2024-2025学年四川省眉山市仁寿县高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省眉山市仁寿县高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设向量a=(1,2,m)，b=(2,0,−1)，若a⊥b，则m=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.直线5x+2y−1=0的一个方向向量是( )
A. (2,−5)B. (2,5)C. (−5,2)D. (5,2)
3.已知直线l1：a2x+y+1=0与直线l2：x−3ay+7=0，则“a=3”是“l1⊥l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.如图，三个元件T1，T2，T3正常工作的概率均为13，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是( )
A. 19B. 127C. 527D. 727
5.七巧板是中国民间流传的智力玩具，已基本定型为由下面七块板组成；五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)，一块正方形和一块平行四边形.可以拼成人物、动物、植物、房亭，楼阁等1600种以上图案，现从七巧板的五块三角形中任意取出两块；则两块板恰好是全等三角形的概率为( )
A. 35B. 25C. 27D. 15
6.已知直线l1：x−ay+1=0与圆C：(x−a)2+(y−1)2=1相交于A，B两点，当△ABC面积最大时，实数a的值为( )
A. 1或−1B. 3或− 3C. −17或−1D. −17或− 3
7.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，则直线EF到平面D1AC的距离为( )
A. 22 B. 32
C. 62 D. 3 24
8.若点A(0,4)在圆x2+y2+2kx−4y+k2−k−2=0外，则实数k的取值范围是( )
A. (−1,2)B. (−∞,−1)∪(2,+∞)
C. (−6,−1)∪(2,+∞)D. (−6,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A，B为两个随机事件，以下命题正确的是( )
A. 若A与B对立，则P(AB)=1
B. 若A与B互斥，P(A)=13,P(B)=12，则P(A+B)=56
C. 若P(A−)=13,P(B−)=12，且P(AB)=16，则A与B相互独立
D. 若A与B相互独立，P(A)=13,P(B)=23，则P(AB−)=19
10.若直线y=kx−2与曲线y= −x2+6x−5恰有一个交点，则k的值可能为( )
A. 0B. 25C. 2D. 125
11.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，PE=ED,BF=FC，则( )
A. BE=12AP−AB+12AD
B. |BE|=6
C. EF//平面PAB
D. 异面直线BE与PA夹角的余弦值为 66
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在{1,3,4,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是______．
13.过点P(3,−2)且与圆C：x2+y2−2x−4y+1=0相切的直线方程为______．
14.如图，已知点A是圆台O1O的上底面圆O1上的动点，B，C在下底面圆O上，AO1=1,OO1=2,BO=3,BC=2 5，则直线AO与平面O1BC所成角的正弦值的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知三角形ABC的顶点坐标为A(−1,5)，B(−2,−1)，C(4,3)．
(1)求过点C且与边AB平行的直线；
(2)求AB边上的高所在的直线方程．
16.(本小题12分)
已知直线l：x−y+1=0和圆C：x2+y2−2x+4y−4=0．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；
(2)求过点(4,−1)且与圆C相切的直线方程．
17.(本小题12分)
甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏(剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀)，规定每局中：
①三人出现同一种手势，每人各得1分；
②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；
③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响．
(1)求甲在一局中得2分的概率P1；
(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率P2．
18.(本小题12分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，DC=2DA=4，DD1=2 3，DC1⊥D1B
(1)求证：DA⊥DB；
(2)求三棱锥C−A1C1D的体积；
(3)线段C1D1上是否存在点E，使得平面EBD与平面ABB1A1的夹角为π4？若存在，求D1E的长；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知线段AB的端点B的坐标是(6,4)，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是(x−4)2+(y−2)2=1．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F(异于原点O)直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且k1k2=5，
①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标；
②若BD⊥EF，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.C
5.D
6.A
7.B
8.C
9.BD
10.BD
11.ACD
12.14
13.x=3或3x+4y−1=0
14.3 1010
15.解：(1)因为kAB=5−(−1)−1−(−2)=6，由直线的点斜式方程可得y−3=6(x−4)，
化简可得y=6x−21．
(2)由(1)可知，kAB=6，则AB边上的高所在的直线斜率为k=−16，
由直线的点斜式方程可得y−3=−16(x−4)，
化简可得y=−16x+113．
16.解：(1)由圆C：x2+y2−2x+4y−4=0可得，圆心C(1,−2)，半径r= 4+16+162=3，
圆心C(1,−2)到直线l：x−y+1=0的距离为d=|1+2+1| 2=2 20)，则A(a,b−4,0)，
所以D1B=(a,b,−2 3)，DC1=(0,4,2 3)，
由DC1⊥D1B得D1B⋅DC1=4b−12=0，所以b=3，
又因为DA=2，所以 a2+(b−4)2=2，解得a= 3，
所以A( 3,−1,0)，B( 3,3,0)，
则DA=( 3,−1,0)，DB=( 3,3,0)，
所以DA⋅DB=( 3)2−3=0，
所以DA⊥DB；
(2)因为DC=2DA=4，由(1)知∠ADB=90°，所以∠ADC=120°，
如图，过点A作AH⊥CD于H，
则AH=AD⋅sin60°= 3，
因为DD1⊥平面ABCD，DD1⊂平面CC1D1D，
所以平面CC1D1D⊥平面ABCD，平面CC1D1D∩平面ABCD=DC，AH⊂平面ABCD，
所以AH⊥平面CC1D1D，
所以VC−A1C1D=VA1−CC1D=13S△CC1D⋅AH=13⋅(12×DC×CC1)⋅AH
=13×12×4×2 3× 3=4；
(3)由(1)得平面ABB1A1的一个法向量为n1=(1,0,0)，
假设存在E点满足条件，设D1E=λD1C1，(0≤λ≤1)，
则DE=DD1+D1E=(0,4λ,2 3)，
设平面EBD的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，
由n2⋅DE=0n2⋅DB=0，得4λy2+2 3z2=0 3x2+3y2=0，
令y2= 3，则x2=−3，z2=−2λ，所以n2=(−3, 3,−2λ)，
所以cs=n1⋅n2|n1|⋅|n2|=−3 12+4λ2，
因为平面EBD与平面ABB1A1的夹角为π4，
所以|−3 12+4λ2|= 22，解得λ=± 62，
又因为0≤λ≤1，所以λ=± 62舍去，
所以线段C1D1上不存在点E使得平面EBD与平面ABB1A1的夹角为π4．
19.解：(1)不妨设A(x,y)，M(x0,y0)，
因为M为线段AB的中点，
所以x0=x+62，y0=y+42，
因为点M的轨迹方程为(x−4)2+(y−2)2=1，
所以(x+62−4)2+(y+42−2)2=1，
整理得曲线C的方程为(x−2)2+y2=4；
(2)①证明：不妨设直线l的方程为y=kx+m，E(x1,y1)，F(x2,y2)，x1x2≠0，
联立y=kx+m(x−2)2+y2=4，消去y并整理得(1+k2)x2+2(km−2)x+m2=0，
因为Δ=4(km−2)2−4(1+k2)m2>0，
解得m2+4km−4