广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共5页 满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 2
2. 是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，则在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 在棱长为2正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A. B. C. D.
6. 在四面体中，空间的一点满足．若共面，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知向量，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. “长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.

A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）

A
B. 向量与所成角的余弦值为
C. 平面一个法向量是
D. 点到平面的距离为
10. 在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，点在棱上
B. 当时，点到平面的距离为定值
C. 当时，点在以的中点为端点的线段上
D. 当时，平面
11. 布达佩斯伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A. B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 点到直线的距离是D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点．在直线上求一点，当的长为______时，使．
13. 四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为______.
14. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为_______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在长方体中，，点在棱上移动.

（1）当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值；
（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.
16. 如图所示，直三棱柱中，分别是的中点．

（1）求BN的长；
（2）求的值．
（3）求证：BN⊥平面．
17. 如图，在四棱维中，平面平面，，，，，，．
（1）求直线与平面所成角的正切值；
（2）在上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18. 如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2 所示的五棱锥．
（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你结论；
（2）若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
19. 如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，分别是线段和上的动点，且．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值；
（3）若直线与线段交于M点，于点H，求线段长的最小值．