新疆维吾尔自治区塔城市塔城地区第一高级中学2025届高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题（含解析）

这是一份新疆维吾尔自治区塔城市塔城地区第一高级中学2025届高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．7B．8C．31D．32
2．已知，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）
A．3.8小时B．4小时C．4.4小时D．5小时
4．若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．设函数,的零点分别为、,则
A．B．C．D．
8．已知，，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数与是相同的函数
B．函数的最小值为6
C．若函数在定义域上为奇函数，则
D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
10．若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若在上单调递增，则的取值范围是
B．点为曲线的对称中心
C．若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
D．若存在极值点，且，其中，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． .
13．已知函数y=x称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集为 ；当时，的最大值为 .
14．设函数，若，则的最小值为 .
四､解答题：本题共5小题､共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．已知全集，集合，.
(1)若，求和；
(2)若，求的取值范围.
16．已知关于的不等式的解集为.
(1)求，的值；
(2)若，，且，求的最小值.
17．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
18．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值，并证明：在上单调递增；
(2)求不等式的解集；
(3)若在区间上的最小值为，求的值.
19．已知函数.
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若恰有两个极值点，.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
1．A
【分析】计算出然后计算真子集个数即可.
【详解】由题得
所以，有是三个元素，所以真子集个数为.
故选：A
2．A
【分析】由，，可得，而得不出，，可得结论.
【详解】因为，，则“，，所以，
所以“，”是“”的充分条件；
当，可满足，
所以“，”是“”的不必要条件.
故选：A.
3．B
【分析】由题意可得，再令，解出可得，即可得解.
【详解】由题意可知，即有，
令，则有，解得，
，故还需要4小时才能消除至最初的.
故选：B.
4．D
【分析】根据的值域为，可得函数的值域应包含，利用即可得解.
【详解】函数的值域为，
则函数的值域应包含，
则有，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D.
5．C
【分析】点在幂函数的图象上，求出解析式，判断单调性，通过比较指数式与对数式的大小，由单调性判断函数值的大小.
【详解】点在幂函数的图象上，则有，
解得，有，则在R上单调递增.
由，，
则，所以，
即.
故选：C.
6．D
【分析】由题意可得：当时，，当，，当，，再借助导数研究函数单调性与二次函数的性质计算即可得解.
【详解】由题意知，当时，恒成立，即恒成立，
即有在上恒成立，令，则，
故当时，，当，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即，即有；
当时，，
由题意可得，当，，当，，
则有当，，当，，
分别解得，，即；
综上所述：.
故选：D.
7．B
【解析】由题意可得是函数的图象和的图象的交点的横坐标，是的图象和函数的图象的交点的横坐标，根据，求得，从而得出结论．
【详解】由题意可得是函数的图象和的图象的交点的横坐标，
是的图象和函数的图象的交点的横坐标，且，都是正实数，如图所示：
故有，故，，
，，
故选：B．
【点睛】本题考查对数函数、指数函数的图象和性质应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
8．C
【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果.
【详解】由可得，且
因此，
令，则；
又；
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解.
9．AD
【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据奇函数的性质即可求解C，由抽象函数定义域的性质即可求解D.
【详解】对于A，由题意可得，解得，所以的定义域为，．
由得，所以的定义域为,．
又因为，故函数与是相同的函数，故A正确．
对于B,，当且仅当时取等号．由于方程无解，故等号不成立，故B错误．
对于C,若在定义域上为奇函数，
当时，x需要满足，
则由奇函数定义域关于原点对称，可得，
此时，，为奇函数，
所以满足题意；
若，可得函数的定义域为,故，解得，经检验符合题意，
所以，故C错误，
对于D，对于已知函数的定义域为，则，故，则函数的定义域为，D正确，
故选：AD．
10．AC
【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用特例判断D.
【详解】因为，且，所以，
所以，即，故A正确；
因为，，所以，故B错误；
因为，所以，故C正确；
当时满足题设条件，但不成立，故D错误.
故选：AC
11．BCD
【分析】对于A ，求导可得对x∈0,+∞恒成立，可求以的取值范围判断A；对于B ，通过平移可得，令，可得hx为奇函数可判断B；对于C ，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可判断C；对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案可判断D.
【详解】对于A，由，可得，
若在0,+∞上单调递增，则f′x≥0对x∈0,+∞恒成立，
所以对x∈0,+∞恒成立，
所以对x∈0,+∞恒成立，
所以，所以的取值范围是，故A错误；
对于B，由，可得，
又，
所以，令，
又，所以hx关于原点对称，
所以点1,f1为曲线y=fx的对称中心，故B正确；
对于C ，因为，，
所以，
所以，
设切点为，则切线的斜率，
化简得，
由条件可知该方程有三个实根，所以有三个实根，
记，所以，
令，解得或，
当，，所以在上单调递增，
当，，所以在上单调递减，
当，，所以在上单调递增，
当时取得极大值，当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，因为
，
所以，
当，在上单调递增；
当，由，解得或，
由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
因为存在极值点，所以，得，
令，所以，因为，于是，
又
，
所以
化简得：，
因为，所以，于是，.所以，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查切线方程及函数对称性，关键是利用导数求得函数的单调性结合对称性解决D.
12．##
【分析】直接根据指数、对数的运算性质计算即可．
【详解】．
故答案为：．
13．
【分析】解分式不等式可得，再结合x定义可得空一；分x∈0,1及，结合基本不等式计算可得空二.
【详解】由，即，解得，
又x表示不超过的最大整数，故；
当x∈0,1时，，则，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，的最大值为.
故答案为：；.
14．##
【分析】根据恒成立得出条件等式，即可构造函数，再借助导数研究其最小值即可得.
【详解】当时，，则，即，
当时，，则，即，
即有，即，
则，令，，
，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，即的最小值为.
故答案为：.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）分别计算出集合及集合后，结合集合交集定义与补集定义即可得；
（2）由可得，分与计算即可得解.
【详解】（1）若，则，
，
则，；
（2）由，则，
当时，即恒成立，即；
当时，即时，，
由，
则有或，分别解得，无解，故；
综上所述：.
16．(1)
(2)
【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的关系可求；
（2）利用乘1法，结合基本不等式可求．
【详解】（1）不等式的解集为，
和是方程的两个实数根，且，
，解得；
（2）（2）由（1）知，
于是有，，，
所以
当且仅当且，即等号成立，
故的最小值为
17．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后，分、、及进行讨论即可得；
（2）可将原问题转化为对任意的恒成立，构造函数，借助导数分及计算其最小值即可得.
【详解】（1），
当时，恒成立，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
则当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在、上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在、上单调递增，在上单调递减；
（2）由题意可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，，则，
当时，恒成立，
故在上单调递增，则，符合要求；
当时，令，解得，
即当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即，则有，
令，即，令，，
则，即在上单调递减，
即，即当时，恒成立，不符合要求；
综上所述，.
18．(1)
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解，
（2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；
（3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可；
【详解】（1）是定义域为上的奇函数，
，，，，
此时，
经检验，符合题意；
函数的定义域为，在上任取，，且，
函数在上单调递增，
（2）由（1）可知，且在上单调递增的奇函数，
由可得，
，即，
或，
不等式的解集为或；
（3），
．
令，，，
，
当时，当时，，则（舍去）；
当时，当时，，解得，符合要求，
综上可知或．
19．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）（i）求导后结合二次函数的性质与极值点定义计算即可得；（ii）结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得.
【详解】（1）当时，，，
，则，
则的图象在处的切线方程为，即；
（2）（i），
令，由恰有两个极值点，，
则有两个不同实数根，，且，
则有，即；
（ii）由（i）知，，且，，
则
，
则要证，即证，
即，
令，
，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，
又，，
故存在，使，即，
则当时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
由，则，
即，即，
即可得证：.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助零点的存在性定理得到存在，使，从而可得.