天津市红桥区2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析版)

这是一份天津市红桥区2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知平面向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2. 化简：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
3. 在△中，，，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，，
根据正弦定理得.
故选：A.
4. 是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意为纯虚数，
所以，解得.
故选：C.
5. 复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
6. 若球的表面积扩大到原来的倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设扩大前后球半径分别，
由表面积之比为，得，
则体积之比为.
故选：D.
7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】对于A，，
A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D.
8. 设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥nB. 若m∥α，n∥α，则m⊥n
C. 若m⊥α，n⊥α，则m∥nD. 若m⊥α，n⊥α，则m⊥n
【答案】C
【解析】由m，n是两条不同的直线，α是一个平面，知：
在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
在C中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m∥n，故C正确；
在D中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m∥n，故D错误．
故选：C．
9. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为，下面4个有关函数的结论：
①函数的图象关于原点对称；②在区间上，的最大值为；③是的一条对称轴；④将的图象向左平移个单位，得到的图象，若为两个函数图象的交点，则面积的最小值为．
其中正确的结论个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】，，将代入，
得．又，．
，
不是奇函数，
的图象不关于原点对称，①错；
当时，，
由的单调性可知：，即的最大值为，②对；
由，得的对称轴方程为，
不是的对称轴，③错；
，
由，得，，
相邻两个交点的横坐标之差为，
将代入，得到交点的纵坐标为，
面积的最小值为，④对．
故选：B．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.
10. 若是虚数单位，则复数=____________.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
11. 函数的最小正周期为，则_______.
【答案】
【解析】的最小正周期，.
故答案为：.
12. 已知平面向量，，若共线，则___________.
【答案】
【解析】共线，，解得：.
故答案为：.
13. 用与球心距离为1的平面去截该球，所得截面面积为π，则该球的体积_____________.
【答案】
【解析】截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，
所以根据球的体积公式知V球＝
故答案为：.
14. 已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为_______.
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，
由题意可知，底面圆的周长为，故，，
则该圆锥的母线长与底面半径的比为.
故答案为：2.
15. 在中，，，，点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），
（ⅰ）若，则___________；
（ⅱ）线段的长度为____________.
【答案】
【解析】如图，以为坐标原点建系如图，则，
所以，
由得，
整理得，
由得解得或，
当时，，此时重合，由可得，此时，
因为点不与端点重合，所以不满足题意，舍去，
当时，，
的直线方程为，
的直线方程为，
联立解得，所以，
所以，
若，则解得，
此时.
故答案为： .
三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 在中，内角所对的边分别是，已知，，.
（1）求：的值；
（2）求：面积.
解：（1）已知，由正弦定理得，，
由于，所以，
因为，
所以.
（2）由于，所以是锐角，
所以，
则.
17. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，内角所对的边分别是，若，，，求的值.
解：（1），的最小正周期；
令，解得：，
的单调递增区间为.
（2）由（1）得：，，
，，，解得：，
由余弦定理得：，.
18. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
解：（1）因为平面，平面，所以，
由于四边形是矩形，所以，
由此，以坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则；
所以，
因为，所以，
由于，所以，
由于，平面，
所以平面.
（2）设平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得，
且为平面的一个法向量，
于是，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设点到平面的距离为，
由（2）可知平面的法向量，，
设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为.
19. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，．
（1）若为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：如图，连接，
四边形为矩形，与交于点，
为的中点，
又因为为的中点，，
而平面，平面，
平面.
（2）如下图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
根据题意，则有，0，，，1，，，2，，，0，，
所以，0，，，1，，，2，，
假设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，1，，
设直线与平面所成角的平面角为，
则，直线与平面所成角的正弦值为．
（3）假设存在点，，，满足题意，
设此时，则，
即，，，2，，解得，，，
则，，，，0，，
假设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，1，，
又平面的一个法向量为，1，，
平面与平面所成锐二面角的大小为，
根据题意，则有，解得，
在线段上存在一点（除去端点），
使得平面与平面所成锐二面角的大小为，．