北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份北京市海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了直线的倾斜角为，已知直线平分圆的周长，则，在矩形ABCD中，等内容，欢迎下载使用。
A.B.C.D.
2.已知直线平分圆的周长，则（ ）
A.2B.4C.6D.8
3.如图，在四面体OABC中，，点在OA上，且为BC的中点，则等于（ ）
A.B.C.D.
4.已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示）
A.B.C.D.
5.已知直线和直线，下列说法错误的是（ ）
A.始终过定点B.若，则或-3
C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限
6.空间内有三点，则点到直线EF的距离为（ ）
A.B.C.D.
7.已知圆直线，点在直线上运动，直线PA，PB分别与圆相切于点A，B.则下列说法正确的个数是（ ）
（1）四边形PAMB的面积最小值为（2）|PA|最短时，弦AB长为
（3）|PA|最短时，弦AB直线方程为（4）直线AB过定点
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.在矩形ABCD中，.将三角形ACD沿着AC翻折，使点在平面ABC上的投影恰好在直线AB上，则此时二面角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
9.在正三棱锥中，是的中心，，则____________.
10.已知直线，若，则实数___________.
11.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值___________.
12.如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点E，F分别在棱上，且，则___________；直线与EF所成角的余弦值为______________________.
13.已知的顶点边上的中线CM所在直线的方程为的平分线BH所在直线的方程为.
（1）求直线BC的方程;
（2）若点P满足，求动点的轨迹方程.
14.已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中点.
（1）求直线BD与直线PC所成角的大小;
（2）求点B到平面ADE的距离.
15.已知圆过点三个点.
（1）求圆的标准方程;
（2）已知，直线与圆相交于A，B两点，求|AB|的最小值.
16.已知平面边形ABCD中，，且.以AD为腰作等腰直角三角形PAD，且，将沿直线AD折起，使得平面平面ABCD.
（1）证明:平面PAC;
（2）若M是线段PD上一点，且平面MAC，
①求三棱锥M-ABC的体积;
②求平面PBC与平面ABM夹角的余弦值.
参考答案
1.【答案】A
【详解】因为该直线的斜率为，
所以它的倾斜角为.
故选：A.
2.【答案】B
【详解】由，可得圆心为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线过圆的圆心，则，解得.
故选：B.
3.【答案】B
【详解】可知:，
即.
故选:B.
4.【答案】A
【详解】，解得，
，
所以在上的投影向量为.
故选：A.
5.【答案】B
【详解】，令且，解得，故直线过点，A正确;
当时，和直线，故重合，故B错误;
由，得或2，故C正确;
始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.
故选：B
6.【答案】A
【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为.
因为，所以点到直线EF的距离为.
故选：A
7.【答案】A
【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即，最短时，面积最小，故当时，|MP|最短，
即，
，故（1）错误；
对于（2），由上述可知，时，|MP|最短，故|PA|最小，且最小值为，
所以故（2）正确;
对于（3），当|短时，则，又，所以，
可设AB的直线方程为圆心到直线AB的距离，解得或，
由于直线AB在圆心的右侧，且在直线的左侧，
所以，所以，即直线AB的方程为，故（3）错误;
对于（4），设圆上一点，
，
易知，由于，
所以，同理，
，
，即，
令，
解得，所以直线AB过定点为，故（4）错误;
故选：A.
8.【答案】A
【详解】如图所示，作于于.
在Rt中，，
在R中，，
，
同理可得，
因为
所以
，
又因为，
所以.
因为与的夹角即为二面角的大小，
所以二面角的余弦值为.
故选：A.
9.【答案】
【详解】在正三棱锥中，是的中心，
平面平面，即，
，
，
.
故答案为：
10.【答案】3
【详解】解:
故答案为：3.
11.【答案】
【详解】由题意可知：动直线过定点，
动直线，即过定点，
则，
且，则，
可知点的轨迹是以AB为直径的圆，则，
且，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值.
故答案为:.
12.【答案】
【详解】连接AF，AE，
，
故；
，
故
，
故，
则
，
故直线与EF所成角的余弦值为.
故答案为:
13.【详解】（1）
由点在，设，
则AB的中点在直线CM上，
所以，解得，所以，
设点关于直线对称的点，
则有，解得，即，
显然在BC上，直线BC的斜率为，
由点斜式，整理得，即为直线BC的方程.
（2）点A到直线BC的距离为，
因为点满足，
所以点P，A到直线BC的距离相等，
所以动点的轨迹为与直线BC平行，且距离等于点A到直线BC的距离的直线，
设轨迹方程为，
则有，解得或4，
所以动点的轨迹方程为或.
14.【详解】（1）以点为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系.
由题意D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
设直线BD与直线PC所成的角为，
因为，
，
所以直线BD与直线PC所成角为;
（2）因为，
所以，
，
则为平面ADE的一个法向量，
设点到平面ADE的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值，
由，得，
所以点到平面ADE的距离为.
15.【详解】（1）设圆的方程为，
代入各点得:，
所求圆的一般方程为:标准方程为:.
（2）把代入直线方程得:，
即，令，可得，
所以直线过定点.
又，所以定点在圆内，
当时，|AB|最小，此时，则.
16.【详解】（1）因，故，
又，且，故，
在直角梯形ABCD中，，
由可得；
因平面平面，平面平面，
则平面ABCD，又平面ABCD，
则，又，因平面PAC，
故平面PAC.
（2）
①如图，连接BD，设，连接OM，
因平面MAC，且平面PBD，平面平面，
则，故，
在四边形ABCD中，由，可得，
故，即，即点是线段PD上靠近点的三等分点，
故.
②
如图，以点A为坐标原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面PBC的法向量为，
则，可取，
因，
故，
设平面ABM的法向量为，则由，
可取，
故，
故平面PBC与平面ABM夹角的余弦值为.