黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024−2025学年高二上学期八月学业阶段性评价考试 数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024−2025学年高二上学期八月学业阶段性评价考试 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题）
1．已知是虚数单位，若和互为共轭复数，则复数的模为（ ）
A．2B．C．10D．
2．已知一个圆锥的底面半径与母线长之比为，其高为，则圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（ ）

A．B．C．D．
5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（ ）
A．10B．20C．25D．40
6．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离约为的点（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（ ）
A．B．C．D．
7．抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，B．当时，事件与事件不独立
C．当时，D．当时，事件与事件不独立
8．与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．，
B．若（a，），则
C．若，，则的最小值为1
D．若是关于x的方程（p，）的根，则
10．在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，，，则有唯一解
C．若是锐角三角形，，，设的面积为S，则
D．若是锐角三角形，则
11．如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（ ）

A．
B．与平面所成角的正弦值为
C．存在点使得⊥平面
D．若平面，则点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则的大小关系为 .
13．已知平面向量，，，正实数，满足，与的夹角为，且，则的最小值为 .
14．若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是 ，方差是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，四棱锥的底面是菱形，，底面，，分别是，的中点，为上一点，且．
(1)证明：平面；
(2)若，三棱锥的体积为，求.
16．甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分.
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率；
(3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.
17．记的角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若点是边上一点，且，求的值.
18．某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，在两类产品中各随机抽取50件产品的性能指标作为样本，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)从指标在区间样本中随机抽取2件产品，求恰好一件是不合格一件是合格的概率；
(2)当漏检率时，求临界值和错检率；
(3)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.
19．如下图，在中，，，D是AC中点，E，F分别是BA，BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；

(1)求证：；
(2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；
(3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】由共轭复数的定义求出的值，再利用复数的模长公式求解即可.
【详解】由和互为共轭复数，
所以可得，，，
所以，，
因此，.
故选B.
2．【答案】C
【分析】根据已知条件求得底面半径，再代入表面积公式求解即可．
【详解】设底面半径为，则母线，
可得高，
解得，，
故圆锥的表面积．
故选C．
3．【答案】A
【分析】设出的坐标，利用给定条件得到，再利用投影向量公式求解即可.
【详解】设，因为，
所以，解得，所以，
即向量在向量上的投影向量为.
故选A.
4．【答案】A
【分析】根据三点共线可得，且，结合题意可得，根据平面向量基本定理列式求解即可.
【详解】因为三点共线，则，且，
又因为，即，则，
且，则，解得.
故选A.
5．【答案】B
【分析】根据题意，求得抽取的高中生人数是人，再结合图乙可知高中生的近视率为，即可求解.
【详解】由图甲可知抽取的高中生人数是，
又由图乙可知高中生的近视率为，所以抽取的高中生中近视人数为（人）．
故选B．
6．【答案】C
【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据算出即可.
【详解】由题意知：，，所以，，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，m.
故选C.
7．【答案】D
【分析】计算出，根据，求，根据与的关系判断两个事件是否独立，从而得到正确答案.
【详解】当时，表示一正一反，
故，，，
因为，故正确；
此时，故正确；
当时，表示一正二反，，故正确；
此时，，
所以，所以事件与事件独立，故D错误.
故选D.
8．【答案】C
【分析】根据外接球球心的性质确定球心的位置为过正与的中心的垂线上，再构造直角三角形求解球的半径，即可求解．
【详解】由题，设正与的中心分别为，，连接，并延长交与E，连接，，，
根据外接球的性质有平面，平面，
又二面角的大小为，故，
又正与的边长均为2，
故，
故，
，
，
故，
故，又，
故球的半径，
故球的表面积为．
故选C．
9．【答案】ACD
【分析】根据复数的乘法运算及复数的模的计算，即可判断A；举反例即可判断B；设，根据复数的模的计算公式结合的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，列出方程组求解，即可判断D．
【详解】对于A，，设复数，则，
所以，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，，，由得，，
所以，，
所以，
由得，，故当时，的最小值为1，故C正确；
对于D，因为是关于x的方程（p，）的根，
所以，即，
所以，解得，故D正确；
故选ACD．
10．【答案】BCD
【分析】由余弦定理可判断；
由正弦定理可判断；
利用边化角结合面积公式可得，求的范围，结合正弦函数的性质可得的范围，即可判断；
由锐角三角形可得及，利用在上的单调性结合诱导公式可判断.
【详解】，
，
，
为锐角，但不能确定角是否为锐角，
故不一定是锐角三角形，故错误；
由正弦定理得，
，
，
有唯一解，故正确；
，
，，
，
又，解得，
，，
，
，
，即，故正确；
是锐角三角形，，
又，
，，
又在上单调递增，
，，
，故正确；
故选.
11．【答案】ABD
【分析】根据线面垂直判定定理判断A选项，应用等体积法计算点到平面的距离再结合线面角定义求值判断B,反证法判断C选项，先得出面面平行再确定点的轨迹计算得出轨迹长度判断D选项.
【详解】对于A：连接，

则，平面平面,所以，
平面，所以平面，所以，故A选项正确；
对于B：延长交于，易得在延长线上，，

则，
则，
设到平面距离为d，则，则，则与平面所成角的正弦值为，故B选项正确；
对于C；若平面，则，则在平面内射影垂直于，在平面内的射影为,在正方形内任意点时都不可能射影垂直，故C选项错误；
对于D：如图所示，取的中点，的中点，连接，

可得四边形是平行四边形，所以平面，在平面外，所以平面,
同理可得，平面，因为平面，所以平面平面，
因为点是正方形内的动点，若平面，则点在线段上，
所以点的轨迹长度，故D选项正确.
故选ABD.
12．【答案】
【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断.
【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.
因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数，
右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，因此有.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合二次函数最值求解即得.
【详解】由，得，而，与的夹角为，
则
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
14．【答案】
【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.
【详解】由题意可知，数据的平均数为，
所以，则，
所以数据、、、的平均数为，
方差为，
所以，
将两组数据合并后，得到新数据，
则其平均数为，
方差为.
故答案为：；.
【关键点拨】本题解决的关键是充分理解平均数与方差的计算公式，并进行计算.
15．【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】(1)连接，，与、分别交于，，连接，根据等比例得，即可证明结果；
(2)根据体积计算出边长，结合勾股定理即可求解．
【详解】(1)连接，，与，分别交于，，连接，
因为为的中位线，
所以.
又底面为菱形，
所以.
因为，
所以，
从而，
所以，
又平面，平面，故平面.
(2)由(1)可知的面积为的面积的，即，
又知，则.
由底面，且可知，顶点到底面的距离，
则，
由三棱锥的体积为，得，解得；
因为底面，
所以，于是．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，根据独立事件同时发时的概率公式列出方程组即可．
（2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，根据独立事件发生时的概率公式写出概率，把所有的概率值相加即可；
（3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，由（2）可知总分是4分的概率，只要再求出总分是6分的概率即可，团体总分为6分，即3人都闯关成功，列式即可．
【详解】（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，
甲、乙都闯关成功的概率为，
甲、丙都闯关成功的概率为，
设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，
根据独立事件同时发时的概率公式得，
解得，
即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.
（2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，
设“团体总分为4分”为事件，
则，
即团体总分为4分的概率；
（3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，
设“团体总分不小于4分”为事件，
由（2）可知团体总分为4分的概率，
团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为，
所以参加下一轮比赛的概率为，
即该小组参加下一轮比赛的概率为.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)应用正弦定理化简再结合余弦定理，结合特殊角即可解；
(2)先设角减少未知量，应用正弦定理求出正切，再结合同角三角函数关系计算求出正弦.
【详解】(1)由及正弦定理得，整理得，
又由余弦定理及三角形内角性质得，.
(2)，
记，则.
在Rt中，①.
在中，由正弦定理得②.
由①②及得，即，解得.
由，解得，故.
18．【答案】(1)；
(2)87，；
(3)，最小值0.080.
【分析】(1)首先确定不合格产品和合格产品在区间的件数，再利用编号，列举的方法，求概率；
(2)首先由漏检率，确定，再求错检率的值；
(3)分和两种情况，求，再根据函数的单调性求最值.
【详解】(1)样本中不合格产品在指标为区间的件数是（件），记为
合格产品在指标为区间的件数是（件），记为，总件数为5件.
从5件中随机抽取2件有：，共10种情况
抽取的两件恰好一件是不合格一件是合格有，共6种情况
故抽取的两件恰好一件是不合格一件是合格概率为.
(2)由题意可知：第一个图中第一个矩形面积为，可知，
可得，解得，
所以错检率.
(3)当时，则，
，
可得；
当时，则，
，
可得；
所以，
当且仅当时，取到最小值0.080.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直；
(2)根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可；
(3)先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可.
【详解】(1)因为,
所以,即平面,
平面,平面,
所以
(2)因为二面角是直二面角，
所以平面平面,平面平面,平面,平面,

以分别为轴建立空间直角坐标系，
设平面法向量为,
设平面法向量为
,
令,得,所以
设二面角为
.
,
.
(3)

以为轴，过F作的垂线为z轴，
设,
,
,得出,
设平面的法向量为,
设直线PE与平面ABC所成角为，
,
因为,所以
所以正弦值的取值范围.