河南省许昌高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省许昌高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了定义运算，若正实数，满足，则的最小值为，已知关于的不等式的解集为，则，下列说法中正确的有，已知表示不超过的最大整数，例如等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
2．设命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
4．当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题：
①0是任何数域的元素：
②若数域有非零元素，则；
③集合是一个数域
④有理数集是一个数域
其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．存在三个实数，使其分别满足下述两个等式：
（1） （2）
其中M表示三个实数中的最小值，则（ ）
A．M的最大值是B．M的最大值是
C．M的最小值是D．M的最小值是
8．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．B．不等式的解集是
C．D．不等式的解集为或
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）
9．下列说法中正确的有（）
A．命题，”则命题的否定是
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“”是真命题
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
10．已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（ ）
A．集合
B．集合的非空真子集的个数是30个
C．若“”是“”的充分不必要条件，则
D．若，则
11．已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．B．C．D．
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）
12．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
13．若集合，则实数的取值范围是 .
14．若关于的不等式的解集为x−1≤x≤3，则的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（14分）15．已知命题：“，使得”为真命题.
(1)求实数的取值的集合；
(2)若非空集合且，求实数的取值范围.
（15分）16．已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令.
(1)求实数的值及；
(2)判断函数在区间上的单调性，不用说明理由；
(3)已知，且，证明：.
（14分）17．某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．
（其中）
(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
(2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．
（16分）18．已知命题，，命题，．
(1)当命题为假命题时，求实数的取值范围；
(2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围．
（18分）19．已知函数．
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)解关于的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围．数学答案
1．B【详解】由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
2．B【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为.
3．D【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意；对于B，函数，，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意；对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以C不符合题意；
对于D，由函数与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以D符合题意.
4．C【详解】①因数域G是非空数集，取其中任意元素，则由数域定义，故①正确；②因数域G有非零元素，设为，则由数域定义，因，则，，
类推可得任意正整数都在数域中，故②正确；
③表示全体被3整除的整数，则，但，故③错误；
④设，则，，，当时，，则有理数集是一个数域，故④正确.
5．B【详解】由题意可变形为
，
即，
化简可得恒成立，
所以恒成立，
化简可得，
解得，
所以实数的取值范围为，
6．A【详解】∵正实数x，y满足，，
∴，当且仅当取等，
设 ，∴，
∴，即，，∴，
故的最小值为2.
7．B【详解】由已知得，中必有个正数，1个负数，
设，，则，
因为，所以，
所以，即，
所以，由得，，即，
所以，
8．C【详解】对A，由不等式的解集为可知，A错误；
对B，又2和3是方程的两根，由韦达定理可得，
即，所以，
解得，B错误；
对C，，C正确；
对D，，解得，D错误.
9．AD【详解】对于A，命题的否定是，故A正确；
对于B，由可知由两种情况，①且；②，
故不能推出，由也不能推出，
所以是的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C，当x=0时，，故错误；
对于D，关于的方程有一正一负根，则，解得.
所以""是"关于的方程有一正一负根"的充要条件，故D正确.
10．CD【详解】时，时，，
时，，时，，
时，，时，，
，集合的非空真子集有个，所以A，B错误．
又若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，所以，C正确．
若，则时，；
时，，
综上，D正确．
11．ABC【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以，且、是关于的方程即的两根，
所以，故A、B正确，
又，
所以，故C正确；
又与轴有两个交点，，
而是将函数向上平移一个单位得到，
所以与轴的交点横坐标，，
所以，故D错误；
12．
【详解】根据题意可得“”是真命题，
当，即时，命题成立；
当时，得，解得，
综上，符合题意的实数的取值范围是.
13．
【详解】由题意，集合，
若时，集合，满足题意；
若时，要使得集合，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
14．
【详解】因为不等式的解集为x−1≤x≤3，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以.
15．(1)； (2).
【详解】（1）因为命题：“，使得”为真命题，
所以，
即，解得，
所以集合；
（2）因为，所以，
因为，非空集合，
所以，解得，
实数的取值范围为.
(1)， (2)在上单调递增，在上单调递减
(3)证明见解析
【详解】（1）解：由，均有且，
令，可得，
令，可得.
因为曲线与ℎx恰有一个交点且交点横坐标为，所以，
又因为曲线与ℎx恰有一个交点，所以有两个相等的实数根，
则，
因为，可得，解得，
所以，则.
（2）函数在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减.
设且，
则
，
其中
当时，，则，即，
此时函数在0,1上单调递增；
当时，，则，即，
此时函数在1,+∞上单调递减，
所以函数在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减.
（3）证明：因为，
由，可得，即，
所以，整理得，
又因为，由基本不等式，可得.
17．(1)采用方案二；理由见解析 (2)24
【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）；
方案二的总费用为（元），
由，
因为，可得，所以，
即，所以，所以采用方案二，花费更少.
（2）解：由（1）可知，
令，则，
所以，当时，即时，等号成立，
又因为，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立，
所以两种方案花费的差值最小为24元.
18．(1) (2)
【详解】（1）命题为假命题，则：，为真命题.
得或；
（2）由（1）若命题为假命题，则，
则若其为真命题，则；
若命题为真命题，则，
则若命题为假命题，则.
又命题和中有且仅有一个是假命题，则命题和一真一假.
若真假，则；
若假真，则.
综上，.
19．(1)
(2)当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为.
(3)
【详解】（1）由题意，
当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意;
当, 即 时, 的解集为 ,
，即
故 时, .
综上，.
（2）由题意得,
在, 即 ,
当 , 即 时, 解集为 ;
当 , 即 时, ,
即 解集为 ；
当 , 即 时, ,
解集为 .
综上，当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为.
（3）由题意，
, 即 ,
恒成立,
∴,
设 , 则
,
, 当且仅当 时取等号,
, 当且仅当 时取等号,
当 时, ,
，
∴的取值范围为.