2024-2025学年广东省汕头市潮阳区九年级上学期开学考试数学试题（附答案）

这是一份2024-2025学年广东省汕头市潮阳区九年级上学期开学考试数学试题（附答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列各式中，是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）下列函数中，是一次函数有（）
A．B．C．D．
4．（3分）下列选项中计算正确的是（）
A．B．C．D．
5．（3分）某企业参加"科技创新企业百强"评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5∶3∶2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（）
A．8分B．8.1分C．8.2分D．8.3分
6．（3分）如图，矩形的顶点分别在轴、轴正半轴上，点坐标为，与交于点分别是线段的中点，则四边形的周长为（）
A．8B．7C．6D．5
7．（3分）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形的面积为（）
A．140B．C．D．24
8．（3分）对于一次函数，下列结论错误的是（）
A．函数图象与轴的交点坐标是
B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数图象不经过第三象限
D．函数图象向下平移4个单位长度得的图象
9．（3分）如图，在平行四边形中，点为的中点，点为上任意一点，把沿直线翻折，点的对应点落在对角线上，则与一定相等的角（不含）有（）个．
A．2B．3C．4D．5
10．（3分）如图，在平行四边形中，于点交于点，若，则的大小是（）
A．62°B．64°C．66°D．68°
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）一组数据84，84，88，89，89，95，95，95，98，则这组数据的众数是______．
12．（3分）若式子有意义，则的取值范围是______．
13．（3分）直线与轴的交点坐标为______．
14．（3分）如图，矩形的对角线相交于点，点是线段上一点，连接．若，则______．
15．（3分）当时，一次函数的最大值为18，则______．
16．（3分）如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点，过点作，垂足为点，交边于点．若，则线段的长为______．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，四边形是平行四边形，点是边延长线上一点，，连接．求证：．
19．（6分）小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米．
（1）求风筝到地面的距离线段的长；
（2）如果小龙想要风筝沿方向再上升4米，和的长度不变，则他应该再放出______米线．
20．（6分）为弘扬中华优秀传统文化，学校从八、九年级各抽取10名学生开展优秀传统文化知识竞赛（为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分），成绩如表格所示（单位：分），经计算，八、九年级学生的平均成绩都是8分．
（1）表格中a的值为______；
（2）八年级学生成绩的中位数为______分；
（3）唐老师先正确计算出了九年级学生成绩的方差为1分，请帮唐老师计算八年级学生成绩的方差，并判断八、九两个年级哪个年级学生的成绩更稳定？
21．（8分）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点为直线上的两个动点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
22．（10分）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售，如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
23．（10分）如图，分别以为边长作正方形．
（1）若，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，求图2中的长；
（3）已知且满足．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积．
24．（12分）综合与实践
【问题情境】
数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠．
【特例探究】
（1）如图1，使点与点重合，点的对应点记为，折痕与边分别交于点．四边形的形状为______，请说明理由；
（2）如图2，若点F为BC的中点，，延长交AB于点P．试证明：；
【深入探究】
（3）如图3，若，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值．
25．（12分）在平面直角坐标系中，对于两点，若在轴上存在点，使得，且，则称两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知点的坐标是．
（1）如图①，在点中，点的等垂点是______（选填“”，“”或“”）
（2）如图②，若一次函数的图象上存在点的等垂点，求点的坐标；
（3）若一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式：______．
八年级数学答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．D2．A3．C4．A5．B6．D7．D8．A9．C10．B
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．95 12． 13． 14．6 15．21 16．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解：．
18．（4分）证明：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，．
19．（6分）解：（1）在中，，
，
．
；
答：风筝到地面的距离线段的长为6.5米；
（2）2．
20．（6分）解：（1）9；
（2）8；
（3）八年级学生成绩的方差为
，
∵九年级学生成绩的方差为1分，
∴九年级学生的成绩更稳定．
21．（8分）
（1）证明：四边形是平行四边形，，
，
，
在和中，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，，
，
为直角三角形，，
平行四边形DEBF为矩形，．
22．（10分）
解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据愿意，得．
解得，
答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元：
（2）设再次购进甲种头盔只，总费用为元，根据题意，得，解得，
，
随着增大而增大．
当时，取得最小值为（元）．
答：购买14只甲种头盔时，总费用最小为1976元．
23．（10分）
解：（1），
两个正方形的面积之和为3；
（2），
，
同理：，
，
；
（3）根据䦽意，得，
，
①，②，
①+②得，，
整理得，
又得，
．
24．（12分）
解：（1）菱形．
理由如下：
四边形是矩形，，
由折叠的性质得：，
，
四边形是平行四边形，
又平行四边形为菱形；
（2）证明：如图2，连接PF，
为的中点，，
四边形是矩形，，
由折叠的性质得：，
，
在和中，，．
；
（3）或．
25．（12分）解：（1）D；
（2）①当在轴上方时，过作轴于，如图1：
是的等垂点，，
，
设．则．
将代入得：，解得，
；
②当在轴下方时，过作轴于．如图2：
同①可证明，
设，则，
将代入得：，解得，
；
综上所述，点的坐标为或；
（3）或．
24．（3）详解如下：分两种情况：
①如图3，若点为的三等分点，且，
，
四边形是矩形，，
过点作于，则四边形为矩形，
，
．
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，
在中．由勾股定理得：．
；
②如图4，若点为的三等分点，且．则，
过点作于，则，
同理可得：．
在中，，
由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得：，
综上所述，的值为或．
25．（3）详解如下：
当一次函数为时，设直线上任意一点，连㧡，作的垂直平分线交轴于，交于，过作轴于轴于，如图3：
是线段的垂直平分线，，
，
轴于轴于，
而，
，
与都是等腰直角三角形，．
根据等垂点定义，是的等垂点，即直线上任意一点都是的等垂点，
一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，
同理可证一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，
故或．学生编号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
八年级
7
8
9
8
10
6
8
a
8
7
九年级
9
7
8
10
8
7
7
7
8
9