湖北省武汉市部分学校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷(解析版)

这是一份湖北省武汉市部分学校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.
1. 设i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由，得，
所以复数在复平面内对应的点在第四象限.
故选：D.
2. 下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递增；
最小正周期为，在区间上单调递增.
故选：A.
3. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意．
故选：B．
4. 在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A. 36πB. 28πC. 20πD. 12π
【答案】D
【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥，如图所示：
所以，，
所以所形成的几何体的体积是
.
故选：D.
5. 为了得到函数的图象，只要把函数上所有的点（ ）
A. 向左平移B. 向左平移
C. 向右平移D. 向右平移
【答案】B
【解析】设函数平移m个单位得到，可得
，即，解得，
根据平移规律只要把函数上所有的点向左平移，
即.
故选：B.
6. 某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 频率分布直方图中的值为0.004
B. 估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75
C. 估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150
【答案】D
【解析】由，可得，故A错误；
前三个矩形的面积和为，
所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B错误；
这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；
总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.
故选：D.
7. 若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，是两个单位向量，
且在上的投影向量为，所以，
所以，
，
，
所以，即的夹角的余弦值为.
故选：C.
8. 在平面凸四边形ABCD中，，，，且，则四边形ABCD的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
设，则，在中，由余弦定理得，
，
在中，因为，，所以为等腰直角三角形，
，则四边形ABCD面积
=，因为，所以，
所以当时，四边形面积取得最大值.
故选：A.
二、多选题：本大题共4小题.每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分.
9. 在某次测量中得到A样本数据如下：52，54，54，55，56，55，56，55，55，56，若B样本数据恰好是A样本数据加5后所得数据，则下列数字特征中，A，B两样本相同的是（ ）
A. 众数B. 极差C. 中位数D. 标准差
【答案】BD
【解析】根据已知，结合各个数字特征的求解公式，可知：
样本中每个数据加上5以后，众数比原来多5，故A项错误；
极差不变，故B项正确；
中位数比原来多5，故C项错误；
平均数比原来多5，根据标准差计算公式，可知标准差不变，故D项正确.
故选：BD.
10. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 为纯虚数B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】设复数，由，得，
整理得，于是，解得，，
对于A，为纯虚数，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD.
11. 定义两个非零平面向量，的一种新运算：，其中表示向量，的夹角，则对于非零平面向量，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. ，则D.
【答案】BC
【解析】对于A项，，
，故A项错误；
对于B项，
，故B项正确；
对于C项，由已知可得，，所以，
因为，所以或，所以，故C项正确；
对于D项，因为与相同或互补，所以，
，，
故D项错误.
故选：BC.
12. 如图，一张矩形白纸ABCD，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点N.现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE的同侧，则下列命题正确的是（ ）
A. 当平面平面时，平面BFDE
B. 当A，C重合于点P时，平面PFM
C. 当A，C重合于点P时，三棱锥P-DEF的外接球的表面积为
D. 当A，C重合于点P时，四棱锥P-BFDE的体积为
【答案】ACD
【解析】由题意，将△，△沿BE，DF折起，
且点A，C在平面BFDE的同侧，此时四点共面，
平面平面，平面平面
当平面平面时，，
由题意得：，所以四边形是平行四边形，，
AC不在面BFDE内，MN在面BFDE内，进而得到平面，所以A正确；
，，
则可得，即，同理可得
当A，C重合于点P时，如上图，则中，
又，所以，
因为，
所以为等腰三角形，则，，
所以和不垂直，则不垂直平面PFM，故B错误；
当A，C重合于点P时如下图，
在三棱锥中，均为直角三角形，
所以为外接球的直径，则外接球半径
则三棱锥的外接球表面积为，故C正确；
，，
则可得，即，同理可得
当A，C重合于点P时，如下图，
，PN、MN在面PMN内，则平面，
DF在面BEFD内，平面平面，平面平面，
过点，作，因为是边长为的等边三角形，所以可求得，
由面面垂直的性质定理知平面，即为四棱锥P-BFDE的高，
故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球.某高中为了解学生对这一重大新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取15人，高二抽取12人，已知高三年级共有学生900人，则该高中所有学生总数为______人.
【答案】3 600
【解析】由已知可得，高三学生抽取人数为，
抽样比为，所以，该高中所有学生总数为.
故答案为：3 600.
14. 在正方形中，已知，，则的值为______.
【答案】3
【解析】是正方形， ，
，，
.
故答案为：3.
15. 如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为______，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为______.
【答案】
【解析】折叠后可得⊥，⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，故异面直线SG与EF所成的角为；
取的中点，连接，过点作⊥于点，
因为，，所以⊥，⊥，
又，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
则即为直线SG与平面SEF所成角，
设正方形的边长为2，则，
故，所以，
因为，由勾股定理得，
则.
故答案为： .
16. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】由
，
令，可得，
所以只需，解得，
又因为，所以，即，所以的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设向量，，，函数，的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）用五点法画出在一个周期内的图象.
解：（1），
，.
（2），
列表
所以在一个周期内的图象为：
18. 如图，矩形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E在圆O上（异于A，B），F为DE的中点.
（1）证明：平面；
（2）若直线DE与平面所成的角为时，证明：平面平面.
解：（1）因为平面，平面，所以，
又为圆的直径，所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以，，且即为直线DE与平面所成的角，所以，
所以，为等腰直角三角形，，
又为的中点，所以，
由（1）知，平面，平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，且，求的值.
解：（1），
由正弦定理得，，
，
，
，
又，，
，.
（2）因为，
所以，
所以，，，
，，，
所以
.
20. 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：t），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得100位居民某年的月平均用水量（单位：t），将数据按照，，…，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）已知该市有80万居民，请估计全市居民中月平均用水量不低于的人数；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过xt，估计x的值，并说明理由.
解：（1）由频率分布直方图的性质：小长方形的面积之和等于，可得：
，
解得.
（2）由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于的频率为：
，
由此可估计全市80万居民中月均用水量不低于的人数为
，
估计全市居民月平均用水量不低于的人数为9.6万人.
（3）由题意只需求样本数据中的分位数，记该分位数为，
因为前6组频率之和为，
而前5组的频率之和为，
所以，
由，解得，
因此，估计月用水量标准为时，85%的居民每月的用水量不超过标准.
21. 如图所示，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，侧面为正方形，平面平面ABC.点M为的中点，N为AB的中点，异面直线AC与所成的角为.
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积.
解：（1）取AC中点E，连ME，NE，
为中点，，
又，，
又平面，平面，平面，
同理平面，又，平面，
平面平面，
又平面，平面.
（2），为异面直线AC与所成角，即，
为菱形，为等边三角形，
连，则，且，
而平面平面，平面平面面，
平面，
又面，，
又正方形，，，
又，平面，
平面，
又平面，，
.
22. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.
（1）证明：；
（2）若O为的垂心，AO的延长线交BC于点D，且，求的周长.
解：（1），
又，，
，，
又，，即，
，，
，
.
（2）作BO延长线交AC于E，
为垂心，，
，
，，即，
又，，
∴，
∴，
∵，
，
在中，，，
在中，，即，即，
在中，，
，即，，
∴，，
又，，
，
∴的周长为18.
0
x
0
2
0
0