青海省海东市第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份青海省海东市第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知曲线的方程为，则等内容，欢迎下载使用。
高二数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章4.1～4.2.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第一象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列的前项和，则（ ）
A．2020B．2021C．1D．2
5．已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在三棱锥中，，都为等边三角形，，，M为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．0
7．如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ）

A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，，和，，，，分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知曲线的方程为，则（ ）
A．当时，曲线表示一个圆
B．当时，曲线表示椭圆
C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
11．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）
A．点的坐标为B．
C．D．
12．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．若函数为偶函数，可得
C．若，则函数图象的对称中心的坐标为
D．若，则函数图象可由函数图象向左平移个单位长度得到
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．点关于平面对称的点的坐标是 ．
14．在等差数列中，已知，则等于 ．
15．若双曲线的虚轴长为，则实数的值为 .
16．已知为奇函数，为偶函数，且，则以下结论：①；②；③的最小值为2.其中正确结论的序号为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．已知直线：，：，其中.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
18．已知数列是等差数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求的最小值及取得最小值时n的值.
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角C；
（2）若的面积为，求a、b的值．
20．为了研究的需要，某科研团队进行了如下动物性实验：将实验核酸疫苗注射到小白鼠身体中，通过正常的生理活动产生抗原蛋白，诱导机体持续作出免疫产生抗体，经过一段时间后用某种科学方法测算出动物体内抗体浓度，得到如图所示的统计频率分布直方图.
（Ⅰ）求抗体浓度百分比的中位数；
（Ⅱ）为了研究“小白鼠注射疫苗后出现副作用症状”，从实验中分层抽取了抗体浓度在，中的6只小白鼠进行研究，并且从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察，求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率.
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为等边三角形，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
22．已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
1．C
【分析】根据题意直接可得集合中只有元素2，由交集的定义可得答案.
【详解】由集合
则.
故选：C
2．B
【分析】根据复数对应点在第一象限的条件为实部虚部都大于零，解得,然后根据充分、必要条件的概念，判定即可.
【详解】若复数在复平面内对应的点位于第一象限，必有，可得.
“”是“”的必要不充分条件，
∴“”是“复数在复平面内对应的点位于第一象限”的必要不充分条件.
故选：B.
3．D
【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.
【详解】设斜率为，倾斜角为，
∵，∴，．
故选：D．
4．C
【分析】根据和的关系代入数据即可.
【详解】．
故选：C.
5．A
【分析】设点D的坐标为．结合平行四边形的一组对边平行且相等的性质和空间向量的相等向量的计算即可求解.
【详解】设设点D的坐标为，
由题意得
，
因为四边形是平行四边形，所以，
所以，解得，
故选：A
6．D
【分析】利用异面直线所成角的定义，通过平移直线，三角形中根据余弦定理求异面直线所成角的余弦值.
【详解】M为中点，取中点为N，连接，如图所示，

则，即为异面直线与所成角，
，都为等边三角形，，，则，
在中，，，，
故.
故选：D.
7．B
【分析】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解.
【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，
又由双曲线的离心率为，有，
可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.
故选：B.
8．D
【分析】设，根据条件得到，从而将问题转化成与圆有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果.
【详解】设，则由，得到，
整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点，
又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，解得，
故选：D.
9．AC
【分析】根据等差数列的性质即可得到答案.
【详解】由题意得，，可知选项A正确；
又由题意知，，可得，可知选项C正确，D错误．
故选：AC．
10．ACD
【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可.
【详解】当时，曲线是，故A正确；
当时，曲线表示一个圆，故B错误；
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确.
故选：ACD.
11．BD
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义结合已知可求出点的坐标，从而可得答案.
【详解】由题可知，
因为点在抛物线上，且，
所以，
解得，
所以，
故选：BD.
12．BCD
【分析】利用二倍角公式及两角差的余弦公式化简，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为
，
所以函数的最小正周期为，故A错误；
若函数为偶函数，又，则，故B正确；
若，则，令，解得，
所以函数图象的对称中心的坐标为，故C正确；
若，则，将图象向左平移个单位长度得到
，故D正确．
故选：BCD
13．
【分析】根据空间中的点关于坐标平面的点的特征，即可求解.
【详解】点关于平面对称的点的坐标是．
故答案为：
14．8
【分析】根据等差数列的性质即可得到答案.
【详解】由等差数列的性质可知，．
故答案为：8.
15．或1
【解析】分别讨论，两种情况，根据双曲线的虚轴长，即可得出结果.
【详解】因为双曲线的虚轴长为，
①当时，双曲线方程可化为，有，得；
②当时，双曲线方程可以化为，得；
故实数的取值为或1.
故答案为：或1.
16．①②
【分析】根据函数奇偶性结合已知列方程组计算可得解析式，逐个判断各个小题即可.
【详解】，即与，
解得，，由[，故①正确；
由，故②正确；
由，当且仅当时取等号，故③错误，
故①②正确.
故答案为：①②.
17．（1）3；（2）.
【解析】（1）根据两直线平行的充要条件，即可列式求解；
（2）根据两直线垂直的充要条件，即可列式求解．
【详解】（1）若，有，解得.
（2）若，有，解得.
【点睛】本题主要考查利用两直线平行，垂直的充要条件求参数，属于容易题．
18．(1)
(2)取最小值为，或
【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由题意列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）写出等差数列的前n项和，利用配方法求得的最小值并求得使取得最小值时n的取值．
【详解】（1）设的公差为d，则，
解得，
所以.
（2），
所以当或时，取得最小值，最小值为.
19．（1）；（2），或，．
【解析】（1）利用余弦定理结合，即可求角C；
（2）利用面积公式可以求出，再利用余弦定理可以求得，进而可得a、b的值．
【详解】（1）由余弦定理有，
因为，可得；
（2）由题意有，可得，
由余弦定理得：，
将， 代入可得：，
可得，所以，
所以，
由，解得或
故，或，．
20．（1）4；（2）.
【分析】（1）本小题先设中位数，再根据频率分布直方图求中位数的公式直接求解即可.
（2）本小题先根据分层抽样求出在两个区间各抽取多少小白鼠，再写出所有的基本事件与目标事件的基本事件，最后根据古典概型直接求概率即可.
【详解】解：（1）设抗体浓度百分比的中位数为，
由题意：，
解得：
所以抗体浓度百分比的中位数为4.
（2）根据频率分布直方图：抗体浓度在，中的比例为，
则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在中的有只，分别是、、、；则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在中的有只，分别是、,从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察的样本有：、、、、、、、、、、、、、、,共15个，其中2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的样本有：、、、、、、、,共8个，所以2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率为：，
【点睛】本题考查根据频率分布直方图求中位数，分层抽样，古典概型求概率，是基础题.
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，结合勾股定理的逆定理，利用线面垂直的判定推理即得.
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用线面垂直的向量求法求解即得.
【详解】（1）在四棱锥中，正方形的边长为2，取的中点，连接，，
由，，得，由为的中点，得，
由为等边三角形，得，于是，即，
又，则，而，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，则平面，
而平面，于是平面平面，在平面内过点作，
又平面平面，因此平面，即直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
有，
在中，由，，得，，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，
因此，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）联立方程，利用韦达定理求点的坐标，结合两点间距离公式运算求解；
（2）根据（1）中韦达定理可得，且直线与轴的交点为椭圆的右焦点，进而可求面积.
【详解】（1）设两点的坐标分别为，
联立方程，消去得．
由，且，可得，
则，
可得点的坐标为，
又因为，解得或（舍去），
所以的值为.
（2）由（1）可知：，
则，
可得，
由椭圆方程可知：，
由直线与轴的交点为椭圆的右焦点，
则，
所以的面积为．
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
（2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．