2022-2023学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷（B卷）（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷（B卷）（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z满足zi=2−i(i为虚数单位)，则z在复平面上所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=8，b=7，B=30∘，则sinA=( )
A. 12B. 47C. 52D. 4 37
3.已知sinα=35，则cs2α=( )
A. −1625B. −725C. 725D. 1625
4.已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为( )
A. 2.75B. 2.80C. 2.81D. 2.82
5.已知非零向量a与b的夹角为θ，|b|=2|a|，a⋅b=a2，则θ=( )
A. 0B. π6C. π3D. π2
6.已知l、m为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若l//α，m⊥α，则l⊥m
B. 若l⊥m，m⊥α，则l//α
C. 若l⊂α，m⊂α，l//β，m//β，则α//β
D. 若α//β，l⊂α，m⊂β，则l//m
7.抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是( )
A. A与B对立B. A与B互斥
C. P(A+B)>P(A)+P(B)D. A与B相互独立
8.如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔AB的高度.他选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=120∘，CD=112m，在C，D两观测点处测得大运塔顶部A的仰角分别为45∘，30∘，则大运塔AB的高为( )
A. 56 2mB. 112mC. 112 2mD. 112 3m
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( )
A. EF=13AB
B. BE=CB−CE
C. AC=AB+AD
D. AF=23AD+13AC
10.已知函数f(x)=sinxcsx，下列选项中正确的有( )
A. f(x)的最大值为12B. f(x)的最小正周期是π
C. f(x)在区间(0,π2)上单调递增D. f(x)在区间[0,π]上有且仅有2个零点
11.从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命(单位：年)的检测结果如下表：
记甲工厂样本使用寿命的众数为x1，平均数为x2，极差为x3，方差为x4；乙工厂样本使用寿命的众数为y1，平均数为y2，极差为y3，方差为y4.则下列选项正确的有( )
A. x1y4
12.在△ABC中，已知A=2π3，AD为∠A的内角平分线且AD=2，则下列选项正确的有( )
A. 1AC+1AB=1ADB. BC2−2AC⋅AB=16
C. AB⋅AC−DB⋅DC=4D. △ABC的面积最小值为4 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z=3+4i(i为虚数单位)，则|z|=______.
14.已知非零向量a与b的夹角为45∘，|b|=2 2，向量b在向量a上投影向量为c，则|c|=______ .
15.1+tan15∘1−tan15∘=__________.
16.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，直线AC1与平面ABCD所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(2,x)，b=(x−1,1)，x∈R.
(1)若a⊥b，求实数x的值；
(2)若a//b，求实数x的值.
18.(本小题12分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，BD∩AC=F.
(1)求证：BD1//平面EAC；
(2)求三棱锥E−ADC的体积.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=−6(sinx+csx)−3，x∈[0,π4].
(1)求f(x)的最大值；
(2)证明：函数φ(x)=f(x)+10有零点.
20.(本小题12分)
某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的课外阅读情况，现随机调查了100名学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，把他们的阅读时间分为5组：[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求x的值及这100名学生课外阅读时间的平均数.(各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平)
(2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定采用分层抽样的方法，从阅读时间为[10,20),[20,30)的学生中抽取6名参加座谈会.再从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有一人读书时间在[10,20)的概率.
21.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面PBC，∠CBP=90∘，PA=AB=BC=2，PC=2 3.
(1)求证：PA⊥BC；
(2)求二面角P−BC−A的大小.
22.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(a−c)(sinA+sinC)=(a−b)sinB.
(1)求角C的大小；
(2)若D是边AB的三等分点(靠近点A)，CD=tAD.求实数t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的除法运算、复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
根据复数的除法运算求复数z，再结合复数的几何意义分析判断．
【解答】
解：因为zi=2−i，
则z=2i−1=−1−2i，
所以z在复平面上所对应的点为(−1,−2)，位于第三象限．
故选C.
2.【答案】B
【解析】解：由正弦定理可得：asinA=bsinB，
所以8sinA=7sinB，
即8sinA=712，解得sinA=47.
故选：B.
由正弦定理代入求解即可．
本题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：sinα=35，则cs2α=1−2sin2α=1−2×(35)2=725.
故选：C.
直接利用二倍角的余弦函数化简求解即可．
本题考查二倍角公式的应用，考查计算能力．
4.【答案】B
【解析】解：因为10个样本数据是从小到大排列的，且10×75%=7.5，
所以第75百分位数是第8个数2.80.
故选：B.
由于样本数据是从小到大排列的，由百分位数的定义得到第75百分位数是第8个数．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：θ∈[0,π]，
|b|=2|a|，a⋅b=a2，
故csθ=a⋅b|a|⋅|b|=a22|a|⋅|a|=|a|22|a|⋅|a|=12，解得θ=π3.
故选：C.
根据夹角公式计算可得．
本题主要考查平面向量的夹角公式，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：对于A，∵m⊥α，∴m垂直平面α内任意一条线，又l//α，∴∃n⊂α，使得l//n，
∴m⊥n，则有l⊥m，故A正确；
对于B，当l⊥m，m⊥α时，有l//α或l⊂α，故B错误；
对于C，当l⊂α，m⊂α，l//β，m//β时，α与β可以相交，故C错误；
对于D，若α//β，l⊂α，m⊂β时，有l//m或l与m异面，故D错误．
故选：A.
根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一分析判断，选出正确的命题即可．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
则事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)，
显然事件A，事件B都包含“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，
所以，事件A，事件B既不互斥也不对立，故AB错误．
又因为P(A)=24=12,P(B)=24=12，而P(A+B)=34，P(AB)=14，
所以P(A+B)故选：D.
根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果．
本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件相关知识，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得，在直角△ABC中，∠ACB=45∘，
所以BC=AB，
在直角△ABD，∠ADB=30∘，
所以ABBD=tan30∘，即BD= 3AB，
在△BCD中，∠BCD=120∘，CD=112，
由余弦定理BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcs120∘，可得3AB2=AB2+1122−2×112⋅(−12)⋅AB，
因为AB>0，
所以解得AB=112，即大运塔AB的高为112m.
故选：B.
根据仰角分别得出BC=AB，BD= 3AB，在△BCD中由余弦定理即可求出AB.
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想的应用，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的基本定理以及线性运算，属于基础题．
结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的线性运算即可判断选项D.
【解答】
解：对选项A：EF=13DC=13AB，正确；
对选项B：BE=BC+CE=−CB+CE，错误；
对选项C：AC=AB+BC=AB+AD，正确；
对选项D：AF=AD+DF=AD+23DC=AD+23(AC−AD)=13AD+23AC，错误．
故选：AC.
10.【答案】AB
【解析】解：由题意得f(x)=sinxcsx=12sin2x，
则f(x)的最大值为12，故A正确；
f(x)的最小正周期是2π2=π，故B正确；
由−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ解得−π4+kπ≤x≤π4+kπ，
所以当−π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z时，f(x)单调递增，
同理，当π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z时，f(x)单调递减，
所以f(x)在区间(0,π4)上单调递增，在区间[π4,π2)上单调递减，故C错误；
令12sin2x=0,x∈[0,π]，解得x=0或x=π2或x=π，故D错误．
故选：AB.
先化简f(x)，即可由正弦函数的取值范围判断选项A，由正弦函数的周期公式判断选项B，由正弦函数的单调性判断选项C，解三角方程判断选项D.
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：由题意可得，x1=8，x2=110(3+5+6+7+7+8+8+8+9+10)=7.1，
x4=110[(3−7.1)2+(5−7.1)2+(6−7.1)2+(7−7.1)2+(7−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(9−7.1)2+(10−7.1)2]=3.69，
x3=10−3=7，
y1=8，y2=110(4+6+6+7+8+8+8+8+8+8)=7.1，
y3=8−4=4，y4=110[(4−7.1)2+(6−7.1)2+(6−7.1)2+(7−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2+(8−7.1)2]=1.69，
则x2=y2，x1=y1，x3>y3，x4>y4.
故选：BD.
根据题意，由众数，平均数，极差以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果．
本题考查众数，平均数，极差以及方差的计算公式，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：依题意S△ABC=S△ABD+S△ADC，即12AB⋅ACsin2π3=12AB⋅ADsinπ3+12AD⋅ACsinπ3，
所以AB⋅AC=AD(AB+AC)，
所以1AC+1AB=1AD，故A正确；
AB⋅AC=2(AB+AC)，
所以AB⋅AC2=AB+AC≥2 AB⋅AC，当且仅当AB=AC时取等号，
所以AB⋅AC≥16或AB⋅AC≤0(舍去)，
则S△ABC=12AB⋅ACsin2π3= 34AB⋅AC≥4 3，当且仅当AB=AC=4时取等号，故D正确；
又BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsπ3，DC2=AC2+AD2−2AC⋅ADcsπ3，
即BD2=AB2+AD2−AB⋅AD，DC2=AC2+AD2−AC⋅AD，
所以BD2+DC2=AB2+AC2+2AD2−AC⋅AD−AB⋅AD，
又BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs2π3，即BC2=AB2+AC2+AB⋅AC，
所以(BD+DC)2=BD2+2BD⋅DC+DC2=AB2+AC2+AB⋅AC，
所以2BD⋅DC=AB⋅AC−2AD2+(AC+AB)⋅AD，
即2BD⋅DC=2AB⋅AC−2AD2，
所以AB⋅AC−DB⋅DC=AD2=4，故C正确；
由余弦定理BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs2π3，
即BC2=AB2+AC2+AB⋅AC
=(AB+AC)2−AB⋅AC
=(AB⋅AC2)2−AB⋅AC
=14(AB⋅AC)2−AB⋅AC，
所以BC2−2AC⋅AB=14(AB⋅AC)2−3AB⋅AC，
由于由已知条件无法得知AB⋅AC的值，
故无法确定BC2−2AC⋅AB的值，故B错误．
故选：ACD.
利用等面积法得到AB⋅AC=AD(AB+AC)，即可判断A；再利用基本不等式求出AB⋅AC的最小值，即可判断D；利用余弦定理判断B、C.
本题考查了三角形的面积公式，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
13.【答案】5
【解析】解：∵z=3+4i，
∴|z|= 32+42= 25=5.
故答案为：5.
直接利用复数模的计算公式得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
14.【答案】2
【解析】解：根据题意，非零向量a与b的夹角为45∘，|b|=2 2，
向量b在向量a上投影向量为c，则|c|=||b|cs|=2.
故答案为：2.
根据题意，由投影向量的计算公式计算可得答案．
本题考查投影向量的计算，涉及向量数量积的运算和性质，属于基础题．
15.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的正切公式，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．
利用tan45∘=1对原式进行替换，利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．
【解答】
解：原式=tan45∘+tan15∘1−tan45∘tan15∘=tan(45∘+15∘)=tan60∘= 3.
故答案为 3.
16.【答案】10π
【解析】解：连接AC，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD，
所以∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成角，
因为在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，所以AC= 2，
在直角三角形ACC1中，tan∠C1AC=C1CAC=C1C 2=2，
所以C1C=2 2，AC1= AC2+C1C2= 10，
又正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的外接球的直径为AC1，则半径r= 102.
所以球的表面积为：S=4πr2=4π( 102)2=10π.
故答案为：10π.
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，连接AC，则∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成角，结合题中的条件可得侧棱长，进一步得到外接球的半径，得到答案．
本题考查正四棱柱的外接球问题，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为a⊥b，所以2(x−1)+x=0，解得：x=23.
(2)因为a//b，所以x(x−1)=2，解得：x=2或x=−1.
【解析】根据向量共线和垂直的坐标运算求解．
本题主要考查了向量共线及垂直的坐标运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)证明：因为底面ABCD为正方形，所以F为BD中点
因为E为棱DD1的中点，所以EF//BD1，
且EF⊂平面EAC，BD1⊄平面EAC，
所以BD1//平面EAC.
(2)因为DD1⊥平面ABCD，底边ABCD为正方形
则△ADC为直角三角形，且AD⊥DC
所以三棱锥E−ADC的体积为：
VE−ADC=13×ED×S△ADC=13×12×12×1×1=112.
【解析】(1)根据线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据锥体的体积公式运算求解．
本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=−6(sinx+csx)−3=−6 2( 22sinx+ 22csx)−3=−6 2sin(x+π4)−3，
因为x∈[0,π4]，所以x+π4∈[π4,π2]，所以f(x)在[0,π4]上单调递减，所以f(x)max=f(0)=−9；
(2)因为φ(x)=f(x)+10=−6 2sin(x+π4)+7,x∈[0,π4]，
因为φ(0)=1>0，φ(π4)=7−6 2<0，且φ(x)图象在[0,π4]上不间断，
所以φ(x)在区间[0,π4]上有零点．
【解析】(1)利用辅助角公式将函数化简，由x的取值范围求出x+π4的取值范围，即可得到函数的单调性，即可求出函数的最大值；(2)首先得到φ(x)的解析，求出区间端点的函数值，结合零点存在性定理即可证明．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意得：x=1−10(0.005×2+0.02+0.04)10=0.03，
这100名学生阅读时间的平均数为：5×0.05+15×0.2+25×0.4+35×0.3+45×0.05=26，
所以这100名学生阅读时间的平均数为26；
(2)由直方图得：课外阅读时间为[10,20)与[20,30)的学生数的比为1：2，
所以，课外阅读时间在[10,20)有2名，阅读时间在[20,30)有4名，
记从这6名学生中随机抽取2人，
恰好有一人读书时间在[10,20)为事件M，
课外阅读时间在[10,20)的2名学生分别记为a、b，
阅读时间在[20,30)的4名学生分别记为A、B、C、D，
所以从这6人中任意抽取2人，
样本空间：
Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),
(A,B)，(A,C)，(A,D)，(B,C)，(B,D)，(C,D)}，共15个样本点，
其中M={(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D)}，共8个样本点，
所以P(M)=815.
【解析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求出x，再根据平均数公式计算可得；
(2)利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：由于平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，
又∠CBP=90∘，BC⊂平面PBC，BC⊥PB，
则根据面面垂直的性质定理得BC⊥平面PAB，
又PA⊂平面PAB，
∴PA⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥平面PAB，
∵PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴∠PBA就是二面角P−BC−A的平面角．
∵PB⊥BC，BC=2，PC=2 3，
∴PB=2 2，
又PA=AB=2，
所以PA2+AB2=PB2，
∴PA⊥AB，
∴sin∠PBA=PAPB=22 2= 22，∠PBA=π4，
∴二面角P−BC−A的大小为π4.
【解析】(1)利用面面垂直的性质定理得到BC⊥平面PAB，再利用线面垂直的定义即可证明．
(2)先利用平面角的定义得到二面角P−BC−A的平面角为∠PBA，在△PAB中利用正弦定理可求得角度的大小．
本题考查空间中垂直关系的判断，考查二面角的定义及其求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】(1)解：由正弦定理可得：(a−c)(a+c)=(a−b)b，
∴a2+b2−c2=ab，
∴csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又∵C∈(0,π)，∴C=π3.
(2)设AD=x，∠ACD=θ，θ∈(0,π3)，
则BD=2x，CD=tx，
在△ACD中，由正弦定理得：sinA=tsinθ，
在△BCD中，由正弦定理得：sinB=CDsin∠BCDBD=t2sin(π3−θ).
又sinB=sin(π3+A)= 32csA+12sinA= 32csA+t2sinθ，
由 32csA+t2sinθ=t2sin(π3−θ)，得csA=tcs(π3+θ).
因为sin2A+cs2A=t2sin2θ+t2cs2(π3+θ)=1，
所以t2=1sin2θ+cs2(π3+θ)=21−cs2θ+1+cs(2π3+2θ)=22− 3cs(2θ−π6).
因为θ∈(0,π3)，所以−π6<2θ−π6<π2，
∴0∴1【解析】(1)由(a−c)(sinA+sinC)=(a−b)sinB，利用正弦定理得到a2+b2−c2=ab，再利用余弦定理求解；
(2)设AD=x，∠ACD=θ，θ∈(0,π3)，在△ACD和△BCD中，利用正弦定理结合得到sinA=tsinθ，csA=tcs(π3+θ)，再利用平方关系得到sin2A+cs2A=t2sin2θ+t2cs2(π3+θ)=1，整理表示t，利用余弦函数的性质求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，还考查了余弦函数性质的应用，正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．甲厂产品
3
5
6
7
7
8
8
8
9
10
乙厂产品
4
6
6
7
8
8
8
8
8
8