四川省仁寿第一中学校北校区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省仁寿第一中学校北校区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在复平面内,复数所表示的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．某花农连续8天采摘的栀子花重量7.2,7.4,8.7,8.1,8.9,8.4,8.6,8.9（单位:斤）,则这组数据的第75百分位数为( )
A.8.9B.8.8C.8.7D.8.6
3．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,,,则c为( )
A.1B.2C.3D.1或2
4．将半径为2,圆心角为的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
5．将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）,再将图象向左平移后得函数的图象,则函数的解析式为( )
A.B.
C.D.
6．在正六边形ABCDEF中，，则( )
A.B.C.D.1
7．在中,,点P满足,且,则( )
A.B.C.D.
8．如图，在正方体中，E，F，M，N分别为棱AB，AD，，的中点，过E，F，M，N四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是( )
A.该截面是六边形B.平面
C.平面平面D.该截面过棱的一个三等分点
二、多项选择题
9．若平面向量,满足,则( )
A.B.向量与的夹角为
C.D.在上的投影向量为
10．为普及居民的消防安全知识,某社区开展了消防安全专题讲座.为了解讲座效果,随机抽取14位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷,这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示,下列说法正确的是( )
A.讲座前问卷答题得分的中位数小于70
B.讲座后问卷答题得分的众数为90
C.讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差
D.讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差
11．圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则( )
A.圆台的表面积为B.圆台的体积为
C.圆台外接球表面积为D.圆台能装下最大球的体积为
三、填空题
12．若,则________.
13．从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图的频率分布直方图,则估计这50名学生成绩的平均分数为________分.
14．已知边长为2的菱形ABCD中,,E是边AD所在直线上的一点,则的取值范围为________.
四、解答题
15．已知平面向量,,.
（1）若,求实数t的值;
（2）若与的夹角为,求实数t的值.
16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创建者,某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩（满分100分,成绩均不低于40分）分成六段:,,…,,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值,并求样本成绩的第75百分位数;
（2）现从以上各段中采用样本量比例分配的分层随机抽样再抽取20份答卷作为“典型答卷”进一步统计研究,若落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是82和8,落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是96和1,据此估计这100份答卷中落在的所有答卷的成绩的方差.
17．已知函数的一部分图象如图所示,如果,,.
（1）求函数的解析式;
（2）当时,求函数的取值范围.
18．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求角C的大小;
（2）若点D在AB上,CD平分,,,求CD的长;
（3）若该三角形为锐角三角形,且面积为,求a的取值范围.
19．如图,正方体的棱长为1,E,F分别为,的中点.
（1）证明:平面ABCD.
（2）求异面直线EF与所成角的大小.
（3）求直线BD与平面所成角的正切值.
参考答案
1．答案：C
解析：,故所表示的点位于第三象限.
2．答案：B
解析：将数据从小到大排列为:,
,故第75百分位数为,
故选:B
3．答案：B
解析:根据余弦定理,,
得,解得或（舍）.
故选:B
4．答案：A
解析：设圆锥底面圆半径为,依题意,,解得,圆锥的高,
所以圆锥的体积.
故选:A
5．答案：D
解析：将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）,
得到的图象,
再将图象向左平移后得函数的图象,即,
故选:D
6．答案：C
解析：，所以，
所以，，所以，
故选：C.
7．答案：A
解析：因为,,易知为等腰直角三角形且,
取BC中点为D,则,又点P满足,则点P在直线BC上,
所以,
由,则,结合图知,所以.
故选:A
8．答案：D
解析：过E，F，M，N四点，确定截面的一条边，延长交于一点，连接该点与点N即可得到与棱的交点P，利用公理3确定交线，，同样的方法找出其它交线，即可得到截面如图所示：
该截面是六边形，P，Q分别是，的中点，故A正确，D选项错误；
在正方形中，，平面，平面，，
，平面，平面，所以平面，平面，所以，
同理可得，，平面，平面，所以平面；
因为，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
，平面，平面，
所以平面平面，C选择正确；
因为平面，平面平面，所以平面，B选项正确.
故选：D.
9．答案：AD
解析：对于A:,则,故A正确;
对于C:,故C错误;
对于B:,则向量与的夹角为,故B错误;
对于D:在上的投影向量为,故D正确;
故选:AD
10．答案：ACD
解析：对于A:由图可知,讲座前问卷答题得分的中位数大约为,故A正确;
对于B:由图可知,讲座后问卷答题得分的众数为95,故B错误;
对于C:讲座前问卷答题得分比讲座后的较分散,即讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差,故C正确;
对于D:讲座前问卷答题得分的极差大约为,讲座后问卷答题得分的极差大约20,故D正确;
故选:ACD
11．答案：BC
解析：A选项，圆台的上底面面积为，下底面面积为，
由题意得，，，过点D作于点F，
则，由勾股定理得，
故侧面积为，
故表面积为，A错误；
B选项，圆台的体积为，B正确；
C选项，设外接球球心为H，连接,，则，
设，则，
由勾股定理得，即，
同理可得，
故，解得，
故，故圆台外接球表面积为，C正确；
D选项，当为球的直径时，即半径为1，此时球的体积为，
故圆台能装下最大球的体积不会大于，D错误.
故选：BC
12．答案：
解析：,
,
,
故答案为:.
13．答案：76.2
解析：样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,即所有数据的平均值,
取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可.
所以平均成绩为
.
故答案为:76.2.
14．答案：
解析：取BC的中点Q,连接EQ,则,
所以,
当且仅当时,EQ有最小值,则有最小值,
此时菱形的面积,
最小值为,
因为E是边AD所在直线上的一点,所以EQ无最大值,无最大值,
的取值范围为,
故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,,可得,
由得,解得
（2）,故,
解得
16．答案：（1）,84;
（2）46.
解析：（1）由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1,
得,所以;
成绩落在内的频率为,
落在内的频率为,
则第75百分位数,,解得,
所以第75百分位数为84.
（2）依题意,抽取20份答卷中,落在内的有（份）,落在内的有（份）,
落在的“典型答卷”的平均成绩,
落在的“典型答卷”的方差,
所以估计这100份答卷中落在的所有答卷的成绩的方差为46.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由图象可知,,,
设最小正周期为T,,,
,
又,且,
,,,
函数的解析式为.
（2）当时,,,
函数的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）依题意,得,根据正弦定理得,
因为,所以,则,即,
即,所以.
又,则,
所以;
（2）在中,根据余弦定理,得,
即,解得或（舍去）,
依题意,,即,
化简得,则,
所以;
（3）依题意,的面积,所以.
又为锐角三角形,且,则,所以.
又,则,所以.
由正弦定理,得,
所以,
所以,即,
所以a的取值范围为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）.
解析：（1）如图,连接AC交BD于点O,
因为E,F分别为,的中点,所以.
因为平面ABCD,且平面ABCD,
所以平面ABCD.
（2）因,且,易得,
则有,由（1）得,故EF与所成角为（或其补角）.
因为,所以,
即EF与所成角的大小为.
（3）连接,过D作于点G.
因为平面ABCD,且平面ABCD,
所以,又且,
所以平面.
因为平面,所以,
又,且,AC,平面,
所以平面,
所以直线BD与平面所成角为（或其补角）.
因为正方体的边长为1,所以,,
所以.