江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析版)

这是一份江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】因为，则，
所以在复平面上所对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
2. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由正弦定理可得：，所以，则，所以.
故选：B.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
4. 已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（ ）
A. 2.75B. 2.80C. 2.81D. 2.82
【答案】B
【解析】因为10个样本数据是从小到大排列的，且，
所以第75百分位数是第8个数2.80．
故选：B.
5. 已知非零向量与的夹角为，，，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】因为非零向量与的夹角为，，，
所以，
又，所以.
故选：C.
6. 已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
【答案】A
【解析】对于选项A，因为，则垂直平面内任意一条线，
又，所以，
所以，则有，所以选项A正确；
对于选项B，当，时，有或，所以选项B错误；
对于选项C，当，，，时，与可以相交，所以选项C错误；
对于选项D，若，，时，有或与异面，所以选项D错误.
故选：A.
7. 抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（ ）
A. A与B对立B. A与B互斥
C. D. A与B相互独立
【答案】D
【解析】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：
（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反），
显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生，
所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误；
又因为，而，，
所以，，故C错误，D正确.
故选：D.
8. 如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，在直角中，，所以，
在直角，，所以，即，
在中，，，
由余弦定理得，
即，因为，所以解得，
即大运塔的高为.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，错误.
故选：AC.
10. 已知函数，下列选项中正确的有（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小正周期是
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上有且仅有2个零点
【答案】AB
【解析】由题意得，
则的最大值为，故选项A正确；
的最小正周期是，故选项B正确；
由解得，
所以当时，单调递增，
同理，当时，单调递减，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C错误；
令，解得或或，故选项D错误.
故选：AB.
11. 从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命（单位：年）的检测结果如下表：
记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】由题意可得，，，
，
，
，，
，
，
则，，，.
故选：BD.
12. 在中，已知，为的内角平分线且，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D. 的面积最小值为
【答案】ACD
【解析】依题意，
即，
所以，所以，故A正确；
，所以，
当且仅当时取等号，
所以或（舍去），
则，当且仅当时取等号，
故D正确；
又，，
即，，
所以，
又，即，
所以，
所以，
即，所以，故C正确；
由余弦定理，
即
，
所以，
由于由已知条件无法得知的值，
故无法确定的值，故B错误.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知复数（为虚数单位），则=______．
【答案】5
【解析】因为复数，所以.
故答案为：5
14. 已知非零向量与的夹角为45°，，向量在向量上投影向量为，则_____________.
【答案】2
【解析】由题意可知：.
故答案为：2.
15. 求值：__________．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
16. 已知正四棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为_____________.
【答案】
【解析】连接，在正四棱柱中，平面，
所以为直线与平面所成角，
因为在等腰直角三角形中，，所以，
在直角三角形中，，
所以，，
又正四棱柱的外接球的直径为，则半径，
所以球的表面积为：.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
解：（1）因为，所以，解得：.
（2）因为，所以，解得：或.
18. 如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，.
（1）求证：//平面EAC；
（2）求三棱锥的体积.
解：（1）因为底面ABCD为正方形，所以F为BD中点，
因为E为棱的中点，所以//，
且平面，平面，
所以//平面
（2）因为平面ABCD，底边ABCD为正方形，
则为直角三角形，且，
所以三棱锥的体积.
19. 已知函数，.
（1）求的最大值；
（2）证明：函数有零点.
解：（1）因为
，
因为，所以，
所以在上单调递减，
所以.
（2）因为，，
因为，，且图象在上不间断，
所以在区间上有零点.
20. 某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的课外阅读情况，现随机调查了100名学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，把他们的阅读时间分为5组：，，，，，并绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值及这100名学生课外阅读时间的平均数.（各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平）
（2）为查找影响学生阅读时间因素，学校团委决定采用分层抽样的方法，从阅读时间为，的学生中抽取6名参加座谈会.再从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有一人读书时间在的概率.
解：（1）由题意得：，
这100名学生阅读时间的平均数为：
，
所以这100名学生阅读时间的平均数为26.
（2）由直方图得：课外阅读时间为与的学生数的比为1:2，
所以，课外阅读时间在有2名，阅读时间在有4名，
记从这6名学生中随机抽取2人，
恰好有一人读书时间在为事件M，
课外阅读时间在的2名学生分别记为a、b，
阅读时间在的4名学生分别记为A、B、C、D，
所以从这6人中任意抽取2人，
样本空间
，共15个样本点，
其中，共8个样本点，
所以.
21. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，.
（1）求证：；
（2）求二面角的大小.
解：（1）平面平面，平面平面，
又平面，
由面面垂直的性质定理得平面
又平面
（2）由（1）知平面
平面平面
就是二面角的平面角，
，，，，
又，所以，，
，，
二面角的大小为.
22. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C的大小；
（2）若D是边AB的三等分点（靠近点A），.求实数t的取值范围.
解：（1）由正弦定理可得：，
∴，
∴，
又∵，∴.
（2）设，，，
则，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：，
又，
由，得，
因为，
所以，
因为，所以，
∴，，
，
∴，.甲厂产品
3
5
6
7
7
8
8
8
9
10
乙厂产品
4
6
6
7
8
8
8
8
8
8