北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

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第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)已知集合或,则
(A)(B)(C)(D)
(2)若复数满足,则
(A)(B)(C)(D)
（3）若,则下列不等式成立的是
(A)(B)(C)(D)
（4）已知,则
(A)1(B)2(C)-1(D)-2
（5）下列不等式成立的是
(A)(B)(C)(D)
（6）若在上为增函数,则的取值范围是
(A))(B)(C)(D)
（7）已知向量,则下列等式中,有且仅有一组实数x,y使其成立的是
(A)(B)(C)(D)
（8）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是
(A)由上图推测,甲地的绿化好于乙地
(B)当日6时到12时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
(C)当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
(D)当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
（9）设无穷等差数列的前项积为.若,则“有最大值”是“公差”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
（10）已知数列满足,则
(A)当时,存在使得
(B)当时,存在使得
(C)当时,存在正整数,当时,
(D)当时,存在正整数,当时,
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
(11)已知,则____________.
(12)在平面直角坐标系xOy中,角的终边经过点.若角的终边逆时针旋转得到角的终边，则____________.
(13)如图所示,四点在正方形网格的格点处.若,则________,________.
(14)已知函数满足恒成立.
①的取值范围是____________;
②若,则的最小值为____________.
(15)已知函数,其定义域记为集合,给出下列四个结论:
①且;
②若,则;
③存在,使得;
④对任意,存在使得.
其中所有正确结论的序号是____________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（16）（本小题13分）
已知无穷等比数列的前项和为.
(I)求的值;
(II)设,求数列的前项和.
（17）（本小题14分）
设函数,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.
(I)求的值;
(II)若在上有且仅有两个极大值点,求的取值范围.
条件①:;
条件②:将的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称;
条件③:对于任意的实数的最大值为4.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(18)(本小题14分)
已知函数.曲线在点处的切线方程为.
(I)求的值;
(II)求的最小值.
(19)(本小题14分)
如图所示,某景区有两条公路（在同一平面内），在公路上有两个景点入口游客服务中心在点处,已知,.
（I）已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为3km.若不考虑其他环境因素干扰，则处的工作人员与处的工作人员能否用对讲机正常通话?.
（II）已知一点处接收到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在公路CQ段上建立一个志愿服务驿站,且要求在志愿服务驿站接收景点入口处对讲机的信号最强.若选址使,请判断该选址是否符合要求?
(20)(本小题15分)
已知函数.
(I)若在处取得极大值,求的值;
(II)求的零点个数.
(21)(本小题15分)
对于行列的数表,定义变换:任选一组其中,对于的第行和第列的个数,将每个数同时加1,或者将每个数同时减1,其余的数不变,得到一个新数表.
（I）已知对依次进行4次变换，如下：写出的值;
（II）已知.是否可以依次进行有限次变换，将变换为?说明理由；
（III）已知11行11列的数表,是否可以依次进行次变换,将其变换为?若可以,求的最小值;若不可以,说明理由.