中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题11反比例函数及其应用(10个高频考点)(原卷版+解析)

这是一份中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题11反比例函数及其应用(10个高频考点)(原卷版+解析)，共62页。
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc25828" 【考点1 反比例函数的定义】 PAGEREF _Tc25828 \h 1
\l "_Tc31524" 【考点2 反比例函数的图象】 PAGEREF _Tc31524 \h 2
\l "_Tc1224" 【考点3 反比例函数图象的对称性】 PAGEREF _Tc1224 \h 4
\l "_Tc6758" 【考点4 反比例函数的性质】 PAGEREF _Tc6758 \h 4
\l "_Tc15071" 【考点5 反比例函数系数k的几何意义】 PAGEREF _Tc15071 \h 5
\l "_Tc2730" 【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc2730 \h 7
\l "_Tc18456" 【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】 PAGEREF _Tc18456 \h 8
\l "_Tc2062" 【考点8 反比例函数与一次函数的综合】 PAGEREF _Tc2062 \h 9
\l "_Tc9052" 【考点9 实际问题与反比例函数】 PAGEREF _Tc9052 \h 10
\l "_Tc13330" 【考点10 反比例函数与几何综合】 PAGEREF _Tc13330 \h 13
【要点1 反比例函数的定义】
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数
【要点2 反比例函数的解析式】
1、； 2、； 3、
【考点1 反比例函数的定义】
【例1】（2022·浙江·校考三模）图像经过点(1，2)的反比例函数是（ ）
A．y=−2xB．y=2xC．y=12xD．y＝2x
【变式1-1】（2022·辽宁抚顺·统考二模）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=−x2B．y=1x2C．y=13xD．y=−12x
【变式1-2】（2022·北京石景山·统考一模）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
【变式1-3】（2022·广西钦州·校考一模）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
【要点3 反比例函数的图象与性质】
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【考点2 反比例函数的图象】
【例2】（2022·四川成都·统考中考真题）若反比例函数y＝m−2x的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 _____．
【变式2-1】（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
B．
C．D．
【变式2-2】（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝8x（x＞0）的图象上．
(1)求m的值和点D的坐标；
(2)求DF所在直线的表达式；
(3)若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．
【变式2-3】（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，反比例函数y=kx(k>0)在第一象限的图象上有A(1,6)，B(3,b)两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD⋅BC=AB⋅DO，连接CD，记△ADC,△DOC的面积分别为S1,S2，则S1−S2的值为___________．
【要点4 反比例函数图象的对称性】
（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线和直线
【考点3 反比例函数图象的对称性】
【例3】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2x的图像交于A(1,m)、B两点，当k1x≤k2x时，x的取值范围是（ ）
A．−1≤x0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=32，则k=______．
【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】
【例6】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知反比例函数y=kxk≠0的图像经过点−2,4，那么该反比例函数图像也一定经过点（ ）
A．4,2B．1,8C．−1,8D．−1,−8
【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点A2,3向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数y=kx的图像上，则k的值是______．
【变式6-2】（2022·广东深圳·统考中考真题）如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕点O点旋转至△A′B′O的位置，且A′在OB的中点，B′在反比例函数y=kx上，则k的值为________________．
【变式6-3】（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A，B分别在函数y=k1x（x>0）和y=k2x（x>0）的图象上，且点A的坐标为(1,4)．
(1)求k1，k2的值：
(2)若点C，D分在函数y=k1x（x>0）和y=k2x（x>0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】
【例7】（2022·山东威海·统考中考真题）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____．
【变式7-1】（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y=mx相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞mx的解集．
【变式7-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，正比例函数y=4x与反比例函数y=kxx>0的图象交于点Aa,4，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C2,0．
(1)求反比例函数解析式；
(2)点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
【变式7-3】（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1=k1x+b与坐标轴分别交于A5,0，B0,52两点，且与反比例函数y2=k2x的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为54．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当y2>y1时，求x的取值范围；
(3)若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
【考点8 反比例函数与一次函数的综合】
【例8】（2022·西藏·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y=bax（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2022·四川巴中·统考中考真题）将双曲线y=1x向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线y=ki(x−2)−1 ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之和为________．
【变式8-2】（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标．
【变式8-3】（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y=8x(x>0)的图像交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
【考点9 实际问题与反比例函数】
【例9】（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【变式9-1】（2022·辽宁大连·统考中考真题）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3．
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．
【变式9-2】（2022·广东广州·统考中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【变式9-3】（2022·山东临沂·统考中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0OC．
请解答下列问题：
(1)求点B，C的坐标；
(2)若反比例函数y=kxk≠0图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
(3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2:3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由． 函数
图象
所在象限
增减性
三象限
在同一象限内，随的增大而减小
四象限
在同一象限内，随的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
xkg
……
0.25
0.5
1
2
4
……
ycm
……
……
专题11 反比例函数及其应用（10个高频考点）（举一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc25828" 【考点1 反比例函数的定义】 PAGEREF _Tc25828 \h 1
\l "_Tc31524" 【考点2 反比例函数的图象】 PAGEREF _Tc31524 \h 3
\l "_Tc1224" 【考点3 反比例函数图象的对称性】 PAGEREF _Tc1224 \h 9
\l "_Tc6758" 【考点4 反比例函数的性质】 PAGEREF _Tc6758 \h 12
\l "_Tc15071" 【考点5 反比例函数系数k的几何意义】 PAGEREF _Tc15071 \h 14
\l "_Tc2730" 【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc2730 \h 18
\l "_Tc18456" 【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】 PAGEREF _Tc18456 \h 22
\l "_Tc2062" 【考点8 反比例函数与一次函数的综合】 PAGEREF _Tc2062 \h 29
\l "_Tc9052" 【考点9 实际问题与反比例函数】 PAGEREF _Tc9052 \h 36
\l "_Tc13330" 【考点10 反比例函数与几何综合】 PAGEREF _Tc13330 \h 42
【要点1 反比例函数的定义】
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数
【要点2 反比例函数的解析式】
1、； 2、； 3、
【考点1 反比例函数的定义】
【例1】（2022·浙江·校考三模）图像经过点(1，2)的反比例函数是（ ）
A．y=−2xB．y=2xC．y=12xD．y＝2x
【答案】B
【分析】将x=1代入到A、B、C函数关系式中求出y值即可找出答案，D中y=2x是正比例函数，不用考虑．
【详解】解：观察四个选项，A、B、C是反比函数，D是正比例函数，
将x=1代入到A、B、C函数关系式中，只有B选项中y=2，
故正确答案为：B．
【点睛】本题考查反比例函数上的点，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键．
【变式1-1】（2022·辽宁抚顺·统考二模）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=−x2B．y=1x2C．y=13xD．y=−12x
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义即形如y=kx（k是常数，且k≠0）的函数，对各选项进行判断即可．
【详解】A选项中函数是正比例函数，故不符合题意；
B选项中函数不是反比例函数，故不符合题意；
C选项中函数是正比例函数，故不符合题意；
D选项中函数符合反比例函数的定义，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义．解题的关键在于对反比例定义与形式的熟练掌握与灵活运用．
【变式1-2】（2022·北京石景山·统考一模）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【详解】A. 圆的周长与其半径是正比例关系，不符合题意，
B. 平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高成反比例关系，符合题意，
C. 销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，不符合题意，
D. 汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间成正比例关系，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查成反比例函数关系的量，关键就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
【变式1-3】（2022·广西钦州·校考一模）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有：v•t＝s，
∴t=sv，
故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图像在第一象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
【要点3 反比例函数的图象与性质】
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【考点2 反比例函数的图象】
【例2】（2022·四川成都·统考中考真题）若反比例函数y＝m−2x的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 _____．
【答案】m＜2
【分析】由反比例函数图像经过第二、四象限，得出m﹣2＜0，求出m范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝m−2x的图像经过第二、四象限，
∴m﹣2＜0，
得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于m的不等式，是解题的关键．
【变式2-1】（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
B．
C．D．
【答案】D
【分析】先证明CD=AD=y，过D点做DE⊥AC于点E，证明△ABC∽△AED，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，
∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠CAD，
∴∠ACD=∠CAD，则CD=AD=y，即△ACD为等腰三角形，
过D点做DE⊥AC于点E．
则DE垂直平分AC，AE=CE=12AC=3，∠AED=90°，
∵∠BAC=∠CAD，∠B=∠AED=90°，
∴△ABC∽△AED，
∴ACAD=ABAE，
∴6y=x3，
∴y=18x，
∵在△ABC中，AB