南京市2024—2025学年度第一学期期中学情调研测试高二数学试卷及参考答案

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注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．下列四组数据中，方差最小的是
A．5，5，5，5，5，5，5，5 B．4，4，4，5，5，5，6，6
C．3，3，4，4，5，6，6，7 D．2，2，2，2，2，5，8，8
2．已知z·i＝1＋3i，则z＝
－3＋i B．－3－iC．3＋iD．3－i
直线3x－eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角为
A．eq \s\d1(\f(π,6)) B．eq \s\d1(\f(π,3)) C．eq \s\d1(\f(2π,3)) D．eq \s\d1(\f(5π,6))
4．两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为
A．eq \s\d1(\f(eq \r(2),2)) B．eq \r(2) C．eq \r(3) D．eq \r(5)
5．若方程eq \f(x2,7－m)＋eq \f(y2, m－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是
A．(－∞，1) B．(1，4) C．(4，7) D．(7，＋∞)
6．底面直径与高相等的圆柱的体积为2π，则该圆柱的外接球的表面积为
A．6πB．8π C．10πD．12π
7．已知点O(0，0)，A(3，0)，若圆x2＋y2＋tx－3＝0上任意一点P都满足|PA|＝2|PO|，
则实数t＝
A．－3 B．－2 C．2 D．3
8．抛物线C：x2＝4y的准线为l，M为C上的动点，则点M到l与到直线2x－y－5＝0的距离之和的最小值为
A． eq \f(3eq \r(5),5) B． eq \f(4eq \r(5),5) C． eq \r(5) D． eq \f(6eq \r(5),5)
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．
9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则
A．P(A)＝eq \f(1,2) B．P(AB)＝eq \f(1,3)
C．A和B是互斥事件 D．A和B是相互独立事件
10．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．若eq \(\s\up6(→),BE)＝eq \f(1,4)eq \(\s\up6(→),BC)，eq \(\s\up6(→),CF)＝－eq \f(3,2)eq \(\s\up6(→),CD)，则
A．AC∥BF
B．AE⊥BD
C．以CE为直径的圆与直线BF相切
D．直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上
11．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，直线y＝mx与C交于A，B两点，点P为C上异于A，B的动点，则
A．当 m＝eq \f(1,2)时，|AB|＝eq \r(15) B．|eq \(\s\up6(→),PA)＋eq \(\s\up6(→),PB)|≥2eq \r(3)
C．存在点P，使得∠APB＝eq \f(π,2) D．S△ABP≤2eq \r(3)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．若直线l1：x＋2my＋1＝0与l2：(m－1)x＋y－3＝0垂直，则实数m＝eq \(▲,________)．
13．已知cs(x＋eq \s\d1(\f(π,4)))＝eq \s\d1(\f(3,5))，x∈(0，eq \s\d1(\f(π,2)))，则sinx＝eq \(▲,________)．
14．历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线经过左焦点F1．
已知图（2）中，双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，直线l平分∠F1PF2，过点F2作l的垂线，垂足为H，且|OH|＝2．则当反射光线n经过点M(8，5)时，|F2P|＋|PM|＝eq \(▲,________)．
x
y
O
F1
F2
M
P
m
n
H
（2）
l
x
y
O
F1
F2
P
m
n
（1）

（第14题图）
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC＋ccsA＝2bcsA．
（1）求A；
（2）若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
16．已知点A(4，2)在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，直线l经过点A，且在y轴上的截距为－2．
（1）求p的值和直线l的方程；
（2）记l与C的另一个交点为B，求经过O，A，B三点的圆的方程．
17．在四面体PABC中，M，N分别为PC，BC的中点．
（1）证明：PB∥平面AMN；
（2）若PC⊥平面ABC，PC＝2，AC＝3，四面体PABC的体积为2，且cs∠ACB＝eq \f(eq \r(5),5)，求MN与平面PAC所成角的正弦值．
P
A
B
C
N
M
（第17题图）
18．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，圆D：(x－2)2＋y2＝r2(0＜r＜eq \r(5))，过点P(0，1)作圆D的切线，切线的长为2．
(1)求圆D的方程；
(2)直线l经过点P，且与圆C交于A，B两点，|AB|＝eq \r(6)，
①求l的方程和eq \(\s\up6(→),CA)·eq \(\s\up6(→),CB)的值；
②若动圆E与圆C外切，且与圆D内切，求动圆圆心E到点P距离的最小值．
19．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B，|AB|＝eq \r(3)，离心率为eq \f(\r(2),2)．
（1）求E的方程；
（2）直线l平行于直线AB，且与E交于M，N两点，
①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于
eq \f(1,3)|MN|2，求l的方程；
②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为k1，k2，证明：k1·k2为定值．