四川省绵阳市2023_2024学年高二数学上学期期末模拟试题七含解析

这是一份四川省绵阳市2023_2024学年高二数学上学期期末模拟试题七含解析，共20页。试卷主要包含了 过点且倾斜角为的直线方程为， 已知两点，，以及圆C， 下列叙述错误的是等内容，欢迎下载使用。
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
故选：D
2. 设曲线是双曲线，则“方程为”是“的渐近线方程为”的（）
A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据的方程为，则渐近线为；若渐近线方程为，则双曲线方程为（）即可得答案.
【详解】解：若的方程为，则，，渐近线方程为，
即为，充分性成立；
若渐近线方程为，则双曲线方程为（），
“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件.
故选：B.
【点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
3. 2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（）
A. 猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小.
B. 这7种食品价格同比涨幅的平均值超过
C. 去年11月鲜菜价格要比今年11月低
D. 猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
【答案】B
【解析】
【分析】根据统计图计算可得答案.
【详解】由图可知，粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小，故A不正确；
这7种食品价格同比涨幅的平均值为，故B正确；
因为鲜菜价格同比涨幅为，说明去年11月鲜菜价格要比今年11月高，故C不正确；
猪肉价格同比涨幅为，禽肉价格同比涨幅为，，故D不正确.
故选：B.
4. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设过点的直线与椭圆的两个交点为,利用点差法：把代入椭圆,然后作差,再结合中点坐标公式即可求出直线的斜率,代入直线的点斜式方程即可求解.
【详解】设过点的直线与椭圆的两个交点为,
由题意知,满足椭圆方程,
所以,两式相减可得,
,
因为线段的中点为,所以由中点坐标公式可得,
,即，
所以,即,
所以直线的斜率为,
由直线的点斜式方程可得，直线的方程为,
所以所求的直线方程为.
故选:C
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系;设两个交点坐标,利用点差法求出直线的斜率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
5. 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点、、、、，
，，则，所以，，
因为平面，平面，平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，直线到平面距离为.
故选：A.
6. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面叙述一定错误的是（）
A. 数据中可能有异常值B. 数据中众数可能和中位数相同
C. 数据中可能有极端大的值D. 这组数据是近似对称的
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数和平均数的定义作答即可.
【详解】一组数据中位数比平均数小很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值，即可能有异常值，故A选项不符合题意；
一组数据的中位数比平均数小很多，可能众数和中位数相同，故B选项不符合题意；
一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值，故C选项不符合题意；
若这组数据是近似对称的，不会出现数据的中位数比平均数小很多，故D选项符合题意.
故选：D.
7. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（）
A. B. C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
8. 已知两点，，以及圆C: ，若圆C上存在点P，满足，则r的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由知,即点在以为直径的圆上, 又点在圆C上,据此可得两圆必有公共点,根据圆心距和半径之间的关系,列不等式求解即可.
【详解】因为,所以,
即点在以为直径的圆上,
又因为点在圆C上,
所以点为两圆的公共点,即两圆必有公共点,
因为,，
设以为直径的圆的圆心为,
则圆的圆心为,半径为,
因为圆C的圆心为,半径为,
所以可得,,
解得,.
故选:B
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及向量垂直的数量积表示;考查运算求解能力和转化与化归能力;把存在性问题转化为判断两圆的位置关系问题是求解本题的关键;属于中档题.
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 下列叙述错误的是（）
A. 用抽签法从件产品中选取件进行质量检验是简单随机抽样
B. 若事件发生的概率为，则
C. 甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些
D. 对于任意两个事件和，都有
【答案】CD
【解析】
【分析】利用简单随机抽样的定义、概率的性质、结合抽签法的性质与并事件的概率性质，逐一分析判断即可得解.
【详解】对于A，用抽签法从件产品中选取件进行质量检验，满足简单随机抽样的定义，故A正确；
对于B，根据概率的定义可得，若事件发生的概率为，则，故B正确；
对于C，甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，故C错误；
对于D，对于任意两个事件和，，
只有当事件和是互斥事件时，才有，故D错误.
故选：CD.
10. 已知动直线与圆，则下列说法正确的是（）
A. 直线过定点
B. 圆的圆心坐标为
C. 直线与圆的相交弦的最小值为
D. 直线与圆的相交弦的最大值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.
【详解】对于A，直线，即，
令，得，即直线过定点，故A正确；
对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；
对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，
当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，
又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；
对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确.
故选：ACD
11. 给出下列命题，其中正确的是（）
A. 若空间向量，，且，则实数
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
D. 点关于平面对称的点的坐标是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用空间向量的对称特征可判定D，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C.
【详解】对于A，可知，即A正确；
对于B，显然时，恒成立，此时不唯一或者不存在，故B错误；
对于C，向量在向量上的投影向量，故C正确；
对于D，易知点关于平面对称的点的坐标是，故D错误.
故选：AC
12. 已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为坐标原点．则（）
A. 抛物线的方程为B. 直线一定过抛物线的焦点
C. 线段长的最小值为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线的方程，可判定A正确；设，得出和的方程，联立方程组，结合，得到是方程的两个不等式的实数根，再由韦达定理和，可判定D正确；由，得出直线，结合直线的点斜式的形式，可判定B不正确，再由圆锥曲线的弦长公式，结合二次函数的性质，可判定C正确.
【详解】由抛物线，可得焦点坐标，准线方程为，
因为抛物线上存在一点到其焦点的距离为，
由抛物线的定义可得，可得，
所以抛物线的方程为，所以A正确；
设，显然直线的斜率存在且不为0，设斜率为，
可得的方程为，
联立方程组，整理得，
因为是抛物线的切线，所以，即，
且点的纵坐标为，代入抛物线方程，可得横坐标为，即，
设直线的斜率存在且不为0，设斜率为，
同理可得：，且，
所以是方程的两个不等式的实数根，所以，
因为，
所以，所以D正确；
由，且，可得，
则直线的方程为，即，
又由，可得，
所以，即，
所以直线一定过定点，该点不是抛物线的焦点，所以B不正确.
由直线的斜率不为0，设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，所以，
则
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，所以C正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线有关问题的方法与策略：
1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，，则__________．
【答案】0.6##
【解析】
【分析】根据概率公式求解.
【详解】,
故答案为: .
14. 以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】由相切关系得圆的半径，得圆的标准方程.
【详解】圆心到切线的距离，所以圆的半径，
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
15. 直线：与直线：相交，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】假设两线平行求参数m，进而可得与有交点时对应的m的范围.
【详解】若与平行，则，可得，
所以要使与有交点，则.
故答案为：
16. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为____________．
【答案】6
【解析】
【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.
【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.
【点睛】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由边上的高所在直线的斜率可求直线的斜率，已知点，由点斜式方程可得直线方程，又点也在边的中线上，联立方程组求解交点的坐标即可；
（2）设点，则中点在已知中线上，又点在已知边的高线上，则联立方程组可得，再由两点式可得直线的方程.
【小问1详解】
因为边上的高所在直线方程为，
设线的斜率为，则，解得，
又因为直线过点，
则直线的方程为,，
又边上的中线所在直线方程为，且该直线过点，
所以联立，
解得的坐标为．
【小问2详解】
设，因为边上的中线所在直线方程为，
所以的中点在直线上，
且边上的高所在直线过顶点，
所以，解得，即的坐标为．
由（1）知，由两点式方程得，
化简得.
即直线的方程为．
18. 某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）由频率直方图求样本中分数的分位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图数据求解；（2）由频率分布直方图数据求解；（3）由总样本的均值与方差的公式计算求解即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得分数分位数位于并设为,
则有,解得.
故频率分布直方图可得分数分位数为：.
【小问2详解】
由频率分布直方图知，分数在的频率为,
在样本中分数在的人数为人，
在样本中分数在的人数为95人，所以估计总体中分数在的人数为人，
所以总体中分数小于的人数为.
【小问3详解】
总样本的均值为,
所以总样本的方差为.
故总样本的方差为.
19. 已知圆，点为直线上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B.
（1）若P的坐标为，求切线方程；
（2）求四边形PAMB面积的最小值.
【答案】和;
【解析】
【分析】
由题意知切线的斜率存在,设切线方程为,由圆心到直线的距离等于半径求出斜率,代入切线方程即可;
设四边形PAMB面积为,结合题意知,,求出切线长的最小值即可,结合勾股定理知,,即求线段的最小值,由点为,点为直线上一动点知,当线段与直线垂直时,取最小值,利用点到直线的距离公式求出的最小值即可.
【详解】由题意知切线的斜率存在,设切线方程为,
由点到直线的距离公式可得,点到直线的距离为
,解得或,
所以所求的切线方程为和;
设四边形PAMB面积为,因为为圆的切线,
所以,即,
因,所以,
即当取最小值时四边形PAMB面积取得最小值,
因为,
所以当取最小值时取最小值,
因为点为,点为直线上一动点,
所以当线段与直线垂直时,取最小值,
由点到直线的距离公式可得,
最小值为,
此时取最小值为,
所以四边形PAMB面积的最小值为.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及圆的切线方程和切线长最值的求解;考查运算求解能力和转化与化归能力;把求四边形PAMB面积的最小值转化为求切线长的最小值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
20. 独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要．它的概念最早可以追湖到17世纪的布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马，当时被定义为彼此不相关的事件．19世纪初期，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式．对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．
（1）若事件与事件相互独立，证明：与相互独立；
（2）甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据事件之间的关系得，再根据独立事件的概率乘法公式即可证明结论；
（2）设分别表示在两轮活动中答对1道题，答对2道题的事件，分别表示乙在两轮活动中答对1道题，答对2道题的事件，分别确定，根据事件，利用互斥事件、独立事件的概率公式求解即可.
【小问1详解】
证明：已知事件与事件相互独立，则
因为，且事件与事件互斥
所以
所以
由事件的独立性定义，与相互独立；
【小问2详解】
设分别表示甲在两轮活动中答对1道题，答对2道题的事件
分别表示乙在两轮活动中答对1道题，答对2道题的事件
根据独立性假定，得
设“甲乙两人在两轮活动中答对3道题”，则
且与互斥，与，与分别相互独立
所以
所以甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率时.
21. 已知四棱锥（如图），四边形ABCD为正方形，面面ABCD，，M为AD中点.
（1）求证：；
（2）求直线PC与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）运用面面垂直性质定理证得面ABCD，以O为原点建立空间直角坐标系，运用空间向量坐标法证明线线垂直.
（2）运用空间向量坐标法求线面角的正弦值，再运用同角三角函数的平方关系可得其余弦值.
【小问1详解】
证明：取AB中点O，连接OP，并过点O作BC的平行线OE，交CD于E，则，
∵，∴为等边三角形，又∵O为AB中点，∴，
又∵面面ABCD，面面，面，
∴面ABCD，∴，
以O为原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
因为.
则，，，，
，，
所以，
所以.
【小问2详解】
，，
设平面PBM的一个法向量为，则有
，即，
令，则，，所以，
设直线PC与平面PBM所成角为，则
，
因为，所以，
所以直线PC平面PBM所成角的余弦值为.
22. 已知双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且过点.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线C的方程，再将点的坐标代入求解作答.
（2）当直线斜率存在时，设出其方程并与双曲线C的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.
【小问1详解】
依题意，设双曲线C的方程为，而点在双曲线C上，
于是，双曲线C的方程为，即，
所以双曲线C的标准方程为.
【小问2详解】
当直线斜率存在时，设直线的方程为：，设，
由消去y并整理得，
有，且，即且，
有，又，
，由，得，
整理得，
于是，化简得，
即，解得或，均满足条件，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，直线过定点；
当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：，
由解得或，因此点的横坐标有，即直线过定点，
综上得直线过定点，
由于，即点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，
所以存在定点，使为定值.