精品解析：江西省南昌市2024-2025学年高三上学期开学摸底测试数学试题

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一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知椭圆的右焦点为，则上满足的点有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 展开式中项的系数是（ ）
A. B. 40C. D. 80
4. 已知集合，若为单元素集合时，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
5. 算术基本定理也称素因数分解定理，它是这样描述的：任何一个大于1的自然数，可以唯一分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式是唯一的.记（其中是素数，，是正整数），这样的分解称为自然数的标准素数分解式，则60的标准素数分解式是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正四棱锥所有的棱长均为2，该正四棱锥的内接正四棱柱的下底面在正四棱锥的底面上，且上底面的四个顶点分别在正四棱锥的四条侧棱上，则该正四棱柱体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点分别是fx,gx图象的一个对称中心，若，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知平面向量满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
二､多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知虚数是方程的两个不同的根，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C D.
10. 四叶草又称“幸运草”，有一种说法是：第一片叶子代表希望､第二片叶子表示信心､第三片叶子表示爱情､第四片叶子表示幸运.在平面直角坐标系中，“四叶草形”曲线的方程为，则下列关于曲线的描述正确的有（ ）
A. 其图象是中心对称图形
B 其图象只有2条对称轴
C 其图象绕坐标原点旋转可以重合
D. 其图象上任意两点的距离的最大值为
11. 是正四棱锥高，是线段上一点（不含端点），过点任作一个平面，平面与该四棱锥表面交线所围成的封闭图形记为，下列4个命题中，正确的是（ ）
A. 可以是三､四､五边形
B. 当平面时，存在一点，使得正五边形
C. 当与平面相交时，平面与平面和平面的交线分别为，则三条直线相交于一点
D. “平面”是“平面平面”的充分不必要条件
三､填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知奇函数的定义域为，则实数__________.
13. 庆“七一”，教育局组织党史知识竞赛，经过激烈角逐，最后甲乙两队争夺冠军.实行“三局两胜”制（无平局）.若甲队在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为__________.
14. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.
15. 如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，.
（1）求的值；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
16. 某校举行知识竞赛，每个班各派5名同学参赛，若某班5名同学失分（均为整数）都不超过5分，则该班级为“优秀班级”.
（1）若A班5名同学失分分别为，从这5个失分中随机抽两个分数记这两个分数差的绝对值为随机变量，求随机变量的分布列和期望.
（2）若B班中5名同学失分的平均数为2，方差为2，问B班是否为优秀班级？说明理由.
17. 已知函数.
（1）当时，曲线上点处的切线过坐标原点，求该切线方程和点的坐标；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
18. 已知双曲线的焦距为4，过右焦点且垂直轴的直线交曲线的右支于两点（在轴上方），，过右焦点的动直线交的左支于点，交的右支于点，直线和的交点为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明点在定直线上，并求出该定直线的方程.
19. 已知等比数列的前项和为.
（1）求；
（2）设数列的前项和为，且当时，或的所有可能的值按从小到大排列组成新的数列.
（i）当时，求的所有项；
（ii）对于任意给定的正整数，求的所有项的和.