值范围分析求解；对于C：根据基本不等式运算求解；对于D：根据“1”的灵活应用结合基本不等式分析求解.
【详解】因为，，则，可得，
对于选项AB：因为，
所以，，故AB正确；
对于选项C：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故C错误；
对于选项D：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，故D正确；
故选：ABD.
3．（多选）（2023上·安徽合肥·高一合肥市第六中学校考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值是
C．的最小值是8D．的最小值是
【答案】AC
【分析】利用基本不等式判断AC；利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用消元法与基本不等式判断D.
【详解】对于A，，所以，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，故B错误；
对于C，，，
当且仅当且，即时，等号成立，故C正确；
对于D，由，得，由，得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，矛盾，故等号取不到，故错误，
故选：AC.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
4．（多选）（2023上·河南三门峡·高一校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为4B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为2
【答案】BD
【分析】根据基本不等式及“1”代换即可判断各选项.
【详解】对于A，，
因为（当且仅当时取“=”），
所以ab的最小值为4，A错误；
对于B，由，得（当且仅当时取“=”），B正确；
对于C，（当且仅当时，取“=”），C错误；
对于D，（当且仅当时，取“=”），D正确．
故选：BD．
5．（2023上·重庆永川·高一重庆市永川中学校校考期末）已知，且，则的最小值是 .
【答案】2
【分析】将条件等式因式分解可得，然后将待求式子通分并结合基本不等式可求解出最小值.
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以最小值为，
故答案为：.
6．（2023·全国·高三专题练习）当时，求函数的最小值.
【答案】
【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
高频考点四：基本不等式的恒成立问题
典型例题
例题1．（2024上·山东滨州·高一统考期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案．
【详解】因为不等式恒成立，
则，
因为，，由可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故，
所以，即，解得，
则实数的取值范围是．
故选：B．
例题2．（2024上·重庆·高一校联考期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可.
【详解】因为即且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为不等式恒成立，所以，
即，解得，故的取值范围为.
故选：A
例题3．（2024上·江西萍乡·高一统考期末）已知，函数，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
(3)，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）运用换元法求解不等式即可.
（2）讨论参数范围，求解不等式即可.
（3）运用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可.
【详解】（1）令，，即，解得或，所以或，解得；
（2）依题意得，，即，
当时，；当时，x的解集为空集；当时，；
（3）依题意得，因为，所以，
又，，当且仅当时，取得等号，所以，即．
练透核心考点
1．（2024上·陕西汉中·高一南郑中学校联考期末）“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当时，利用基本不等式可证得，而得不到，可通过举例验证，利用充分条件，必要条件的概念即可判断．
【详解】当时，对于任意正实数，
．当且仅当时等号成立，
所以：是对于任意正实数恒成立的充分条件；
同理：若时，
，当且仅当时等号成立，
也成立，
故不是对于任意正实数恒成立的必要条件．
综上：是对于任意正实数恒成立的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2024上·青海西宁·高三统考期末）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解
【详解】不等式恒成立
，，且
当且仅当，即时取等号
，即
解得
故实数的取值范围是
故选：C
3．（2024上·上海青浦·高一统考期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得对任意的恒成立，故只需，结合基本不等式求解即可，注意取等条件.
【详解】由题意对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，故只需，
而由基本不等式可得，等号成立当且仅当，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
高频考点五：利用基本不等式解决实际问题
典型例题
例题1．（2024上·福建漳州·高一统考期末）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心精准发射，约10分钟后，神州十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第30次发射任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务.航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：该专卖店每天销售一款特价航模，在过去的一个月内（以30天计）的特价航模日销售价格（元/个）与时间（一个月内的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示：
已知一个月内第7天该专卖店特价航模日销售收入为350百元.
(1)给出以下三种函数模型：①，②，③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由.
(2)借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第几天最低？
【答案】(1)选择模型③，理由见解析
(2)第13天最低.
【分析】（1）根据变化速度排除模型①，根据不对称性排除模型②，代入数据计算，满足条件，得到答案.
（2）确定，，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】（1）选择模型③，理由如下：
表格中对应的数据匀速递增时，对应的数据并未匀速变化，模型①不满足题意；
因为表格中数据满足，而模型②满足，模型②不满足题意；
对于模型③，将，代入模型③，有，解得，
此时，
经验证，，均满足，所以模型③满足题意.
故选择模型③.
（2），故，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第13天最低.
例题2．（2024上·江西上饶·高一统考期末）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）
【分析】（1）由已知条件，根据销售收入和成本计算利润；
（2）由利润的函数解析式，结合函数性质和基本不等式，求最大值.
【详解】（1）由题意可得，
所以.
（2）当时，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为，
故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）.
练透核心考点
1．（2024上·安徽亳州·高一统考期末）拉鲁湿地国家级自然保护区位于西藏自治区首府拉萨市西北角，是国内最大的城市湿地自然保护区，也是世界上海拔最高、面积最大的城市天然湿地．其中央有一座凉亭，凉亭的俯瞰图的平面图是如图所示的正方形结构，其中EFIJ和GHKL为两个相同的矩形，俯瞰图白色部分面积为20平方米．现计划对下图平面正方形染色，在四个角区域（即图中阴影部分）用特等颜料，造价为200元/平方米，中间部分即正方形MNPQ区域使用一等颜料，造价为150元/平方米，在四个相同的矩形区域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等颜料，造价为100元/平方米．
(1)设总造价为W元，MN的边长为x米，AB的边长为y米，试建立W关于x的函数关系式；
(2)计划至少要投入多少元，才能完成平面染色．
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）根据已知条件及矩形正方形的面积公式即可建立函数关系式；
（2）利用基本不等式求最小值，确定取值条件即可.
【详解】（1）由题意得，阴影部分的面积为，
，化简得，
显然，所以．
则
，
故W关于x的函数关系式．
（2），
当且仅当时，即时，W有最小值，
所以当米时，元，
故计划至少要投入元，才能完成平面染色．
2．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）某工厂生产某种产品，年固定成本为200万元，可变成本万元与年产量（件）的关系为
每件产品的售价为90万元，且工厂每年生产的产品都能全部售完.
(1)将年盈利额（万元）表示为年产量（件）的函数；
(2)求年盈利额的最大值及相应的年产量.
【答案】(1)
(2)当年产量为109件时该厂盈利额最大，最大为800万元
【分析】（1）分得两种情况进行研究，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年盈利额的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值；当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．
【详解】（1）∵当时，；
又当时，，
∴
（2）①当时，，
∴当时，L取得最大值，最大值为600；
②当时，
.
当且仅当，即当时，L取得最大值，最大值为800.
综上，当年产量为109件时该厂盈利额最大，最大为800万元.
第四部分：典型易错题型
备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等”
1．（2024·全国·高二专题练习）已知函数当时，y取最大值b，则的值为（ ）
A．8B．C．4D．0
【答案】B
【分析】根据基本不等式即可求解.
3．（多选）（2024上·山东临沂·高一山东省临沂第一中学期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若且，则D．
【答案】ACD
【分析】由已知条件，利用基本不等式验证各选项的结论是否正确.
【详解】时有，则，
当且仅当，即时等号成立，A选项正确；
，
等号成立的条件是，即，显然不能成立，
故的等号取不到，B选项错误；
若且，则，
当且仅当，即或时等号成立，C选项正确；
，
当且仅当，即时等号成立，D选项正确；
故选：ACD
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024·全国·高一假期作业）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求的最小值；
(2)若实数a，b，x，y满足，求证：；
(3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)时，取得最小值．
【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值；
（2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．
（3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得．
【详解】（1）因为,，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
（2），
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足.
（3）令，，由得，
，
又，所以，
构造，
由，可得，因此，
由（2）知，
取等号时，且同正，
结合，解得，即，．
所以时，取得最小值．
【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题．
（天）
2
7
14
23
（百个）
4
5
6
7