专题练8.3　双曲线（含答案）-2025年新高考数学二轮复习专题练习（新教材）

这是一份专题练8.3　双曲线（含答案）-2025年新高考数学二轮复习专题练习（新教材），共17页。试卷主要包含了3　双曲线，设双曲线C，设F1,F2是双曲线C，已知F为双曲线C等内容，欢迎下载使用。

五年高考
高考新风向
1.(多想少算)(2024全国甲理,5,5分,易)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A.4 B.3 C.2 D.2
2.(多想少算)(2024新课标Ⅰ,12,5分,易)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 .
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.(2022天津,7,5分,易)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=45x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F1F2A=π4,则双曲线的方程为( )
A.x216-y24=1 B.x24-y216=1
C.x24-y2=1 D.x2-y24=1
2.(2020浙江,8,4分,易)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34−x2图象上的点,则|OP|=( )
A.222 B.4105 C.7 D.10
3.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )
A.72 B.3 C.52 D.2
4.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
5.(2021浙江,9,4分,中)已知a,b∈R,ab>0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t), f(s), f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是 ( )
A.直线和圆 B.直线和椭圆
C.直线和双曲线 D.直线和抛物线
6.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为2,则C的方程为 .
考点2 双曲线的几何性质
1.(2021全国甲文,5,5分,易)点(3,0)到双曲线x216-y29=1的一条渐近线的距离为( )
A.95 B.85 C.65 D.45
2.(2021全国甲理,5,5分,易)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为( )
A.72 B.132 C.7 D.13
3.(2021天津,8,5分,中)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合.抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点.若|CD|=2|AB|,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.3
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
5.(2023全国乙,文12,理11,5分,中)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是( )
A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4)
6.(多选)(2020新高考Ⅰ,9,5分,易)已知曲线C:mx2+ny2=1.( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为n
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±−mnx
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
7.(2022全国甲理,14,5分,易)若双曲线y2-x2m2=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m= .
8.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为 , .
9.(2020课标Ⅰ理,15,5分,中)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 .
10.(2022浙江,16,4分,中)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<011.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 .
12.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B,F2A=-23F2B,则C的离心率为 .
三年模拟
练速度
1.(2024浙江丽水、湖州、衢州二模,2)双曲线x2-y2m2=1(m>0)的渐近线方程为y=±2x,则m=( )
A.12 B.22 C.2 D.2
2.(2024安徽合肥一模,4)双曲线C:x2-y2b2=1的焦距为4,则C的渐近线方程为( )
A.y=±15x B.y=±3x
C.y=±1515x D.y=±33x
3.(2024湖南长沙3月调研,4)已知双曲线C:x24-y2b2=1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线C的离心率为( )
A.332 B.2 C.52 D.3
4.(2024甘肃兰州一诊,5)已知双曲线E1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线E2:x216-y29=1的离心率相同,双曲线E1的顶点是双曲线E2的焦点,则双曲线E1的虚轴长为( )
A.154 B.152 C.245 D.10
5.(2024山东聊城一模,5)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是C上的一点,若C的一条渐近线的倾斜角为60°,且|PF1|-|PF2|=2,则C的焦距等于( )
A.1 B.3 C.2 D.4
6.(2024江西重点中学协作体一模,5)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1、F2,点M为F1关于渐近线的对称点.若MF1|MF2|=2,且△MF1F2的面积为8,则C的方程为( )
A.x2-y24=1 B.x24-y2=1
C.x22-y28=1 D.x24-y216=1
7.(2024安徽师大附中二模,5)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P满足PF2·PF1=-2a2,则双曲线离心率的最小值为( )
A.6 B.5 C.2 D.3
8.(多选)(2024河北邯郸三调,9)已知双曲线C:x2λ+6-y23−λ=1,则( )
A.λ的取值范围是(-6,3)
B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C.C的焦距为6
D.C的离心率e的取值范围为(1,3)
9.(多选)(2024福建九地市质量检测(三),9)双曲线C:x2a2-y23a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且C的两条渐近线的夹角为θ,若|F1F2|=2e(e为C的离心率),则( )
A.a=1
B.θ=π3
C.e=2
D.C的一条渐近线的斜率为3
10.(多选)(2024湖南部分学校大联考(二),10)已知θ∈R,双曲线C:x2cs θ+y2sin 2θ=1,则( )
A.θ可能是第一象限角
B.θ可能是第四象限角
C.点(1,0)可能在C上
D.点(0,1)可能在C上
11.(2024北京清华附中统练二,12)请写出一个焦点在y轴上,且与直线y=2x没有交点的双曲线的标准方程: .
12.(2024华大新高考联盟联考,12)关于双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),四位同学给出了四个说法:
小明:双曲线C的实轴长为8;
小红:双曲线C的焦点到渐近线的距离为3;
小强:双曲线C的离心率为32;
小同:双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1.
若这4位同学中只有1位同学的说法错误,则说法错误的是 ;双曲线C的方程为 .(第一空的横线上填“小明”“小红”“小强”或“小同”)
13.(2024甘肃一诊,14)若曲线C:mx2+ny2=1(mn≠0,m≠n)经过(6,-15),(-2,3),(4,0)这三点中的两点,则曲线C的离心率可能为 (写出一个即可).
14.(2024山东临沂一模,13)已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P(3t,t)(t>0)在C上,tan∠F1F2P=2+3,则C的离心率为 .
练思维
1.(2024广西南宁一模,6)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过点F的直线与双曲线E的一条渐近线交于点P,与其左支交于点Q,且点P与点Q不在同一象限,直线AP与直线OQ(O为坐标原点)的交点在双曲线E上,若PQ=-2PF,则双曲线E的离心率为( )
A.3 B.2 C.73 D.3
2.(2024山东青岛一模,8)已知A(-2,0),B(2,0),设点P是圆x2+y2=1上的点,若动点Q满足QP·PB=0,QP=λQA|QA|+QB|QB|,则Q的轨迹方程为( )
A.x2-y23=1 B.x23-y2=1
C.x25+y2=1 D.x26+y22=1
3.(2024广东深圳一调,8)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于A,B两点,若|AB|=|AF1|,且双曲线E的离心率为2,则cs∠BAF1=( )
A.-378 B.-34 C.18 D.-18
4.(2024山东泰安一轮检测,8)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,66),当△APF周长最小时,该三角形的面积为( )
A.366 B.246 C.186 D.126
5.(2024东北三省三校第二次联考,8)双曲线C:x212-y24=1的右焦点为F,双曲线C上有两点A,B关于直线l:3x+y-8=0对称,则|FA+FB|= ( )
A.22 B.42 C.23 D.43
6.(多选)(2024安徽皖江名校联盟联考,10)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=47.经过F1的直线l与C的左右两支分别交于P,Q,且△PQF2为等边三角形,则( )
A.双曲线C的方程为x28-y220=1
B.△PF1F2的面积为83
C.以QF1为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D.以QF2为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
7.(多选)(2024重庆二诊,11)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线l:bx+ay-bc=0与C相交于点M,与C的一条渐近线相交于点N.记C的离心率为e,以下说法正确的是( )
A.若NF1⊥NF2,则e=2
B.若MF1⊥MF2,则e=22
C.若|NF2|=2|MF2|,则e=2
D.若|MF1|≥5|MF2|,则e≥2
8.(2024湖南长沙雅礼中学月考六,14)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F为右焦点,过点F作FA⊥x轴,交双曲线于第一象限内的点A,点B与点A关于原点对称,连接AB,BF,当∠ABF取得最大值时,双曲线的离心率为 .
9.(2024湘豫名校联考模拟,18)已知O为坐标原点,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过C上一点P作C的两条渐近线的平行线,分别交y轴于M,N两点,且|OM|·|ON|=1,△F1PF2内切圆的圆心到y轴的距离为3.
(1)求C的标准方程.
(2)(i)设点Q(x0,y0)为C上一点,试判断直线xx03-yy0=1与C的位置关系,并说明理由;
(ii)设过点F2的直线与C交于A,B两点(异于C的两顶点),C在点A,B处的切线交于点E,线段AB的中点为D,证明:O,D,E三点共线.
练风向
(创新知识交汇)(2024湖北十堰调研,14)数学课本《人教A版必修第二册》第121页介绍了“祖暅原理”:幂势既同,则积不容异.用现代语言可以描述为夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图1,这是某细腰鼓形工艺品(上、下对称),其轴截面近似为图2中的实线图形,两段曲线是双曲线C:x22-y2b2=1(b>0)的一部分,内部虚线为双曲线C的渐近线.若该工艺品的底面圆的直径为4,高为42,则b= ;利用祖暅原理可求得该工艺品的体积为 .

8.3 双曲线
五年高考
高考新风向
1.(多想少算)(2024全国甲理,5,5分,易)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( C )
A.4 B.3 C.2 D.2
2.(多想少算)(2024新课标Ⅰ,12,5分,易)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 32 .
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.(2022天津,7,5分,易)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=45x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F1F2A=π4,则双曲线的方程为( D )
A.x216-y24=1 B.x24-y216=1
C.x24-y2=1 D.x2-y24=1
2.(2020浙江,8,4分,易)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34−x2图象上的点,则|OP|=( D )
A.222 B.4105 C.7 D.10
3.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( B )
A.72 B.3 C.52 D.2
4.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( A )
A.1 B.2 C.4 D.8
5.(2021浙江,9,4分,中)已知a,b∈R,ab>0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t), f(s), f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是 ( C )
A.直线和圆 B.直线和椭圆
C.直线和双曲线 D.直线和抛物线
6.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为2,则C的方程为 x22-y22=1 .
考点2 双曲线的几何性质
1.(2021全国甲文,5,5分,易)点(3,0)到双曲线x216-y29=1的一条渐近线的距离为( A )
A.95 B.85 C.65 D.45
2.(2021全国甲理,5,5分,易)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为( A )
A.72 B.132 C.7 D.13
3.(2021天津,8,5分,中)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合.抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点.若|CD|=2|AB|,则双曲线的离心率为( A )
A.2 B.3 C.2 D.3
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( B )
A.4 B.8 C.16 D.32
5.(2023全国乙,文12,理11,5分,中)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是( D )
A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4)
6.(多选)(2020新高考Ⅰ,9,5分,易)已知曲线C:mx2+ny2=1.( ACD )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为n
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±−mnx
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
7.(2022全国甲理,14,5分,易)若双曲线y2-x2m2=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m= 33 .
8.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为 y=3x , y=-3x .
9.(2020课标Ⅰ理,15,5分,中)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 2 .
10.(2022浙江,16,4分,中)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<011.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 2(答案不唯一,在(1,5]范围内取值均可) .
12.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B,F2A=-23F2B,则C的离心率为 355 .
三年模拟
练速度
1.(2024浙江丽水、湖州、衢州二模,2)双曲线x2-y2m2=1(m>0)的渐近线方程为y=±2x,则m=( D )
A.12 B.22 C.2 D.2
2.(2024安徽合肥一模,4)双曲线C:x2-y2b2=1的焦距为4,则C的渐近线方程为( B )
A.y=±15x B.y=±3x
C.y=±1515x D.y=±33x
3.(2024湖南长沙3月调研,4)已知双曲线C:x24-y2b2=1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线C的离心率为( B )
A.332 B.2 C.52 D.3
4.(2024甘肃兰州一诊,5)已知双曲线E1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线E2:x216-y29=1的离心率相同,双曲线E1的顶点是双曲线E2的焦点,则双曲线E1的虚轴长为( B )
A.154 B.152 C.245 D.10
5.(2024山东聊城一模,5)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是C上的一点,若C的一条渐近线的倾斜角为60°,且|PF1|-|PF2|=2,则C的焦距等于( D )
A.1 B.3 C.2 D.4
6.(2024江西重点中学协作体一模,5)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1、F2,点M为F1关于渐近线的对称点.若MF1|MF2|=2,且△MF1F2的面积为8,则C的方程为( C )
A.x2-y24=1 B.x24-y2=1
C.x22-y28=1 D.x24-y216=1
7.(2024安徽师大附中二模,5)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P满足PF2·PF1=-2a2,则双曲线离心率的最小值为( D )
A.6 B.5 C.2 D.3
8.(多选)(2024河北邯郸三调,9)已知双曲线C:x2λ+6-y23−λ=1,则( AC )
A.λ的取值范围是(-6,3)
B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C.C的焦距为6
D.C的离心率e的取值范围为(1,3)
9.(多选)(2024福建九地市质量检测(三),9)双曲线C:x2a2-y23a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且C的两条渐近线的夹角为θ,若|F1F2|=2e(e为C的离心率),则( ABD )
A.a=1
B.θ=π3
C.e=2
D.C的一条渐近线的斜率为3
10.(多选)(2024湖南部分学校大联考(二),10)已知θ∈R,双曲线C:x2cs θ+y2sin 2θ=1,则( BD )
A.θ可能是第一象限角
B.θ可能是第四象限角
C.点(1,0)可能在C上
D.点(0,1)可能在C上
11.(2024北京清华附中统练二,12)请写出一个焦点在y轴上,且与直线y=2x没有交点的双曲线的标准方程: y24-x2=1(答案不唯一) .
12.(2024华大新高考联盟联考,12)关于双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),四位同学给出了四个说法:
小明:双曲线C的实轴长为8;
小红:双曲线C的焦点到渐近线的距离为3;
小强:双曲线C的离心率为32;
小同:双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1.
若这4位同学中只有1位同学的说法错误,则说法错误的是 小强 ;双曲线C的方程为 x216-y29=1 .(第一空的横线上填“小明”“小红”“小强”或“小同”)
13.(2024甘肃一诊,14)若曲线C:mx2+ny2=1(mn≠0,m≠n)经过(6,-15),(-2,3),(4,0)这三点中的两点,则曲线C的离心率可能为 333或72或32(只写一个即可) (写出一个即可).
14.(2024山东临沂一模,13)已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P(3t,t)(t>0)在C上,tan∠F1F2P=2+3,则C的离心率为 2 .
练思维
1.(2024广西南宁一模,6)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过点F的直线与双曲线E的一条渐近线交于点P,与其左支交于点Q,且点P与点Q不在同一象限,直线AP与直线OQ(O为坐标原点)的交点在双曲线E上,若PQ=-2PF,则双曲线E的离心率为( B )
A.3 B.2 C.73 D.3
2.(2024山东青岛一模,8)已知A(-2,0),B(2,0),设点P是圆x2+y2=1上的点,若动点Q满足QP·PB=0,QP=λQA|QA|+QB|QB|,则Q的轨迹方程为( A )
A.x2-y23=1 B.x23-y2=1
C.x25+y2=1 D.x26+y22=1
3.(2024广东深圳一调,8)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于A,B两点,若|AB|=|AF1|,且双曲线E的离心率为2,则cs∠BAF1=( D )
A.-378 B.-34 C.18 D.-18
4.(2024山东泰安一轮检测,8)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,66),当△APF周长最小时,该三角形的面积为( D )
A.366 B.246 C.186 D.126
5.(2024东北三省三校第二次联考,8)双曲线C:x212-y24=1的右焦点为F,双曲线C上有两点A,B关于直线l:3x+y-8=0对称,则|FA+FB|= ( B )
A.22 B.42 C.23 D.43
6.(多选)(2024安徽皖江名校联盟联考,10)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=47.经过F1的直线l与C的左右两支分别交于P,Q,且△PQF2为等边三角形,则( BD )
A.双曲线C的方程为x28-y220=1
B.△PF1F2的面积为83
C.以QF1为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D.以QF2为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
7.(多选)(2024重庆二诊,11)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线l:bx+ay-bc=0与C相交于点M,与C的一条渐近线相交于点N.记C的离心率为e,以下说法正确的是( AC )
A.若NF1⊥NF2,则e=2
B.若MF1⊥MF2,则e=22
C.若|NF2|=2|MF2|,则e=2
D.若|MF1|≥5|MF2|,则e≥2
8.(2024湖南长沙雅礼中学月考六,14)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F为右焦点,过点F作FA⊥x轴,交双曲线于第一象限内的点A,点B与点A关于原点对称,连接AB,BF,当∠ABF取得最大值时,双曲线的离心率为 6+22 .
9.(2024湘豫名校联考模拟,18)已知O为坐标原点,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过C上一点P作C的两条渐近线的平行线,分别交y轴于M,N两点,且|OM|·|ON|=1,△F1PF2内切圆的圆心到y轴的距离为3.
(1)求C的标准方程.
(2)(i)设点Q(x0,y0)为C上一点,试判断直线xx03-yy0=1与C的位置关系,并说明理由;
(ii)设过点F2的直线与C交于A,B两点(异于C的两顶点),C在点A,B处的切线交于点E,线段AB的中点为D,证明:O,D,E三点共线.
解析 (1)设P(xP,yP),则xP2a2-yP2b2=1.
不妨令直线PM的方程为y-yP=ba(x-xP),直线PN的方程为y-yP=-ba(x-xP).(1分)
令x=0,得M0,−baxP+yP,N0,baxP+yP,
所以|OM|·|ON|=yP−bxPa·yP+bxPa=yP2−b2a2xP2=b2a2xP2−b2−b2a2xP2=b2=1.(3分)
设△F1PF2的内切圆(圆心为I)分别与PF1,PF2,F1F2切于点R,S,T,
则2a=||PF1|-|PF2||=||PR|+|RF1|-|PS|-|SF2||=||RF1|-|SF2||=||TF1|-|TF2||,
所以T为C的顶点,因为IT⊥x轴,所以I的横坐标为±a,
所以a=3.
故C的标准方程为x23-y2=1.(6分)
(2)(i)由x23−y2=1,xx03−yy0=1,得(3y02-x02)x2+6x0x-9-9y02=0,
结合x02-3y02=3,得x2-2x0x+x02=0,所以Δ=4x02-4x02=0.(8分)
所以直线xx03-yy0=1与C相切.(10分)
(ii)由题易得直线AB的斜率不为0,
设直线AB的方程为x=ty+2,代入x2-3y2=3,
得(t2-3)y2+4ty+1=0,
其中t2−3≠0,Δ=16t2−4(t2−3)=12(t2+1)>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=−4tt2−3,y1y2=1t2−3.(11分)
由(i)知,C在点A,B处的切线方程分别为x1x-3y1y=3,x2x-3y2y=3.(12分)
两式联立,得x=3(y2−y1)x1y2−x2y1=3(y2−y1)(ty1+2)y2−(ty2+2)y1=3(y2−y1)2(y2−y1)=32,y=32x1−33y1=x1−22y1=ty1+2−22y1=t2,即E32,t2.
所以直线OE的方程为y=t3x.(15分)
由x=ty+2,y=t3x,解得x=−6t2−3,y=−2tt2−3,
即直线AB与OE的交点为D1−6t2−3,−2tt2−3.
又yD=y1+y22=−2tt2−3,xD=tyD+2=t·−2tt2−3+2=−6t2−3,
即D−6t2−3,−2tt2−3.所以D与D1重合.
故O,D,E三点共线.(17分)
练风向
(创新知识交汇)(2024湖北十堰调研,14)数学课本《人教A版必修第二册》第121页介绍了“祖暅原理”:幂势既同,则积不容异.用现代语言可以描述为夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图1,这是某细腰鼓形工艺品(上、下对称),其轴截面近似为图2中的实线图形,两段曲线是双曲线C:x22-y2b2=1(b>0)的一部分,内部虚线为双曲线C的渐近线.若该工艺品的底面圆的直径为4,高为42,则b= 22 ;利用祖暅原理可求得该工艺品的体积为 322π3 .