上海市桃浦中学2025届高三上学期阶段性评估（9月） 数学试卷（含解析）

这是一份上海市桃浦中学2025届高三上学期阶段性评估（9月） 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．设集合，，则 ．
2．不等式的解集是 ．
3．数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是 ．
4．函数的最大值等于 .
5．函数的最小正周期为 ．
6．若复数满足（为虚数单位），则 .
7．直线，，则直线与的夹角为 ．
8．的二项展开式中的常数项是 (用数值作答)．
9．圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于 ．
10．从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有 种.（结果用数值表示）
11．在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为 .
12．设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．已知：，：若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
14．某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人.
A．16B．18C．20D．24
15．已知，且，则的值为
A．B．C．D．
16．已知集合，若对于任意实数对 ，存在 ，使得 成立，则称集合 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A．①②④B．②③C．③④D．①③④
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17．设集合，.
(1)若，试判断集合与的关系；
(2)若，求实数的取值集合.
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，
PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，
AD=2，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.
19．在ΔABC中，角，，所对的边长分别为，，，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求ΔABC面积的最大值.
20．已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；
(3)过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；
（2）如果当时，的值域是，求与的值；
（3）对任意的，，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
1．
【分析】解不等式求得集合，从而求得
【详解】由，解得，所以.
由，解得，所以.
所以.
故答案为：
2．
【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案.
【详解】，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
3．
【分析】观察数列得到公差，再由等差基本量法求通项即可；
【详解】观察数列的前四项，后一项比前一项多4，
所以公差为4，
又首项为1，代入等差数列的通项公式可得
，
所以数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是，
故答案为：.
4．
【详解】试题分析：∵函数，∴函数在上是增函数，故当时，函数取得最大值为，故答案为．
考点：二次函数在闭区间上的最值.
5．
【分析】化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期.
【详解】因为，因此，该函数的最小正周期为.
故答案为：.
6．
【分析】计算出再计算模长即可.
【详解】.故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了复数的运算以及模长运算,属于基础题型.
7．
【详解】中 ，而平行y轴，所以直线与的夹角为
8．3003
【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可求解.
【详解】因为展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中的常数项为.
故答案为：
9．##
【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为，则，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
故答案为：
10．96
【分析】若甲不参与测温，可先在其他４人中先选取一人进行测温工作，再从４人中选取３人参与其他工作.
【详解】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种.
故答案为：96
11．
【分析】根据在方向上的数量投影先求出,取,则,即求的最小值,过点作的垂线即可求得.
【详解】解:由题知在方向上的数量投影是-2,
,
,
,即,
记,
则,
若求的最小值即求的最小值,
过点作的垂线交于点,此时最小,
如图所示:
,
故答案为:
12．
【分析】根据题意，利用韦达定理，求得，和的关系，以及的范围，将目标式转化为关于的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.
【详解】根据题意，令，解得或，不妨设
作图如下：
又直线的斜率为，数形结合可知，要满足题意，；
且为方程，即的两根，
当时，，则，
故；
为方程，即的两根，
当时，，则，
故；
则，
令，由对勾函数单调性可知在上单调递减，
又，故，即的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程；处理问题的关键是能够数形结合求得，和的关系，从而借助函数单调性求值域，属综合中档题.
13．B
【分析】将条件中的不等式化简，得0＜x＜2，结合是的必要非充分条件，得⫋{x|}，由此即可得出实数a的取值范围.
【详解】由得0＜x＜2，
由不能推出0＜x＜2，由0＜x＜2能推出，故.
故选：
14．A
【分析】由已知可求得抽样比为，再求出高三的学生数，即可求出结果.
【详解】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.
所以，该高中共有学生数为，解得.
用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，
所以，高三年级应该抽取人.
故选：A.
15．C
【详解】试题分析：根据题意，由于，且有，说明，那么可知，因此结合二倍角公式可知，故选C.
考点：二倍角公式
点评：解决的关键是对于半角公式和的运用，属于基础题．
16．B
【分析】根据“垂直对点集”的定义、平面向量数量积的坐标表示及函数的基本性质与图象一一判定选项即可.
【详解】对于①，若，，易知，，
且同号或异号，显然不成立，即①不符合题意；
不妨设Ax1,y1，Bx2,y2，则，
对于②，如图所示，显然对于上任意一点A，在上总存在点B，
满足，即②符合题意；
对于③，如图所示，显然对于上任意一点A，在上总存在点B，
满足，即③符合题意；
对于④，注意到对于上点，此时与垂直的过原点的直线为轴，
轴与无交点，即上不存在点B，满足，即④不符合题意.
故选：B
17．(1)
(2)
【分析】（1）直接代值计算判断即可；
（2）得到，依次计算即可.
【详解】（1）当时，，
因为，
所以.
（2）因为集合至多有一个元素，由，所以
当时，；
当时，所以；
当时，所以.
所以.
18．（1）；（2）.
【详解】（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，
从而CD⊥PD.
因为PD=，CD=2，所以三角形PCD的面积为.
（2）
取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，
从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角 ,
在中，由EF=、AF=、AE=2，
则是等腰直角三角形，所以∠AEF=.
因此异面直线BC与AE所成的角的大小是
19．（1）（2）
【分析】（1）利用数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性即可得出；
（2）利用余弦定理和基本不等式即可得出ac≤4，再利用三角形的面积计算公式即可得出．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴，，
又0＜B＜π，∴，
∴，
∴．
（2）∵b＝2，b2＝a2+c2﹣2ac•csB，
∴，即4＝a2+c2﹣ac，
∴4＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，即ac≤4，当且仅当a＝c＝2时等号成立．
∴，
当a＝b＝c＝2时，．
【点睛】熟练掌握数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性、余弦定理和基本不等式、三角形的面积计算公式是解题的关键．
20．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）观察可知，都在椭圆上，即满足椭圆方程，若在椭圆上，代入方程，联立解得，舍去；因此三点在椭圆上，即可解出椭圆的方程；
（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.当过点的直线与平行，且与椭圆相切时，取得最大或最小值，联立方程即可求得；
（3）写出直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，根据韦达定理求出的中点坐标以及线段的垂直平分线的方程，代入，即可求得的值.根据基本不等式，可求出实数m的取值范围.
【详解】（1）因为，关于轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有成立.
若在椭圆上，则有.
联立可得，，不合题意，舍去.
所以，在椭圆上，即有，所以，代入，可得.
所以，椭圆C的方程为.
（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.
由，，可得直线方程为.
过点作直线，使得，则到直线的距离即等于直线到直线的距离.
显然，当直线与椭圆相切时，距离为最大或最小.
则设直线方程为，联立直线与椭圆的方程
可得，.
因为，直线与椭圆相切，则，
解得，.
则当时，此时直线方程为，与直线距离最大，此时.
又，
所以面积的最大值为.
（3）设，，假设在x轴上存在一点，使得、为邻边的平行四边形为菱形.
因为直线过点，则直线的方程为，
联立直线的方程与椭圆的方程可得，，
恒成立，
且，，，，
所以，
则的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，
显然该直线过点.
令，则，即.
因为，所以，
当且仅当时，即时，等号成立.
所以，，所以，则，
所以.即实数m的取值范围为.
21．（1）（﹣1，1），f（x）是奇函数；（2），t=﹣1；（3）存在，.
【分析】（1）直接由真数大于0，解分式不等式可得函数的定义域，利用定义判断函数的奇偶性；
（2）给出的函数是对数型的复合函数，经分析可知内层分式函数为减函数，外层对数函数也为减函数，要保证当时，的值域是，首先应有，，，且当时，，结合内层函数图象及单调性可得，且，从而求出和的值；
（3）假设存在，使得，代入对数式后把用，表示，只要能够证明在定义域内即可，证明可用作差法或分析法．
【详解】解：（1）要使原函数有意义，则，解得，
所以，函数的定义域
是定义域内的奇函数．
证明：对任意，有
所以函数是奇函数．
（2）由知，函数在上单调递减，
因为，所以在上是增函数
又因为时，的值域是，所以，，
且在的值域是，
故且
由得：，解得或（舍去）．
所以，
（3）假设存在使得
即
则，
解得，
下面证明．
证明：由．
，，，，
，即，．
所以存在，使得．
【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的单调性，考查了复合函数的值域，体现了数学转化思想方法，训练了存在性问题的证明方法，该题综合考查了函数的有关性质，属于难题．