第05讲 数列求和（九大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：通项分析法
1．数列的前n项和为 .
2．数列的前n项和 .
3． 年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 .
4．（2024·湖南株洲·一模）数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则 ．（用数字作答）
题型二：公式法
5．（2024·高三·河南郑州·期中）数列，，，，，，，，，，，，前项的和是 .
6．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和．
7．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
题型三：错位相减法
8．（2024·吉林·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求实数的值和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
9．（2024·江西宜春·模拟预测）数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
10．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列的前n项和为，且，，设．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
题型四：分组求和法
11．（2024·广东·二模）在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
12．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
13．已知等差数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
14．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足
(1)求数列和的通项公式；
(2)令求数列的前n项和；
15．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
题型五：裂项相消法
16．（2024·江苏盐城·一模）已知正项数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)，证明：.
17．（2024·广东茂名·一模）已知等差数列的前项和为，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18．（2024·四川·模拟预测）已知各项均为正数的数列为等差数列，各项均为正数的数列为等比数列，成等比数列.成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若的前项和为，求证：.
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列的各项均不小于1，前项和为是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前项和．
20．（2024·四川成都·模拟预测）记数列的前n项和为，已知．
(1)若，证明：是等比数列；
(2)若是和的等差中项，设，求数列的前n项和为．
21．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前10项和.
题型六：倒序相加法
22．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
①函数的对称中心坐标为 ；
②计算 .
23．（2024·上海宝山·一模）已知函数，正项等比数列满足，则
24．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 .
25．（2024·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 .
题型七：分段数列求和
26．已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前10项和．
27．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足 当时，
(1)求和，并证明当为偶数时是等比数列；
(2)求
28．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列中，为的前n项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和，求.
29．（2024·浙江金华·模拟预测）已知数列，则数列的前项和 .
题型八：并项求和法
30．已知数列满足，则前48项之和为 .
31．（2024·高三·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，， 是数列的前项和.求
32．数列的通项，则前10项的和
33．若数列的通项为，前n项和为，则 .
34．数列{}的前项和为，若，则{}的前2019项和 .
题型九：先放缩后裂项求和
35．已知数列是等差数列，且，数列满足，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式；
(3)设数列的前项和为，证明：.
36．已知数列满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
37．已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，（）成等比数列，．
(1)求的值及的通项公式；
(2)令，，求证：．
1．（2024·福建泉州·一模）记数列的前n项和分别为，若是等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江西吉安·模拟预测）已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（ ）
A．37B．38C．39D．40
4．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河南·三模）已知等差数列的公差大于0且，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．615B．620C．625D．630
7．（2024·江西·模拟预测）在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前n项和．记数列的前n项和为，利用上述方法求（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知数列的前n项的积为，，则使得成立的n的最大值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
9．（多选题）（2024·江西·三模）已知数列满足，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．数列的前项和为D．能被3整除
10．（多选题）（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．
C．数列的前n项和为D．数列的前n项和为
11．（多选题）（2024·安徽淮北·二模）已知数列的前项和分别为，若，则（ ）
A．B．
C．的前10项和为D．的前10项和为
12．（2024·山西阳泉·三模）已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和 ．
13．（2024·四川·三模）在数列中，已知，，则数列的前2024项和 ．
14．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则 ，
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．
(1)求数列的公差；
(2)若，求数列的前n项和．
16．（2024·安徽安庆·模拟预测）已知.
(1)求；
(2)证明：是等差数列，并求出；
(3)设，求的前项和.
17．（2024·山西·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．（2024·全国·模拟预测）已知单调递增的等比数列的前项和为，满足，数列也为等比数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)记，求数列的前项和．
19．（2024·四川凉山·三模）如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．
(1)求第个等边三角形的边长；
(2)求数列的前项和．
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
3．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
4．（2022年新高考天津数学高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
6．（2021年天津高考数学试题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
7．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
9．（2020年天津市高考数学试卷）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
10．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
11．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc172579407" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc172579407 \h 2
\l "_Tc172579408" 题型一：通项分析法 PAGEREF _Tc172579408 \h 2
\l "_Tc172579409" 题型二：公式法 PAGEREF _Tc172579409 \h 2
\l "_Tc172579410" 题型三：错位相减法 PAGEREF _Tc172579410 \h 3
\l "_Tc172579411" 题型四：分组求和法 PAGEREF _Tc172579411 \h 4
\l "_Tc172579412" 题型五：裂项相消法 PAGEREF _Tc172579412 \h 5
\l "_Tc172579413" 题型六：倒序相加法 PAGEREF _Tc172579413 \h 6
\l "_Tc172579414" 题型七：分段数列求和 PAGEREF _Tc172579414 \h 7
\l "_Tc172579415" 题型八：并项求和法 PAGEREF _Tc172579415 \h 8
\l "_Tc172579416" 题型九：先放缩后裂项求和 PAGEREF _Tc172579416 \h 8
\l "_Tc172579417" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc172579417 \h 9
\l "_Tc172579418" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc172579418 \h 13