2024-2025学年安徽省六安市舒城县晓天中学高二上册期中数学试卷

这是一份2024-2025学年安徽省六安市舒城县晓天中学高二上册期中数学试卷，共43页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线x﹣y+2＝0的倾斜角为（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
2．（5分）已知直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（4m﹣3）x+my﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数m的值为（ ）
A．0B．C．2D．0或
3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（0，1）为圆心且与直线x﹣y﹣1＝0相切的圆的标准方程为（ ）
A．x2+（y﹣1）2＝2B．（x﹣1）2+y2＝1
C．D．（x﹣1）2+y2＝4
4．（5分）已知直线l1：x+2y+t2＝0和直线l2：2x+4y+2t﹣3＝0，则当l1与l2间的距离最短时t的值为（ ）
A．1B．C．D．2
5．（5分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+2y+4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）设x，y∈R，向量，1，1），，y，1），，且，，则＝（ ）
A．B．3C．D．4
7．（5分）对于圆C：x2+y2﹣4x+1＝0，下列说法正确的为（ ）
A．点A（1，﹣1）圆C的内部B．圆C的圆心为（﹣2，0）
C．圆C的半径为3D．圆C与直线y＝3相切
8．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，C2，D2分别在棱AA1，CC1，DD1上，AA2＝1，DD1＝2，CC2＝3，则点D到平面A2C2D2的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（多选）9．（5分）已知直线l：mx+y+1＝0，点A（1，0），B（3，1），下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点（1，0）
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l的倾斜角为
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
（多选）10．（5分）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）11．（5分）直线l经过点（3，﹣2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ）
A．3x+2y＝0B．2x+3y＝0C．x﹣y﹣5＝0D．x+y﹣1＝0
（多选）12．（5分）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点（﹣2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为
B．直线的一个方向向量为
C．若点A（5，﹣2）和点B（m，n）关于直线x﹣y+1＝0对称，则m+n＝3
D．过点P（1，3）的直线l分别交x，y的正半轴于A，B，则△OAB面积的最小值为8
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13．（5分）方程C：x2+y2+2x﹣3y+m＝0表示圆，则实数m的取值范围为 ．
14．（5分）直线l的方向向量为m＝（1，1，0），且l过点A（1，1，1），则点P（2，2，﹣1）到直线l的距离为 ．
15．（5分）已知直线l与圆x2+y2﹣4y＝0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为（﹣1，1），则直线l的方程为 ．
16．（5分）圆x2+y2+4x﹣2y﹣1＝0上存在两点关于直线ax﹣2by+2＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共70分.
17．（14分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（0，0），B（﹣2，0），C（﹣3，﹣3）．
（1）求BC边上的中线AD所在直线的方程；
（2）求△ABC的外接圆O的标准方程．
18．（14分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0．
（1）直线l的方程为x﹣y＝0，直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|；
（2）过点P（4，4）引圆C的切线，求切线的方程．
19．（14分）已知线段AB的端点B的坐标是（6，5），端点A在圆C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4上运动．
（1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；
（2）设圆C1与曲线C2交于M、N两点，求线段MN的长．
20．（14分）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣6y﹣1＝0和C2：x2+y2﹣10x﹣12y+45＝0．
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程．
21．（14分）图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BC，AD的中点．
（1）证明：AE⊥B1G．
（2）求直线A1C1与平面B1FG所成角的正弦值．
2024-2025学年安徽省六安市舒城县晓天中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（5分）直线x﹣y+2＝0的倾斜角为（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
【考点】直线的倾斜角．
【答案】C
【分析】由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角．
【解答】解：设直线的倾斜角为α，
∵直线，
∴y＝x+2，
∴直线的斜率为k＝，
即tanα＝，
∵0°≤α＜180°，
∴α＝60°；
故选：C．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题．
2．（5分）已知直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（4m﹣3）x+my﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数m的值为（ ）
A．0B．C．2D．0或
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【答案】D
【分析】分m＝0和m≠0两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：当m＝0时，l1：y﹣1＝0，l2：3x+1＝0，则l1⊥l2，符合题意；
当m≠0，直线l1的斜率k1＝﹣m，直线l2的斜率，
由l1⊥l2得，，解得；
综上所述，实数m的值为0或．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与直线垂直的关系，属于基础题．
3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（0，1）为圆心且与直线x﹣y﹣1＝0相切的圆的标准方程为（ ）
A．x2+（y﹣1）2＝2B．（x﹣1）2+y2＝1
C．D．（x﹣1）2+y2＝4
【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．
【答案】A
【分析】先由点到直线的距离求出所求圆的半径，然后再结合圆的标准方程求解即可．
【解答】解：由点到直线的距离可得所求圆的半径为，
则所求圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了圆的标准方程，属基础题．
4．（5分）已知直线l1：x+2y+t2＝0和直线l2：2x+4y+2t﹣3＝0，则当l1与l2间的距离最短时t的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【考点】两条平行直线间的距离．
【答案】B
【分析】利用平行线之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵直线l2：2x+4y+2t﹣3＝0，即x+2y+＝0．
∴直线l1∥直线l2，
∴l1与l2间的距离d＝＝≥，当且仅当t＝时取等号．
∴当l1与l2间的距离最短时t的值为．
故选：B．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式、平行线之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+2y+4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件必要条件的判断．
【答案】C
【分析】利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l1：A1x+B1y+C1＝0与直线l2：A2x+B2y+C2＝0平行的充要条件是A1B2＝A2B1≠A2C1可得答案．
【解答】解：（1）充分性：
当a＝1时，直线l1：x+2y﹣1＝0与直线l2：x+2y+4＝0平行；
（2）必要性：
当直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+2y+4＝0平行时有：
a•2＝2•1，即：a＝1．
∴“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+2y+4＝0平行”充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充分必要条件以及两直线平行的充要条件，属于基础题型，要做到熟练掌握．
6．（5分）设x，y∈R，向量，1，1），，y，1），，且，，则＝（ ）
A．B．3C．D．4
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【答案】C
【分析】根据向量垂直、平行的性质，可分别求出x，y的值，再计算即可．
【解答】解：由，知2x﹣2+2＝0，所以x＝0，即＝（0，1，1），
由，可得，所以y＝﹣1，即＝（1，﹣1，1），
所以+＝（1，0，2），
所以|+|＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，熟练掌握向量平行、垂直的条件是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）对于圆C：x2+y2﹣4x+1＝0，下列说法正确的为（ ）
A．点A（1，﹣1）圆C的内部B．圆C的圆心为（﹣2，0）
C．圆C的半径为3D．圆C与直线y＝3相切
【考点】圆的一般方程；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系．
【答案】A
【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解．
【解答】解：对于A，将点A（1，﹣1）代入圆C中，得12+（﹣1）2﹣4×1+1＝﹣1＜0，所以点A（1，﹣1）圆C的内部，故A正确；
对于B，C，由x2+y2﹣4x+1＝0，得（x﹣2）2+y2＝3，所以圆C的圆心为（2，0），半径为，故B，C错误；
对于D，由圆心C（2，0）到直线y＝3的距离为d＝|3﹣0|＝3，所以，即d＞r，所以圆C与直线y＝3相离，故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．
8．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，C2，D2分别在棱AA1，CC1，DD1上，AA2＝1，DD1＝2，CC2＝3，则点D到平面A2C2D2的距离为（ ）
A．B．C．D．
【考点】空间中点到平面的距离．
【答案】D
【分析】以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面A2C2D2的距离．
【解答】解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，C2，D2分别在棱AA1，CC1，DD1上，AA2＝1，DD1＝2，CC2＝3，
以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（2，0，0），C2（0，0，3），D2（2，0，2），A2（2，2，1），
，，．
设平面A2C2D2的法向量为，
则，令a＝1，得，
∴点D到平面A2C2D2的距离为d＝．
故选：D．
【点评】本题考查正四棱柱结构特征、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（多选）9．（5分）已知直线l：mx+y+1＝0，点A（1，0），B（3，1），下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点（1，0）
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l的倾斜角为
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
【考点】恒过定点的直线；直线的倾斜角；直线的斜率．
【答案】CD
【分析】由题可得直线恒过定点（0，﹣1），然后结合斜率公式逐项分析即得．
【解答】解：直线l：mx+y+1＝0，故x＝0时，y＝﹣1，故直线l恒过定点（0，﹣1），选项A错误；
当m＝0时，直线l：y+1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；
当m＝1时，直线1：x+y+1＝0，斜率k＝﹣1，故倾斜角为，选项C正确；
当m＝2时，直线l：2x+y+1＝0，斜率，
故k•kAB＝﹣1，故直线l与直线AB垂直，选项D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了直线的性质，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量及其线性运算．
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断．
【解答】解：对于A，∵向量，，
∴，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，向量，，
由数量积的定义得，故C错误；
对于D，，
∴，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，考查了向量的夹角公式，属于基础题．
（多选）11．（5分）直线l经过点（3，﹣2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（ ）
A．3x+2y＝0B．2x+3y＝0C．x﹣y﹣5＝0D．x+y﹣1＝0
【考点】直线的截距式方程．
【答案】BCD
【分析】根据题意，分直线l的截距为0和直线l的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解．
【解答】解：当直线l的截距为0时，此时直线l的方程为，即2x+3y＝0，
当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，
则，解得或，
当a＝1，b＝1时，可得直线l的方程为x+y＝1，即x+y﹣1＝0，
若a＝5，b＝﹣5时，可得则直线l的方程为，即x﹣y﹣5＝0．
故选：BCD．
【点评】本题考查了直线方程问题，考查转化思想，是基础题．
（多选）12．（5分）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点（﹣2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为
B．直线的一个方向向量为
C．若点A（5，﹣2）和点B（m，n）关于直线x﹣y+1＝0对称，则m+n＝3
D．过点P（1，3）的直线l分别交x，y的正半轴于A，B，则△OAB面积的最小值为8
【考点】直线的点斜式方程；平面中直线的方向向量和法向量．
【答案】BC
【分析】利用直线的点斜式方程的概念求解选项A；利用直线的一般式方程的概念以及方向向量的概念求解选项B；利用点关于直线对称的点的关系求解选项C；利用直线的截距式方程和基本不等式求解选项D．
【解答】解：对于A，过点（﹣2，﹣1）且斜率为的直线的点斜式方程为，故A错误；
对于B，直线的的斜率为，一个方向向量为，故B正确；
对于C，因为点A（5，﹣2）和点B（m，n）关于直线x﹣y+1＝0对称，所以，解得，故m+n＝3，C正确；
对于D，设直线l的方程为，因为直线l过点P（1，3），所以，
所以，所以ab≥12，
所以，当且仅当即时，
△OAB面积取到最小值为6，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了直线的点斜式方程和截距式方程，考查了直线的方向向量，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13．（5分）方程C：x2+y2+2x﹣3y+m＝0表示圆，则实数m的取值范围为 （﹣∞，） ．
【考点】二元二次方程表示圆的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】由圆的一般式方程需要满足的条件可得D2+E2﹣4F＞0，得到关于m的不等式，求解可得m的范围．
【解答】解：由圆的一般式方程可得D2+E2﹣4F＞0，即 22+（﹣3）2﹣4m＞0，求得 m＜，
故答案为：（﹣∞，）．
【点评】本题主要考查圆的一般式方程的特征，属于基础题．
14．（5分）直线l的方向向量为m＝（1，1，0），且l过点A（1，1，1），则点P（2，2，﹣1）到直线l的距离为 2 ．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【答案】2．
【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算．
【解答】解：∵A（1，1，1），P（2，2，﹣1），
∴，，又，
∴在方向上的投影为，
∴P到l距离．
故答案为：2．
【点评】本题考查向量数量积的应用，属于中档题．
15．（5分）已知直线l与圆x2+y2﹣4y＝0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为（﹣1，1），则直线l的方程为 x+y＝0 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】由线段AB的中点为P，可得直线l的斜率，再由点斜式可得直线l的方程．
【解答】解：依题意可得圆心为C（0，2），半径r＝2，
∵线段AB的中点P坐标为（﹣1，1），∴CP⊥l，∴直线l的斜率为﹣＝﹣1，
所以直线l的方程为x+y＝0．
故答案为：x+y＝0．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
16．（5分）圆x2+y2+4x﹣2y﹣1＝0上存在两点关于直线ax﹣2by+2＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为 9 ．
【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式及其应用．
【答案】9．
【分析】首先求出圆心坐标，依题意可得直线ax﹣2by+2＝0（a＞0，b＞0）过圆心（﹣2，1），则a+b＝1，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得．
【解答】解：圆x2+y2+4x﹣2y﹣1＝0，即（x+2）2+（y﹣1）2＝6，圆心为（﹣2，1），
因为圆x2+y2+4x﹣2y﹣1＝0上存在两点关于直线ax﹣2by+2＝0（a＞0，b＞0）对称，
所以直线ax﹣2by+2＝0（a＞0，b＞0）过圆心（﹣2，1），
所以﹣2a﹣2b+2＝0，即a+b＝1，
又a＞0，b＞0，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本大题共5小题，共70分.
17．（14分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（0，0），B（﹣2，0），C（﹣3，﹣3）．
（1）求BC边上的中线AD所在直线的方程；
（2）求△ABC的外接圆O的标准方程．
【考点】圆的标准方程．
【答案】（1）3x﹣5y＝0；
（2）（x+1）2+（y+2）2＝5．
【分析】（1）根据B，C的坐标求出BC边的中点D的坐标，由斜率公式求出中线AD的斜率，由点斜式方程，即可得出AD所在直线的方程；
（2）设△ABC的外接圆O的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将点A，B，C坐标代入圆的一般式方程，求解得出圆的一般式方程，再化为标准方程即可．
【解答】解：（1）因为B（﹣2，0），C（﹣3，﹣3），
所以BC边的中点D的坐标为，
所以中线AD的斜率为，
所以中线AD的直线方程为：，
即3x﹣5y＝0；
（2）设△ABC的外接圆O的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
因为点A，B，C三点在圆上，
所以，
解得：，
所以外接圆O的方程为x2+y2+2x+4y＝0，
所以圆O的标准方程为：（x+1）2+（y+2）2＝5．
【点评】本题考查圆的方程的求法，三角形的中线的求法，属于中档题．
18．（14分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0．
（1）直线l的方程为x﹣y＝0，直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|；
（2）过点P（4，4）引圆C的切线，求切线的方程．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．
【答案】（1）2；
（2）x＝4或3x﹣4y+4＝0．
【分析】（1）化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长；
（2）当斜率不存在时，过P（4，4）的直线是x＝4；当斜率存在时，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣4）．由圆心到直线的距离等于半径列式求k，则答案可求．
【解答】解：（1）化圆C：x2+y2﹣4x＝0为（x﹣2）2+y2＝4，∴C圆的圆心为（2，0），半径为r＝2，
故圆心到直线的距离d＝＝1，
∴|AB|＝＝2；
（2）当斜率不存在时，过P（4，4）的直线是x＝4，显然是圆的切线；
当斜率存在时，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣4）．
由＝2，解得k＝．
此时切线方程为3x﹣4y+4＝0．
综上所述，切线方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，属基础题．
19．（14分）已知线段AB的端点B的坐标是（6，5），端点A在圆C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4上运动．
（1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；
（2）设圆C1与曲线C2交于M、N两点，求线段MN的长．
【考点】轨迹方程．
【答案】（1）（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1；（2）．
【分析】（1）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），由于点B的坐标为（6，5），且点P是线段AB的中点，利用代入法可得轨迹方程．
（2）两圆相减得公共弦方程2x+2y﹣19＝0，利用弦长公式可得MN的长．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），
由于点B的坐标为（6，5），且点P是线段AB的中点，
所以，
于是有x0＝2x﹣6，y0＝2y﹣5，①
因为点A在圆上运动，
所以点A的坐标满足方程（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，
即，②
把①代入②，得（2x﹣6﹣4）2+（2y﹣5﹣3）2＝4，
整理，得（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1，
所以点P的轨迹C2的方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1；
（2）圆与圆的方程相减，
得2x+2y﹣19＝0，
由圆的圆心为（5，4），半径r＝1，
且（5，4）到直线2x+2y﹣19＝0的距离，
则公共弦长．
【点评】本题考查了动点的轨迹问题以及直线与圆的位置关系，属于中档题．
20．（14分）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣6y﹣1＝0和C2：x2+y2﹣10x﹣12y+45＝0．
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程．
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4x+3y﹣23＝0．
【分析】（1）分别求出圆C1和圆C2的圆心和半径，再求出圆心距|C1C2|，由圆心距大于半径之差的绝对值，小于半径之和，能证明圆C1和圆C2相交．
（2）两圆C1和C2，两圆相减，得圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程．
【解答】证明：（1）圆C1：x2+y2﹣2x﹣6y﹣1＝0的圆心C1（1，3），半径r1＝＝，
C2：x2+y2﹣10x﹣12y+45＝0的圆C2（5，6），半径r2＝＝4，
|C1C2|＝＝5，
∵4﹣＜|C1C2|＝5＜4+，
∴圆C1和圆C2相交．
解：（2）∵两圆C1：x2+y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2+y2﹣10x﹣12y+45＝0，
∴两圆相减，得圆C1和圆C2的公共弦所在直线方程为：8x+6y﹣46＝0，
即4x+3y﹣23＝0．
【点评】本题考查两圆相交的证明，考查两圆公共弦所在直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式及圆的性质的合理运用．
21．（14分）图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BC，AD的中点．
（1）证明：AE⊥B1G．
（2）求直线A1C1与平面B1FG所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，证明得AE⊥B1G；
方法二：连接A1G，证明AE⊥平面A1GFB1得AE⊥B1G；
（2）证明为平面B1FG的一个法向量，用空间向量运算求线面角．
【解答】解：证明：方法一：（1）证明（方法一）：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），E（0，0，1），B1（2，2，2），G（1，0，0），F（1，2，0），A1（2，0，2），C1（0，2，2）．
，，，．
因为，所以，即AE⊥B1G．
方法二：连接A1G．
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADDA1，所以AB⊥AE．
因为AB∥GF，所以GF⊥AE．
因为A1B1∥GF，所以A1，G，F，B1四点共面，
在正方形ADD1A1中，E，G分别是边DD1，AD的中点，可得△A1AG≌△ADE，
所以∠AA1G＝∠DAE，∠AA1G+∠A1GA＝∠DAE+∠A1GA＝90°，所以AE⊥A1G．
因为GF∩A1G＝G，GF，A1G⊂平面A1GFB1，所以AE⊥平面A1GFB1．
因为B1G⊂平面A1GFB1，所以AE⊥B1G．
（2）因为，所以，即AE⊥GF．
因为B1G∩GF＝G，B1G，GF⊂平面B1FG，
所以AE⊥平面B1FG，即为平面B1FG的一个法向量．
设直线A1C1与平面B1FG所成的角为θ，
则．
故直线A1C1与平面B1FG所成角的正弦值为．
【点评】本题考查证明异面直线的垂直与求线面角，需要熟练应用空间向量，属于中档题．
考点卡片
1．充分条件必要条件的判断
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
3．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
4．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为﹣．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，＝．
④|λ|＝|λ|•||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）＝+
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
5．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作＜，＞．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cs＜，＞叫做向量与的数量积，记作•，即•＝||||cs＜，＞
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||csθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：＝λ（）＝•（）
（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||＝求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
【命题方向】
求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．
例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），则•＝ ﹣7
分析：通过2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．
解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），
∴＝（1，﹣3，1），
∴•＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；
故答案为：﹣7．
点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
6．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的认识】
一、空间向量及其有关概念
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1）•＝||||cs＜，＞；
（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；
（3）||2＝2，||＝．
2．向量的坐标运算
7．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|＝．
8．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
9．空间中点到平面的距离
【知识点的认识】
﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．
【命题方向】
﹣距离计算：考查如何计算点到平面的距离．
10．直线的倾斜角
【知识点的认识】
1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）
3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．
4．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：①当a≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0 且tanα随α的增大而增大．
【解题方法点拨】
直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．
【命题方向】
（1）直接根据直线斜率求倾斜角
例：直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
解答：因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：﹣，
直线的倾斜角为：α．
所以tanα＝﹣，
α＝120°
故选C．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
（2）通过条件转换求直线倾斜角
例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30° B.45° C．60° D．120°
分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．
解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，
∴直线AB的斜率k＝＝1，
∴直线AB的倾斜角α＝45°．
故选B．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
11．直线的斜率
【知识点的认识】
1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα．
2．斜率的求法
（1）定义：k＝tanα（α≠）
（2）斜率公式：k＝．
3．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：
①当α≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大．
【解题方法点拨】
直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．
【命题方向】
（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；
（2）已知斜率求倾斜角的问题．
（3）斜率在数形结合中的应用．
12．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【知识点的认识】
在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°．
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系：
①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直；
②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直．
l1⊥l2⇔k2＝﹣⇔k1•k2＝﹣1．
【解题方法点拨】
例：设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x﹣2y+1＝0，则直线PB的方程是 ．
解：根据|PA|＝|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，
根据x﹣2y+1＝0求出点A的坐标为（﹣1，0），由P的横坐标是2代入x﹣2y+1＝0求得纵坐标为，则P（2，），P在x轴上的投影为Q（2，0），又因为Q为A与B的中点，所以得到B（5，0），所以直线PB的方程为：y﹣0＝（x﹣5）化简后为x+2y﹣5＝0
故答案为：x+2y﹣5＝0．
13．平面中直线的方向向量和法向量
【知识点的认识】
﹣方向向量：平面中的直线可以由方向向量表示．
﹣法向量：平面上的法向量是平面中垂直于直线的向量，若直线方程为Ax+By+C＝0，则法向量为（A，B）．
【解题方法点拨】
﹣识别向量：确定直线的方向向量和直线的法向量．
【命题方向】
﹣向量识别：考查如何识别平面中直线的方向向量和直线的法向量．
14．直线的点斜式方程
【知识点的认识】
设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点．
方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程．
15．直线的截距式方程
【知识点的认识】
直线的截距式方程：
若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：．
#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．
16．直线的一般式方程与直线的平行关系
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
17．恒过定点的直线
【知识点的认识】
﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
其中a和b是直线的方向向量分量．
【解题方法点拨】
﹣求方程：
1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程．
2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式．
3．标准方程：得到直线方程如：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
【命题方向】
﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换．
18．两条平行直线间的距离
【知识点的认识】
﹣平行直线方程：两条平行直线的方程为：
直线Ax+By+C1＝0与
直线Ax+By+C2＝0
它们之间的距离为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．选择一条直线：选择其中一条直线计算点到另一条直线的距离．
2．应用公式：用点到直线距离公式，其中点选择在第一条直线上的点．
【命题方向】
﹣平行直线距离：常考查计算两条平行直线间的垂直距离，涉及相似方程和坐标变换．
19．圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （x﹣3）2+（y+2）2＝5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
20．圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（﹣，﹣），半径r＝．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
21．二元二次方程表示圆的条件
【知识点的认识】
1、圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径．
2、圆的标准方程：
圆的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x2+y2＝r2．
3、圆的一般方程：
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（﹣，﹣），半径为的圆；
当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（﹣，﹣），；
当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形．
因此二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0．
注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件：
①A＝C≠0；
②B＝0；
③D2+E2﹣4F＞0．
22．点与圆的位置关系
【知识点的认识】
点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较．
①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；
②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；
③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．
23．圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
【解题方法点拨】
例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 ．
解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r＝．
①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，
∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；
②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．
∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解之得k＝﹣1，
因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．
综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．
这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．
例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为 ．
解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设为k，
由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，
∴圆心到切线的距离d＝r，即＝2，
解得：k＝，
此时切线的方程为y﹣5＝（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，
综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．
这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．
【命题方向】
本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．
24．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
25．根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系
【知识点的认识】
﹣位置关系：两圆的位置关系可以通过圆心距和半径之和与半径之差确定：
﹣相交：圆心距小于两半径之和且大于半径之差
﹣外离：圆心距大于两半径之和
﹣内切：圆心距等于半径之差
﹣外切：圆心距等于两半径之和
【解题方法点拨】
﹣确定位置关系：
1．计算圆心距．
2．比较半径和圆心距，确定圆与圆的位置关系．
【命题方向】
﹣圆与圆的位置关系：考查如何通过圆心距和半径的比较确定圆与圆的位置关系，涉及几何计算和代数比较．
26．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【解题方法点拨】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
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语言描述
共线向量（平行向量）
表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．
共面向量
平行于同一平面的向量．
共线向量定理
对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使＝λ．
共面向量定理
若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x+y．
空间向量基本定理
（1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x+y+z．
（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．

＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）
向量和
+＝（a1+b1，a2+b2，a3+b3）
向量差
﹣＝（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）
数量积
•＝a1b1+a2b2+a3b3
共线
∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
垂直
⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0
夹角
公式
cs＜，＞＝