广东省华南师范大学附属中学2025届高三上学期综合测试（月考）（一） 数学试题（含解析）

这是一份广东省华南师范大学附属中学2025届高三上学期综合测试（月考）（一） 数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
7．已知.设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．已知正实数满足，，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有一个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
10．已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
11．已知函数，曲线.过不在上的点恰能作两条的切线，切点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有 种不同的排课方式.（用数字作答）
13．已知函数为定义在上的奇函数，则 ．
14．一段路上有100个路灯一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个，当第名行人经过时，他将所有下标为的倍数的路灯的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有 个路灯处于开着的状态.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．记的内角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
16．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，.
(1)证明：//平面BDM；
(2)求平面AMB与平面BDM的夹角.
17．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
(2)现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为
附：
18．费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点2,0处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标．
19．已知函数.
(1)当时，记函数的导数为，求的值.
(2)当，时，证明：.
(3)当时，令，的图象在，处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值.
（注：是自然对数的底数）.
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
女生
55
合计
110
200
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
1．B
【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解.
【详解】设圆弧所对的圆心角为，因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得，所以.
故选：B.
2．A
【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为，设直线方程为，代入直线方程求得的值，即可求解.
【详解】由抛物线的焦点为，
又由直线在轴与轴的截距相同，可得直线方程为，
将点代入，可得，所以直线的长为.
故选：A.
3．D
【分析】A、B、C选项可用赋值法判断正误，D选项根据指数与对数计算法则判断.
【详解】设则
，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
4．D
【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.
【详解】①当时，fx=1x，此时A选项符合；
②当时，，
当时，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在在上是减函数，
如图，作出函数在上的图象，
由图可知，函数的图象在上有一个交点，
即函数在在上有一个零点，
当时，，则，
由f'x>0，得，由f'x0，
所以当时，hx取得最小值，
则，即，
∴，∴f'x>0，
∴在上单调递增，
∴，得证；
（3）当时，，
，所以，，
所以在上递增，，上递减，
由题意，，得，
，
由得到，记，
则，
，所以，，
∴在上递减，在上递增.
∴，
设，则,故在上为增函数，
当时，，
∴.
【点睛】方法点睛：利用导数法证明不等式，一般是构造函数，转化为证.
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
35
100
女生
45
55
100
合计
110
90
200
1
2
3