2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之菱形的性质与判定

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A．(43，4)B．(43，−4)C．(6，23)D．(6，−23)
2．（2024春•雨花区期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
3．（2024春•江城区期末）如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．5B．25C．2D．4
4．（2024•管城区校级一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
5．（2023秋•鹿寨县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（ ）
A．11B．12C．24D．22
二．填空题（共5小题）
6．（2024•陈仓区一模）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC＝6cm，则这个菱形的另一条对角线BD＝ cm．
7．（2024•城厢区一模）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长是 ．
8．（2024•广州一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC=23，则GH的最小值为 ．
9．（2024春•曲阜市期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC＝8，BD＝6，则EG+DF的最小值为 ．
10．（2024•新北区校级模拟）如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延长BC到点E，CM平分∠DCE，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝1，则对角线BD的长是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•平阴县期末）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
12．（2024春•海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO=25，DE＝4，求CE的长．
13．（2024•渠县校级模拟）如图，在四边形AECD中，AB∥CD，AD∥CE，AC平分∠DAB，延长AE至点B使得BE＝AE，连接CB．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠DAE＝60°，DC＝6，求△ABC的面积．
14．（2024•东兴区校级开学）如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接AF，CE直接写出当EF与AC满足什么关系时，四边形AECF是菱形？
15．（2024•吴江区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之菱形的性质与判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024•泌阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点C的坐标是（ ）
A．(43，4)B．(43，−4)C．(6，23)D．(6，−23)
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意得出△ABD是等边三角形，则BD＝AD＝8，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得DE，OE，进而得出A点的坐标，根据中心对称的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，设AD与y轴交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵AD＝8，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，则BD＝AD＝8，
∵O是菱形ABCD的对角线BD的中点，
∴OD=12BD=4
∵AD∥x轴，则∠DEO＝90°，
∴∠EOD＝30°
∴DE=12OD=2，OE=OD2−ED2=23，
∴A(−6，23)
∵A，C关于O对称，
∴C(6，−23)，
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求得点A的坐标是解题的关键．
2．（2024春•雨花区期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC＝2EF，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
3．（2024春•江城区期末）如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．5B．25C．2D．4
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．
【解答】解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，
∴AC＝2AO＝2，
∵菱形ABCD的边长为5，
∴AB=5，
∴BO=AB2−AO2=4=2，
∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积=12BD×AC=12×4×2=4，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形面积的计算以及勾股定理在直角三角形中的运用，菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半．
4．（2024•管城区校级一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【考点】菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD=12BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCD=12AC•BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE=12AC＝4.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
5．（2023秋•鹿寨县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（ ）
A．11B．12C．24D．22
【考点】菱形的性质；三角形的面积．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BE，
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝6，
在Rt△ABO中，BO=AB2−AO2=52−32=4，
∴BD＝8，
又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△CDE=12×12DE•BD=12×12×6×8＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用．菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
二．填空题（共5小题）
6．（2024•陈仓区一模）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC＝6cm，则这个菱形的另一条对角线BD＝ 8cm cm．
【考点】菱形的性质．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】8cm．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线BD的长．
【解答】解：∵菱形ABCD的面积=12AC•BD，
∴24=12×6×BD，
∴BD＝8（cm）．
∴另一条对角线BD的长为8cm．
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了菱形的性质．以及菱形的面积的计算，理解菱形的性质是关键．
7．（2024•城厢区一模）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长是 52 ．
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据菱形性质得到AC⊥BD，OA=12AC=12，OD=12BD=5，在Rt△AOD中利用勾股定理得到AD=OA2+OD2=13，从而可以得到答案．
【解答】解：在菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝24，BD＝10，
∴AC⊥BD，OA=12AC=12，OD=12BD=5，
在Rt△AOD中利用勾股定理得到AD=OA2+OD2=52+122=13，
∴菱形ABCD的周长是4×13＝52，
故答案为：52．
【点评】本题考查菱形的性质，涉及菱形对角线相互垂直平分、勾股定理及菱形四条边相等等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．
8．（2024•广州一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC=23，则GH的最小值为 62 ．
【考点】菱形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝23，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH=12AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=22AB=22×23=6，
∴GH=62，
即GH的最小值为62，
故答案为：62．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
9．（2024春•曲阜市期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC＝8，BD＝6，则EG+DF的最小值为 4.8 ．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】4.8．
【分析】连接BE，结合菱形的性质证明△DAF≌△DCE可得DF＝BE，当点B、E、G三点共线时，EG+BE有最小值，即EG+DF有最小值，最小值为BG的长，由菱形的性质及勾股定理可求解菱形的边长，再利用勾股定理可求解CG的长，进而可求解．
【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD为菱形．
∴AD＝CD，AC垂直平分BD，
∴∠DAF＝∠DCE，DE＝BE，
在△DAF和△DCE中，
AD=CD∠DAF=∠DCEAF=CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴DF＝DE，
∴DF＝BE，
当点B、E、G三点共线时，EG+BE有最小值，即EG+DF有最小值，最小值为BG的长，
∵四边形ABCD为菱形．AC＝8，BD＝6，
∴∠BOC＝90°，CO＝4，BO＝3，
∴CD＝BC=CO2+BO2=42+32=5，
∵BG2＝BC2﹣CG2＝BD2﹣DG2，
∴52﹣CG2＝62﹣（5﹣CG）2，
解得CG＝1.4，
∴BG=BC2−CG2=52−1．42=4.8，
∴EG+DF的最小值为4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明DF＝BE是解题的关键．
10．（2024•新北区校级模拟）如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延长BC到点E，CM平分∠DCE，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝1，则对角线BD的长是 23 ．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】23．
【分析】连接AC交BD于点O，由菱形的性质得出AB＝BC，∠CBO＝∠ABO，OB＝OD，AC⊥BD，由直角三角形的性质得出DC＝2，求出OD的长，则可得出答案．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠CBO＝∠ABO，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠OBC＝30°，∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵CM平分∠DCE，
∴∠DCF＝∠ECF＝30°，
∵DF＝1，
∴DC＝2DF＝2，
∴OC=12CD＝1，
∴OD=CD2−OC2=3，
∴BD＝2OD＝23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•平阴县期末）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
【考点】菱形的性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
12．（2024春•海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO=25，DE＝4，求CE的长．
【考点】菱形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）3．
【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD＝BC，由菱形的判定可证四边形ABCD是菱形；
（2）由勾股定理求得BE=BD2−DE2=8，设CE＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△CDE中，CD2＝CE2+DE2，代入数据解答即可得解．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB
∴AB＝AD，且AB＝BC，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵BO＝DO，DE⊥BC，
∴OE=12BD＝25，
∴BD＝45，
∴BE=BD2−DE2=(45)2−42=8，
设CE＝x，则BC＝BE﹣CE＝8﹣x，
∴CD＝BC＝8﹣x，
在Rt△CDE中，CD2＝CE2+DE2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴CE的长为3．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键．
13．（2024•渠县校级模拟）如图，在四边形AECD中，AB∥CD，AD∥CE，AC平分∠DAB，延长AE至点B使得BE＝AE，连接CB．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠DAE＝60°，DC＝6，求△ABC的面积．
【考点】菱形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先证明四边形AECD是平行四边形，∠EAC＝∠DCA，再证明∠DCA＝∠DAC，则AD＝CD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AE＝CE＝CD＝6，再证明△BCE是等边三角形，得∠BCE＝60°，BC＝CE＝6，则∠ACB＝90°，进而由勾股定理得AC＝63，然后由三角形面积公式列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠EAC＝∠DCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠EAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD为菱形；
（2）解：∵AD∥CE，∠DAE＝60°，
∴∠CEB＝∠DAE＝60°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠EAC＝30°，
由（1）可知，四边形AECD为菱形，
∴AE＝CE＝CD＝6，
∴∠ECA＝∠EAC＝30°，
∵BE＝AE，
∴AE＝BE＝CE＝6，
∴AB＝2AE＝12，△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，BC＝CE＝6，
∴∠ACB＝∠ECA+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∴AC=AB2−BC2=122−62=63，
∴△ABC的面积=12AC•BC=12×63×6＝183．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14．（2024•东兴区校级开学）如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接AF，CE直接写出当EF与AC满足什么关系时，四边形AECF是菱形？
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．理由见解析．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA＝OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE＝OF；
（2）由△AOE≌△COF，可得OA＝OC，OE＝OF，可征得四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，根据菱形的判定即可证的结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（2024•吴江区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB＝AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB＝90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE＝AC，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∴OB=12BD=3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA=AB2−OB2=52−32=4，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴OE=12AC=OA=4．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．