江苏省盐城市东台市第五联盟2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份江苏省盐城市东台市第五联盟2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（ ）

甲 乙 丙
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
3．如图，、相交于点，，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
4．如图，有、、三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．三条中线的交点处B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处D．三条边的垂直平分线的交点处
5．如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，于点，于点，、交于点，已知，，则B的长为（ ）
A．7B．C．11D．
8．如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（ ）
A．13B．C．D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9．如图，，，与关于直线对称，则________．
10．如图是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色小方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有________个．
11．如图，，的周长为20，，则________．
12．如图，在中，，平分，且，则点到的距离为________．
13．如图，和关于所在的直线对称，点在上，若，则图中阴影部分的面积为________．
14．在如图所示的的正方形网格中，的度数为________．
15．如图，在中，，，面积是18，的垂直平分线分别交，边于、点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为________．
16．如图，中，点在边上，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，平分．若，，，，的面积________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题6分）
如图，、是四边形的对角线上的两点，，，．求证：．
18．（本小题6分）
如图，与是两个居住社区，与是两条交汇的公路，欲建立一个超市，使它到、两个社区的距离相等，且到两条公路、的距离也相等．请用尺规作图（保留作图痕迹），确定超市的位置．
19．（本小题6分）
如图，在中，，于，于，、相交于．
求证：平分．
20．（本小题6分）
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出，使它与关于直线对称；
（2）在直线上找一点，使得最小；
（3）的面积为________．
21．（本小题8分）
已知：如图，点、、、在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件写序号，使结论成立，并说明理由．
22．（本小题8分）
如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，连接，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求的长．
23．（本小题10分）
如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点．
（1）求证：点在线段的垂直平分线上；
（2）已知度，求的度数．
24．（本小题10分）
如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线的右侧作，且．

图① 图② 图③
观察发现：
（1）如图①，当点在线段上时，过点作的垂线，垂足为，判断线段与之间的关系，并说明理由；
探究迁移：
（2）将如图①中的，连接，交直线于点，我们很容易发现．如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，线段和线段之间的关系有没有变化？此时吗？说说理由．
拓展应用：
（3）如图③，当点在线段的延长线上时，当，时，求和的面积．
25．（本小题12分）
学习与探究：
如图1，是的平分线，点是上任意一点，用圆规分别在、上截取，连接、，则，判定方法是________．

图1 图2 图3
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点，求的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由．
答案和解析
1．【答案】B
【解析】解：A．不是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项正确；
C．不是轴对称图形，故本选项错误；
D．不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：B．
根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．
本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．【答案】B
【解析】解：甲，不符合两边对应相等，且夹角相等，∴甲和已知三角形不全等；
乙，符合两边对应相等，且夹角相等，乙和已知三角形全等；
丙，符合，即三角形和已知图的三角形全等；
故选：B．
根据三角形全等的判定定理：，，，，看看是否符合以上条件，进行判断即可．
本题考查了三角形全等的判定定理的应用，主要看看是否符合，，，，注意：对应相等，如：甲，，但夹角不相等，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
3．【答案】C
【解析】解：在与中，
，
∴；
∴，
而，即，
在与中，
，
∴，
在与中，
，
∴．
故选：C．
由，，，根据“”可判断，则，然后根据“”可判断，．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”．
4．【答案】D
【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．
本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．
5．【答案】B
【解析】解：∵，，
∴，
点在的垂直平分线上，
故选项B正确，
故选：B．
证明，可得结论．
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．【答案】A
【解析】解：由题意得：，，，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
由题意得：，，
∴，
答：两堵木墙之间的距离为．
故选：A．
根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答．
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
7．【答案】C
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
先证明，进而证明得到，则．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．
8．【答案】B
【解析】解：过作于，于，
∵为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
过作于，于，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到，因此，由是中点，得到，求出，于是得到．
本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到，．
9．【答案】
【解析】解：∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
本题考查轴对称，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．【答案】4
【解析】【解答】
解：如图所示：
，
共4个．
故答案为：4．
【分析】本题考查利用轴对称设计图案，轴对称图形等知识，解题的关键是理解轴对称图形的定义，利用轴对称图形的定义可得答案．
11．【答案】12
【解析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质并灵活运用．
由全等三角形的性质可得的周长为20，从而可求解．
解：∵，的周长为20，
∴的周长为20．
∵，
∴．
故答案为：12．
12．【答案】5
【解析】解：过点作于点，则即为所求，
∵，平分交于点，
∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵，
∴．
故答案为：5．
直接根据角平分线的性质定理即可得出结论．
本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
13．【答案】6
【解析】解：∵和关于所在的直线对称，点在上，
∴，
∵，在线段上，
∴与关于直线对称，
∴，
∴
．
故答案为：9．
根据轴对称的性质判断即可．
本题考查轴对称的性质，三角形的面积，掌握轴对称的性质是求解本题的关键．
14．【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质有关知识，首先证明，然后证明，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得答案．
【解答】解：如图，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为．
15．【答案】9
【解析】解：连接，，
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
当点在上时，最小，最小值为D
∴，的最小值为9．
故答案为：9．
连接，由，点是边的中点可得，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点在上时，最小，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16．【答案】
【解析】解：过作于，于，
∵平分，平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的面积．
故答案为：．
过作于，于，由角平分线的性质推出，，由三角形面积公式得到，求出，即可求出的面积．
本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到，，由三角形面积公式得到．
17．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
【解析】首先利用平行线的性质得出，然后得出，利用得出即可．
此题主要考查了全等三角形的判定，利用两边且夹角对应相等得出三角形全等是解题关键．
18．【答案】解：如图所示，点即为所求．
【解析】根据题意做出的垂直平分线和的角平分线交于点，即为所求．
此题考查了作图-应用与设计作图，角平分线和垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
19．【答案】证明：∵（已知），
∴（等边对等角）．
∵、分别是高，
∴，（高的定义）．
∴．
∴，．
∴（等量代换）．
∴（等角对等边），
在和中，
，
∴，
∴（全等三角形对应角相等），
∴平分．
【解析】先根据，可得，再由垂直，可得的角，在和中，利用内角和为，可分别求和，利用等量减等量差相等，可得，即可得，再易证，从而证出平分．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形的内角和定理；等量减等量差相等的利用是解答本题的关键．
20．【答案】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）连接，则与的交点即为所求的点．
（3）5．
【解析】【分析】
此题主要作图-轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质，割补法求三角形的面积．
（1）分别作出点，，关于直线的对称点，再顺次连接即可得；
（2）连接，与直线的交点即为所求；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）见答案；
（2）见答案；
（3）的面积为，
故答案为：5．
21．【答案】③
【解析】证明：选择①，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
选择③，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
选择①，利用证明，即可得到，减去公共边，得到；
选择②，无法证明；
选择③，利用证明，即可得到，减去公共边，得到．
本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，掌握性质和判定方法是解题的关键．
22．【答案】证明：（Ⅰ）∵，是的平分线，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【解析】（Ⅰ）通过证明，即可得出结论；
（Ⅱ）通过证明，得，再进行等量代换即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记全等三角形的判定定理及角平分线的性质是解题的关键．
23．【答案】（1）证明：连接，，，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上；
（2）解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【解析】（1）由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明问题；
（2）由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，，由三角形内角和定理得到，求出，得到，于是．
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出；由等腰三角形的性质，三角形内角和定理得到．
24．【答案】解：（1）结论：，．
证明：根据题意可知，，
∴．
∵，
∴．
∵和，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故线段与之间的关系为：且．
（2）结论：线段与之间的关系不变；．
证明：从图②可知，，，
∴．
同理可得，，由得出．
在和中，
，
∴，
∴．
故本题结论为：与之间的关系不变；．
（3）如图③，当点在线段的延长线上时，
同理可得，，．
∴，，，
∵，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
则根据图形面积割补法可得：
．
∴．
答：和的面积分别为16和80．
【解析】（1）通过证明，然后根据全等三角形的性质可得，再结合两条线段的位置关系进而得出结论．
（2）先证明可得线段和的关系不变，再证明，同样可得出．
（3）由（2）可知，和，可得，，，易得线段和的长度，进而求出；对于的面积，根据，可由“割补法”得到，即可求出答案．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质．通过“同角的余角相等”证明两角相等和灵活运用“割补法”求三角形面积是解答本题的关键．
25．【答案】
【解析】解：∵是的平分线，
∴，
在与中，
，
∴；
（1）如图2，∵，，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴；
（2）．理由如下：
在上截取，连接，如图2所示：
∵是的平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
图2
（3）在（2）中的结论仍然成立．
在上截取，连接，如图所示：
同（2）可得：，
∴，，
又由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
同（2）可得，
∴，
∴．
图3
根据可知：可证明两个三角形全等；
（1）根据三角形内角和定理可求，是的外角，根据外角的性质计算求解；
（2）根据图1的作法，在上截取，则；根据证明，得，故判断；
（3）只要的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，作出相应的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键，本题的综合性较强，难度较大．