广东省深圳市南山区2024年中考三模数学试卷(解析版)

这是一份广东省深圳市南山区2024年中考三模数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. “学而不思则罔，思而不学则殆”体现了学习和思考的重要性．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种表面展开图，那么在原正方体中与“学”字相对面上的字是（ ）
A. 不B. 思C. 则D. 罔
【答案】C
【解析】由题意可知，在原正方体中与“学”字相对面上的字是“则”，
故选：C．
2. 在中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵中，，，，
∴，∴．
故选：A．
3. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：A．
4. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段BC长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】如图，
由题意，，，，
∴，又，
∴，则，
故选：D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】与不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，
故C符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：C．
6. 下列命题不正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
C. 正八边形的每个外角都等于45°
D. 关于原点对称的点的坐标为
【答案】B
【解析】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确，不符合题意；
B、有两边和及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项错误，符合题意；
C、正八边形的每个外角都等于，故本选项正确，不符合题意；
D、关于原点对称的点的坐标为，故本选项正确，不符合题意；
故选：B．
7. “计里面方”（比例缩放和直角坐标网格体态）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志，制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，且，观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∴,，
∴，
无法证明，
故A正确，不符合题意；
B正确，不符合题意；
D正确，不符合题意；
C错误，符合题意；
故选C．
8. 已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵一次函数图象经过一、二、四象限，
∴，
∴二次函数 的开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象位于二、四象限，
符合的图象为A，
故选A．
9. 如图，等边的边长为，点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止；同时点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止，设的面积为，运动时间为，则下列最能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题得，点移动的路程为，点移动的路程为，，，
①如图，当点在上运动时，过点作于，
则，，，
的面积，
即当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A、B排除；
②如图，当点在上运动时，过点作于，
则，，，
的面积，
即当时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C排除，而D正确；
故选：D．
10. 如图，是的高，是的中点，交于于．若则的长为( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】延长BC交FE的延长线于点H，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵是CD的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，∴，
∵，∴，
∵
∴，∴，∴，∴，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若，则______．
【答案】1
【解析】∵，
∴a=2b，
∴．
故答案为：1．
12. 一个不透明的袋子里装有白球、黄球共32个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中白球的个数最有可能是______个．
【答案】24
【解析】由题意可得，（个），
即袋子中红球的个数最有可能是24个，
故答案为：24．
13. 如图，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则______．
【答案】52
【解析】如图所示，连接，
∵分别与相切于A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是______．
【答案】
【解析】如图，记一次函数图象与轴的交点为，
当时，，解得，，∴，
设，，
∴，
整理得，，
联立得，，整理得，，
∴，，
∴，解得，，∴，
解得，，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，点是中点，点是对角线上一点，与关于直线对称，交于点，当中有一个内角为时，则的长为______．
【答案】或
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
当中有一个内角为时，分两种情况：
当时，如图1所示：
则，四边形是矩形，∴；
当时，如图所示：
则，
∴，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴；
综上所述，的长为或；
故答案为或．
三、解答题（共7小题，共55分）
16. 计算：．
解：
．
17. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
18. 我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法、．国画、．合唱、．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人；
（2）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为 ，请补全条形统计图；
（3）该校共有名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人；
（4）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率．
解：（1）人，
∴本次被调查的学生人数为人，
故答案为：；
（2），
∴合唱所对应的圆心角的度数为；
水彩画学生人数为人，
补全统计图如下：
（3）书法的人数为：（人）；
（4）列表如下：
由表格可知，共有种等可能的情况，其中小明和小华所选的课程恰好相同的结果数种，
∴小明和小华所选课程恰好相同的的概率是．
19. 如图，以等腰的腰为直径作，交底边于点D，过点D作，垂足为E．

（1）求证：为的切线；
（2）若，求的半径．
（1）证明：连接，如图，

∵为的直径，∴，
∵，∴，
∵，∴为的中位线，∴，
∵，∴，
∵为的半径，∴为的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，∴．
答：的半径为 ．
20. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
解：（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元．
（2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为62，
答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．
21. 【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
【建立模型】
任务1：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围．
解：任务1：设函数表达式为：，
将原点代入上式，解得：，则．
任务2：由，得，
将代入，得．
令，
解得（舍去）或，
即水火箭飞行的水平距离为；
任务3：设发射台弹射口高度为c，
则此时的函数表达式为：，
当时，，解得，
当时，
，
解得，即，
故发射台PQ高度范围为．
22. 如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，．

（1）问题解决：①写出与的数量关系：________；
②的值为________；
（2）类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求 的值．
（1）①证明：∵四边形是正方形，
，．
．
，
．
．
，
．
故答案为：．
②结论：．
理由：，，
，
，
∴四边形平行四边形，
，
，
，
∴；
（2）解：．
理由：如图2，作于M．

，
，
，，
，，∴，
，
∴四边形是矩形，，∴，
∵（k为常数），∴．
（3）解：如图③，过点C作，交的延长线于点M，过点B作，连接，

，，，
∴四边形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去），或，
，
由（2）的结论可知：．飞行时间
0
2
4
6
8
…
飞行高度
0
10
16
18
16
…