河南省信阳市息县2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份河南省信阳市息县2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A.是最简二次根式，符合题意；
B.的被开方数含有开的尽的因数4，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意；
D.=，故不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．
2. 下列计算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.，所以A选项错误；
B.原式＝，所以B选项正确；
C.原式＝，所以C选项错误；
D.原式＝，所以D选项错误．故选B．
3. 如图，在中，，则的周长是（ ）
A. 20B. 25C. 28D. 32
【答案】A
【解析】∵在中，，
∴，
∴的周长是；
故选A．
4. 陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. -或
【答案】A
【解析】，是有理数，符合题意；
，是无理数，不符合题意，
，是有理数，符合题意；
，是无理数，不符合题意，
故“□”中的运算符号可能是：或，
故选：A．
5. 在单位长度为1的正方形网格中，各三角形的顶点都在格点上，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.选项中的三角形三边长分别为，，3；而，
∴选项中的三角形不是直角三角形，故选项A不符合题意；
B.选项中的三角形三边长分别为，，；而，
∴选项中的三角形不是直角三角形，故选项B不符合题意；
C.选项中的三角形三边长分别为，，；而，
∴选项中的三角形是直角三角形，故选项C符合题意；
D.选项中的三角形三边长分别为，，；而，
∴选项中的三角形不是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：C
6. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为( )
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】在△ABC中，∠A=45°，CD⊥AB
∴△ACD是等腰直角三角形
∴CD=AD=1
又∵∠B=30°
∴Rt△BCD中，BC=2CD=2
∴BD=
故选C．
7. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（如图），则水深和芦苇长各多少尺？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设这根芦苇的长度为x尺，
由题意得：尺，尺，
∵水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇在水池的正中央，
∴尺，
∴在中，由勾股定理得：，
即，
故选：A．
8. 如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（ ）
A. 3B. 4C. 1D. 2
【答案】D
【解析】∵，于点M，
∴，
∵N是的中点，
∴；
故选D．
9. 顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）
A. 5种B. 4种C. 3种D. 1种
【答案】C
【解析】当①③时，四边形ABCD为平行四边形；
当①④时，四边形ABCD为平行四边形；
当③④时，四边形ABCD为平行四边形，
故选C．
10. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45，
∴，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，
∵⊥，∠ACB=45，
∴，
当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．
二、填空题
11. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________．
【答案】3
【解析】n为正整数，也是正整数，
则3n是一个完全平方数，
所以n的最小值是3．
故答案为：3．
12. 若式子有意义，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】根据二次根式有意义，分式有意义
得：
解得：且．
故答案为：且．
13. 如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则______．

【答案】
【解析】∵正方形的面积为7，正方形的面积为9
∴，
即，
∴，故答案为：
14. 如图，在中，，在同侧分别以为直径作三个半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则阴影部分的面积为__________．
【答案】24
【解析】∵，，∴，
∴阴影部分的面积
；故答案为：24．
15. 在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，若以O，A，P，B为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为______．
【答案】或或
【解析】设，分三种情况：
①当为对角线时，则，，
解得，，
∴；
②当为对角线时，则，,
解得，，
∴；
③当为对角线时，则，，
解得，，
∴，
综上，满足条件的点P坐标为或或，
故答案为：或或．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：．
17. 计算：
（1）
（2）
（1）解：原式
（2）解：原式．
18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）长为的线段PQ，其中P、Q都在格点上；
（2）面积为13的正方形ABCD，其中A、B、C、D都在格点上．

解：（1）（2）如图所示：

19. 如图，在平行四边形中，点E，F对角线上，且，连接、、、、求证：四边形是平行四边形．

证明：连接交于点O，

四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形．
20. 我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时，且小丽距离地面．

（1）与全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵小丽到点Q，且小丽距离地面，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴两人所在座舱距离地面的高度差为．
21. 要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：

试按照以上步骤证明：三角形中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，_______
求证：_______

证明：
解：已知：如图，在中，、分别为边、的中点
求证：且
证明：延长至，使，连接，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
，，
，．
22. 如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
（1）证明：点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
23. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．
（1）当运动时间t为多少秒时，PQ∥CD．
（2）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
解：根据题意得：AP=t，CQ=3t，
∵AD=6，BC=16，
∴PD=AD-AP=6-t；
（1）∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，此时PQ∥CD，
∴6-t=3t，
解得：t=1.5；
∴当运动时间t为1.5秒时，PQ∥CD．
（2）∵E是BC的中点，
∴BE=CE=BC=8，
①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
3t-8=6-t，
解得：t=3.5；
②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：
8-3t=6-t，
解得：t=1，
∴当运动时间t为1或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
​