2024-2025学年山东省青岛市城阳实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省青岛市城阳实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程x2=x的解为( )
A. x=0B. x=1C. x1=0，x2=1D. x1=x2=1
2.下列说法正确的有( )个．
①菱形的对角线相等；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有两个角是直角的四边形是矩形；
④正方形既是菱形又是矩形；
⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.电影《流浪地球》一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为x，则可列方程( )
A. 8(1+x)=11.52B. 8(1+2x)=11.52
C. 8(1+x)2=11.52D. 8(1−x)2=11.52
4.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是( )
A. x2−4x−4=0B. x2−36x+36=0
C. 4x2+4x+1=0D. x2−2x−1=0
5.根据下列表格的对应值：
可以判断方程ax2+bx+c=1(a≠0)，a，b，c为常数的一个解x的范围是( )
A. 1.16.如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是( )
A. (−1,−2)
B. (−2,−1)
C. (2,1)
D. (1,2)
7.我们知道，一元二次方程x2=−1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于−1.若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=−1(即方程x2=−1有一个根为i).并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=−1，i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i，i4=(i2)2=(−1)2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n⋅i=(i4)n⋅i=i，同理可得i4n+2=−1，i4n+3=−i，i4n=1.那么i+i2+i3+i4+…+i2020+i2021的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. i
8.如图，三个边长均为 2的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若两数的差为4，且它们的积为45，则这两个数为______．
10.如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______m.
11.使分式x2−5x−6x+1的值等于零的x的值是______．
12.如图，菱形ABCD中，BC=10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO= ______．
13.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2−10x+21=0的根，则三角形的周长为______．
14.如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为8，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为______．
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（6分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段a和∠α．
求作：菱形ABCD，使菱形ABCD的对角线AC为a，其中一个内角等于∠BAD=∠α．
16.（8分）解方程：
(1)2x2+4x−3=0.(配方法解)；
(2)5x2−8x=−2(公式法解)
(3)3(x−1)2=x2−1
(4)x2−7x−18=0
17.（8分）已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2mx+(m−3)=0，当m为何值时，方程有两实数根？
18.（8分）如图，为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，阳光中学为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙(墙最长可用长度为15m)，另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门(门不用木栏)，修建所用木栏总长28m，且矩形ABCD的面积为72m2，请求出CD的长．
19.（8分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为____．
20.（8分）根据以下素材，探索完成任务．
21.（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？
22.（8分）如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的矩形场地上，修建两横两竖四条同样宽的道路，且横、竖道路分别与矩形的长、宽平行，其余部分种草坪，若使每块草坪的面积都为56m2，应如何设计道路的宽度？
23.（8分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为t(s)．
(1)当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC面积的524？
(2)当t为何值时，PQ的长为4 2cm？
24.（8分）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？

【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
解决方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则点P即为所求.此时，PA+PB的值最小，且PA+PB=A′P+PB=A′B．

【模型应用】
问题1.如图2，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是______．
问题2.如图3，在平面直角坐标系中，点A(−2,4)，点B(4,2)．
(1)请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，求出点P的坐标；
(2)请直接写出PA+PB的最小值．
【模型迁移】
问题3.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=16.点P和点E分别为BD，CD上的动点，求PE+PC的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.C
5.B
6.A
7.D
8.A
9.5，9或−5，−9
10.2
11.6
12. 10
13.16
14.12
15.解：如图所示，菱形ABCD即为所作，

16.解：(1)2x2+4x−3=0，
x2+2x=32，
配方得x2+2x+1=32+1，即(x+1)2=52，
开方得x+1=± 102，
解得x1=−1+ 102，x2=−1− 102；
(2)5x2−8x=−2，
5x2−8x+2=0，
∵a=5，b=−8，c=2，
∴Δ=(−8)2−4×5×2=64−40=24>0，
∴x=−(−8)± 242×5=8±2 610=4± 65，
∴x1=4+ 65，x2=4− 65；
(3)3(x−1)2=x2−1，
3(x−1)2=(x+1)(x−1)，
3(x−1)2−(x+1)(x−1)=0，
因式分解得(x−1)[3(x−1)−(x+1)]=0，
即(x−1)(2x−4)=0，
∴x−1=0或2x−4=0，
∴x1=1，x2=2；
(4)x2−7x−18=0，
因式分解得(x−9)(x+2)=0，
∴x−9=0或x+2=0，
∴x1=9，x2=−2．
17.解：∵方程有两个实数根，
∴△≥0；
∴(−2m)2−4(m−1)(m+3)≥0；
∴m≤32；
又∵方程是一元二次方程，
∴m−1≠0；
解得m≠1；
∴当m≤32且m≠1时方程有两个实数根．
18.解：设CD=x m，则BC=(28+2−3x)m，
根据题意得：x(28+2−3x)=72，
整理得：x2−10x+24=0，
解得：x1=4，x2=6，
当x=4时，28+2−3x=28+2−3×4=18>15，不符合题意，舍去；
当x=6时，28+2−3x=28+2−3×6=12<15，符合题意．
答：CD的长为6m．
19.解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，
在△ABE和△DAF中，
∵AB=AD∠BAE=∠DAE=DF，
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BEA=90°，
∴∠AGE=∠BGF=90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH=12BF，
∵BC=5、CF=CD−DF=5−2=3，
∴BF= BC2+CF2= 34，
∴GH=12BF= 342，
20.解：(1)设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，
根据题意得：100(1+x)2=114，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%；
(2)设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为(y−30)元，月销售量为600−10(y−40)=(1000−10y)个，
根据题意得：(y−30)(1000−10y)=10000，
整理得：y2−130y+4000=0，
解得：y1=50，y2=80，
又∵要尽可能让车企得到实惠，
∴y=50．
答：该零件的实际售价应定为50元．
21.(1)证明：∵∠ABD=∠CDB，
∴AB//CD，
∴∠BAE=∠CDF，
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
∠BAE=∠CDF∠AEB=∠CFDBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵AB=BO，BE⊥AO，
∴∠ABO=2∠ABE=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO=BO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
22.解：设道路的宽度为xm．
由题意得：(30−2x)(20−2x)=56×9，
化简得：x2−25x+24=0，
(x−1)(x−24)=0，
解得：x1=1，x2=24(不符合题意，舍去)．
答：道路的宽度应设计为1 m．
23.解：(1)根据题意知BQ=2t cm，AP=t cm，
∴BP=AB−AP=(6−t)cm，
∴S△PBQ=12BQ⋅BP=12⋅2t(6−t)=−t2+6t，
∵在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，
∴S△ABC=12AB⋅BC=24cm2，
∵△PBQ的面积是△ABC面积的524，
∴S△PBQ=5cm2，
∴−t2+6t=5，
解得t1=1，t2=5(舍去)．
∴当t为1时，△PBQ的面积是△ABC面积的524；
(2)设t秒后，PQ的长度等于4 2cm，
根据勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2，即(4 2)2=(6−t)2+(2t)2，
整理得，5t2−12t+4=0，
解得t1=2，t2=25．
∴当t为25或2时，PQ的长度等于4 2cm．
24.问题1：3 10；
问题2：(1)作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，
∵点B(4,2)，
∴B′(4,−2)，
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∵点A(−2,4)，点B′(4,−2)．
∴4=−2k+b−2=4k+b，解得：k=−1b=2，
∴直线AB′的解析式为y=−x+2，
当y=0时，−x+2=0，解得：x=2，
∴点P的坐标(2,0)；
(2)∵点B关于x轴的对称点B′，
∴PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′，
∴当点A，点P，点B′三点共线时，PA+PB的最小值为AB′的长，
∵B′(4,−2)，点A(−2,4)，
∴AB′= (4+2)2+(−2−4)2=6 2，
∴PA+PB的最小值为6 2；
问题3：如图5，过A作AE⊥CD，交BD于P，连接CP，
此时线段PE+PC最小，且PE+PC=AE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=12BD=8，OC=12AC=6，
∴DC= OD2+OC2= 64+36=10，
∵S菱形ABCD=12×AC⋅BD=CD⋅AE，
即：12×12×16=10×AE，
∴AE=9.6
∴PE+PC的最小值是9.6．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
−0.59
0.84
2.29
3.76
素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，
问题解决
任务1
该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2
为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？