贵州省凯里学院附属中学2024—2025学年上学期九年级数学期中考试真题

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一、填空题（每小题3分，共计36分）
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9B．2，，9C．2，，D．，6，
3．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
4．若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程，配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．下列表格给出了函数的x与y的部分对应值，那么方程的一个根x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．函数的图象与轴的交点的情况是（ ）
A．有两个交点B．有一个交点C．没有交点D．无法判断
8．如图，将△ABC绕点顺时针旋转得到，若，，，则的长为（ ）
第8题图
第11题图
第12题图
A．5B．4C．3D．2
9．若a是方程的一个解，则2036−3a2+6a的值是（ ）
A．2024 B．−2024 C．2023 D．−2023
10．我县开展老旧小区改造，2022年投入此项工程的专项资金为1000万元，2022—2024年累计投入资金为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
11．如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
12．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题4分，共计16分）
13．抛物线的顶点坐标是 ．
14．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ．
15．已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．
16．如图，在正方形中，．，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为 ．
第15题图
第16题图
三、解答题（9小题，共计98分）
17．（10分）解下列方程
（1）； （2）．
18．（10分）已知：在平面直角坐标系中，有ΔABC，
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）画出将ΔABC绕点O按顺时针旋转所得的．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
20．（10分）如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料．
（1）要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长．
（2）请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值．
21．（10分）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
22．（12分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．
（1）求落水点C、D之间的距离；
（2）若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．
23．（12分）小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图：
（1）单株售价与月份x之间的关系式为__________；单株成本与月份x之间的关系式为__________．
（2）请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株获利=单株售价−单株成本）．
24．（12分）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子：
①，
∵，∴．因此代数式有最小值；
②．
∵，∴．因此，代数式有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式的最大值为 ；
（2）求代数式的最小值；
（3）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且AC⊥BD，若，求四边形面积的最大值．
25．（12分）【问题背景】（1）如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌________，故、、之间的数量关系为_________．
【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系；
【联系拓展】（3）如图3，在△ABC中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系，并证明．
x
⋯
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
⋯
y
⋯
0.19
0.44
0.71
⋯