山东省泰安市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

这是一份山东省泰安市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了 在的展开式中，含的项的系数是， 已知，，，则， 已知，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D. e
【答案】C
【解析】函数，则，故，
所以.
故选：C
2. 若函数，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，故选：D
3. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数的图象可知为单调递增函数，
故函数在每一处的导数值，即得，
设，则连线的斜率为，
由于曲线是上升的，故，所以，
作出曲线在处的切线，设为，连线为，
结合图象可得的斜率满足，
即，即.
故选：B
4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. C. 69D. 70
【答案】A
【解析】展开式中，
含的项为，
所以的项的系数是.故选：A.
5. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现将6名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为（ ）
A. 1200B. 1560C. 2640D. 4800
【答案】B
【解析】先将6名同学分为或的四组，共有种，
再将4组分到书法、音乐、美术、体育社团，共有种，
所以共有种.
故选：B.
6. 已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因（*）
对于A项，当时，代入（*）可得，当时，代入（*）可得，所以，故A项错误；
对于B项，当时，代入（*）可得，
又，所以，故B项错误；
对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确；
对于D项，对（*）两边求导可得，
当时，，故D项错误.
故选：C.
7. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，则，
当时，，当时，
所以在单调递减，在上单调递增，
又，，，且，
所以，，
故选：D
8. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得，
，
设，，
则，
故函数在上单调递增，所以，
即，
所以.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 有三个零点
B. 有两个极值点
C. 若方程有三个实数根，则
D. 曲线关于点对称
【答案】BC
【解析】，
令解得，令解得或，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
因为，极大值，且极小值，
所以在有一个零点，共1个零点，A错误；
由A知，函数有两个极值点，故B正确；
由A知，函数在单调递增，单调递减，单调递增，
且时，，时，，
所以方程有三个实数根，需，即，故C正确；
因为，所以点在函数图象上，
又点关于点的对称点为，
而，
即不是函数图象上的点，
故函数不关于点对称，故D错误.
故选：BC.
10. 现有4个编号为1，2，3，4不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A. 共有种不同的放法
B. 恰有一个盒子不放球，共有120种放法
C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有24种
D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种
【答案】ABD
【解析】对于A，每个球都有5种放法，共有种放法，故A正确；
对于B，把球全部放入盒子内，恰有一个盒子不放球，则有4个盒子每个盒子放1个球，有种放法，故B正确；
对于C，每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有种放法，故C错误；
对于D，将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒，即有4个盒子每个盒子放1个球的放法有5种，故D正确，
故选：ABD.
11. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：
上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】依据题意结合图2可知图2中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左右肩上共三个数的和（没有的用0代替），
如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左右肩上的数1和6；
第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2；
所以，
对于A，由上，故A错；
对于B，由图可知，
以此类推可得，故B对；
对于C，由上可知正确，故C对；
对于D，因为，
，则，
所以根据乘法规则的展开式中的系数为：
，
又，
其通项为，
因为，故展开式中的系数为0，
故，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体的六个顶点，要求，用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有________种.（用数字作答）
【答案】
【解析】首先给，两个顶点挂彩灯，有种方法，再给顶点挂彩灯，有种方法，
①若、挂同一种颜色的彩灯，则有种方法，
最后挂点有种方法，故有种；
②若、挂不同种颜色的彩灯，此时挂点有种方法，挂点有种方法，
最后挂点有种方法，故有种；
综上可得一共有种不同的方法.
故答案为：
13. 已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，且常数项与展开式中的常数项相等，则________，________.
【答案】①4 ②3
【解析】中第二项和第四项的二项式系数分别为和，所以，根据组合数的性质可得.
对于，易得通项公式为，其中令得，所以常数项为.
在中，取得常数的项情况有两种：选2个，1个，0个；或者选0个，0个，3个.
所以常数项为，解得.
故答案为：4；3.
14. 已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】由可得，即恒成立，
令，
则不等式可化为：，
令，则，
所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.
所以，
故要使恒成立，只需，即，即，
令，所以，
令，则，
所以时，，在上单调递增，且当时，，
时，，在上单调递减，且当时，，
所以，
故.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极值.
解：（1），，又，
在处的切线方程为，即切线方程为.
（2）令，解得，
当x变化时，，的变化情况如下表所示，
当时，有极大值，并且极大值为，无极小值.
16. 从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.（以下问题均用数字作答）
（1）甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法?
（2）甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间（可以不相邻）有多少种排法?
（3）甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法?
解：（1）由于甲、乙、丙三人中恰有两人在内，所以可以分3步完成：
第1步，从3人中选中2人，有种选法.
第2步，从其余4人中选出3人，有种选法.
第3步，将选出的5个人全排列，有种排法.
根据分步乘法计数原理，不同的排法有种；
（2）由于三人全在内，且甲在乙、丙之间，所以可以分3步完成：
第1步，从其余4人中选出2人，有种选法.
第2步，将2人安排到5个位置，有种方法.
第3步，剩余3个位置排甲、乙、丙三人，有2种方法
根据分步乘法计数原理，不同排法有种；
（3）由于甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，所以分3步完成：
第1步：从其余4人中选出2人，有种选法.
第2步：将甲、乙捆绑与选出的2人排列，有种方法.
第3步：将丙插空有3种方法.
根据分步乘法计数原理，不同排法共有种.
17. 已知的展开式中，所有项的系数之和是512.
（1）求展开式中有理项有几项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项.
解：（1）所有项的系数之和是512.
令，得，，
展开式的通项：，，
令，，3，6，9，
展开式中有理项共有4项.
（2）设第项系数的绝对值最大.
则，解得.
，，
展开式中系数绝对值最大的项为第3项.
18. 已知函数，.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若，且，求证：.
解：（1）
.
①当时，令，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
在上单调递减，在上单调递增.
②当时，令，解得或，
当即时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当即时，在上单调递增，
当即时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
（2），
恒成立，
在上单调递增，且，
设
，，
设，，
，
令，
解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
，
，
不妨设，
则，
，
，
，
在上单调递增，
，即.
19. ①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i）四则运算法则：如果，，则，，若，则；ii）洛必达法则1：若函数，的导函数分别为，，且，则；②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：
（1）计算：①；
②；
（2）试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.
解：（1）①根据洛必达法则1，.
②设，则，
设，，
，
.
（2），，
，则，，
，
，均有，
是区间上的2阶无穷递降函数.
方法一：
由以上同理可得，
由①，得
，.
方法二：
，
设，，
则，
设.，则，
在上单调递增，又，
在上恒成立，
在上单调递增，，
在上恒成立，，
在上单调递增，
又
，.
x
2
0
单调递增
单调递减