2025年新高考数学一轮复习收官卷01-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，若满足，则（ ）
A．-3B．2C．-5D．4
【答案】A
【解析】设向量，则，
因为，所以，
故.
故选：A.
2．已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【解析】，
则，所以.
故选：C.
3．已知等差数列满足，则（ ）
A．12B．18C．20D．30
【答案】C
【解析】由已知得，故，所以．
故选：C
4．已知正三棱台的体积为，若，则该正三棱台的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在正三棱台中，上、下底面均为正三角形，设正三棱台的高为h，
则，，
又，解得．
故选：A
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，则，可得，
所以.
故选：D.
6．在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32B．24C．18D．12
【答案】B
【解析】按照A场地安排人数，可以分以下两类：
第一类，A场地安排1人，共种安排方法，
第二类，A场地安排2人，共种安排方法，
由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法.
故选：B
7．已知函数的图象与直线有两个交点，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【解析】由题意可得直线恒过点，且无论取何值，直线与函数都有两个交点，
所以分析函数的对称中心为，
所以，，
所以，
故选：C.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为30°的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】依题意，由，
得，即的平分线与直线PQ垂直，
设的平分线与直线PQ交于点D，如图，
则，，又，
所以，所以，．
由题得，，设，，，
在中，，，则，，
由双曲线的性质可得，解得，
则，所以在中，，
又，，所以，
即，整理得，所以．
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（ ）
A．超过的大学生更爱使用购物类APP
B．超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C．使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是
D．APP使用目的中6个占比数字的分位数是
【答案】AC
【解析】对于选项A，根据图表知，大学生使用购物类APP占比为，所以选项A正确，
对于选项B，根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为，所以选项B错误，
对于选项C，根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是，所以选项C正确，
对于选项D，根据图表知，APP使用目的中6个占比数字从小排到大分别为，
又，所以分位数是，故选项D错误.
故选：AC.
10．已知定义在上的函数满足，，且对任意，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为4的奇函数B．图象关于直线对称
C．在区间上单调递增D．
【答案】ABD
【解析】任意，有，
令，则，解得，
任意x∈R，令，则，
即，所以是奇函数，则的图象关于原点对称；
又fx+2=−fx=f−x，则函数y=fx的图象关于直线对称；
又fx+2=−fx，则fx+4=−fx+2=fx，
所以函数y=fx为周期函数，4为函数y=fx的一个周期，
故A正确，B正确；
C项，对任意，都有，
故在−1,0单调递增，又图象关于原点对称，
则在0,1单调递增，又的图象关于直线对称，
则在1,2单调递减，故C错误；
D项，由的周期为4，且的图象关于直线对称，
则，故D正确：
故选：ABD.
11．已知实数a，b是方程的两个根，且，，则（ ）
A．ab的最小值为9B．的最小值为18
C．的最小值为D．的最小值为12
【答案】ABC
【解析】因为实数a，b是方程的两个根，
所以，所以或，
由根与系数的关系得，，，
又，，所以，且，综上得．
消去k，得，
由基本不等式得，即，
令，则，解得或（舍去），
当时，，解得，当时，ab的最小值为9，故A正确；
因为，当时取等号，的最小值为18，故B正确；
，
当，即，时取等号，
所以的最小值为，故C正确；
因为，所以，
，
当，即，时等号成立，此时的最小值为13，故D错误．
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，，则 ．
【答案】
【解析】由题意，可得，又，所以．
故答案为：
13．与曲线和曲线均相切的直线的方程为 .
【答案】
【解析】设在点和在点的切线重合，
，，
故，即，，
在点处的切线方程为，
将代入得，
即，
所以，
又，故，则，
故切线方程为，即.
故答案为：
14．若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值 .
【答案】或（答案不唯一）
【解析】已知正项等比数列是“可倒数数列”，
首先，
若，结合，解得，此时，但不在这5个数中，矛盾，故，
则若，则也在数列中，若在数列中，则（且）也在数列中，
因为正项等比数列是“可倒数数列”，
所以数列严格单调，而，
所以只能，
（否则，不妨设，那么或一定有三个数小于1，而他们的倒数都大于1，这必定导致有一个数的倒数不在中），
从而，所以，
解得或（舍去），
所以解得或.
故答案为：或（答案不唯一）.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知的内角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若边上的高等于，求．
【解析】（1）由得，
所以，即，又，所以，
又，得. （6分）
（2）由题得示意图，如图，作，则，
因为，所以，得，， （9分）
所以，利用等面积法可知：
即，
解得：. （13分）
16．（15分）
如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，为线段的中点，为线段上的点.
(1)若点为线段的中点，求证：平面；
(2)若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.
【解析】（1）连接，设连接，
三棱台 ，则，又
∴四边形为平行四边形，
故是的中点，且点是的中点，
故,且平面，平面，
故平面 （5分）
（2）
，且面，则 面，
故，,
且三棱台中， ,故，
则， （7分）
平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，
故，化简得：,
故此时点和点重合，
又为等腰直角三角形，则，又（1） 知，则面，
故建立如图所示的坐标系，
则 ，， （11分）
设平面的法向量则，令解得，
设平面的法向量，则，令，解得，
设二面角 的平面角为， ，
所以. （15分）
17．（15分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A，若，求l的方程.
【解析】（1）由抛物线方程知，所以，
设，则，
又点在抛物线上，所以，解得，即，
根据椭圆定义，解得，，所以，
所以椭圆C的方程为. （6分）
（2）因为，所以，又，
直线，联立，
消去y得，，解得或，
当时，，
当时，，
所以或， （12分）
又因为直线l过点，
所以或，
可求得直线l的方程为或，
即或. （15分）
18．（17分）
牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似如图设是y=fx的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点x0,fx0作曲线y=fx的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的1次近似值，过点x1,fx1作曲线y=fx的切线，与轴的交点为横坐标为，称为的2次近似值．一般地，过点作曲线y=fx的切线，与轴的交点为横坐标为，就称为的次近似值，称数列为牛顿数列．
(1)若的零点为，，请用牛顿切线法求的2次近似值；
(2)已知二次函数有两个不相等的实数根，数列为的牛顿数列，数列满足，且．
（ⅰ）设，求的解析式；
（ⅱ）证明：
【解析】（1）
，所以
当，所以
当，
所以的2次近似值为. （4分）
（2）（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根,
所以不妨设，
则，
因为所以
所以在横坐标为的点处的切线方程为
令则
即，
所以. （8分）
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知，
所以.
因为所以所以.
令则，又
所以， （12分）
数列是公比为2的等比数列.
.
令，则
当时，，所以在单调递减，
所以，即
因为所以即.
. （17分）
19．（17分）
如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下：
(1)现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）；
(2)若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立.
（i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由；
（ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例.
【解析】（1）有放回取球下的联合分布律和边缘分布律；
，
，
，
不放回取球下的联合分布律和边缘分布律；
，
，
， （6分）
（2）（i）由（1）知有放回取球下的联合分布律和边缘分布律中，
，
，
经检验，满足.
所以与相互独立.
在不放回摸球联合分布律中，
，不满足满足，，则与不是相互独立. （10分）
（ii）任取分布律中的一行为，
另一行为，其中
因为二维离散型随机变量与相互独立，的联合分布律与边缘分布律满足，
所以
因为
所以，则分布律中任意两行对应成比例.
同理可证分布律中任意两列也对应成比例. （17分）边缘分布律
边缘分布律
1
0
1
边缘分布律
0
1
边缘分布律
1
0
1
边缘分布律
0
0.3
0.3
0.6
1
0.3
0.1
0.4
边缘分布律
0.6
0.4
1