海南省文昌中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附答案）

这是一份海南省文昌中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z=(其中i是虚数单位)，则z的共轭复数=（ ）
A．B． C．D．
2．已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，，若三向量共面，则λ＝（ ）
A．9 B．－9 C．－3 D．3
4. 如图，在直三棱柱中，底面三角形ABC为直角三角形，P为的中点，则（ ）
A．
B．1
C．
D．
5．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是（ ）
A．[－10,10] B．[－10,5]
C．[－5,5] D．[0,10]
6．过点的直线与连接的线段总有公共点（不包含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．4 B．5C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．对于直线，下列说法正确的有（ ）
A．直线l过点B．直线l与直线垂直
C．直线l的一个方向向量为D．原点到直线的距离为1
10．已知空间三点，设. 则下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则
B．和的夹角的余弦值
C．若与互相垂直，则的值为2
D．若与轴垂直，则, 应满足
11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，如图所示，点E，F分别为线段BC, AD的中点，则（ ）
A．
B．四面体的表面积为
C．四面体的外接球的体积为
D．过且与平行的平面截四面体
所得截面的面积为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．直线的倾斜角为__________.
13．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______．
14．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的法向量为___________；直线与平面所成角的正弦值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知点，，．
（1）若BC中点为D，求过点A与D的直线方程；
（2）求过点B且在x轴和y轴上截距相等的直线方程。
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面平面，AD⊥DP，AB∥CD，．且．
（1）求证：AB∥平面；
（2）求证：AB⊥平面；
（3）求二面角的余弦值。
17.（本小题满分15分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若，则△ABC的面积为，求△ABC的周长。
18.（本小题满分17分）
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0 (k∈R)．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S (O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程。
19.（本小题满分17分）
如图1，在中，BM⊥BC，A, D分别为边MB, MC的中点，且，将沿AD折起到的位置，使PA⊥AB，如图2，连接PB，PC.
（1）求证：PA⊥平面；
（2）若为PC的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段PC上一动点G满足，判断是否存在，使二面角G-AD-P的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。2024—2025学年度第一学期高二第一次月考答案
数 学
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．（1, -1, 1）
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。
15．解：（1）由题意， 的中点 ，即 …………3分
由两点式直线方程得直线AD的方程为： ，
即 …………6分
（2）当过B点，且在x，y轴上的截距为0时，直线方程为 ，
即 …………8分
设当在x，y上截距m不等于0时直线方程为，…………10分
将B点坐标代入得 ，即 …………12分
综上，（1）AD直线方程为 ，（2）过B点并且在x， y轴上截距相等的直线方程为 或 …………13分
16.（1）证明：∵AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD
∴AB∥平面PCD …………3分
（2）证明：∵∠ADC=90°，AB∥CD，∴AB⊥AD…………5分
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD
∴AB⊥平面PAD …………7分
（3）解：∵DP、DA、DC两两垂直，
以D为原点，DA、DC、DP
为x、y、z轴正方向建系 ……8分
如图所示：
∴A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)
……9分
∴，，
……10分
设平面PAB的法向量
则 ，即 …………11分
令 ，则法向量 …………12分
同理，设平面PBC的法向量
则 ，∴ …………13分
令 ，∴ …………14分
∴二面角A-PB-C的余弦值为，即 …………15分
17．解：（1）由正弦定理得， ……2分
其中， …………3分
故，
因为，所以，故， …………4分
即，所以， …………5分
因为，所以， …………6分
故，解得； …………7分
（2）由三角形面积公式得， ………9分
故， …………10分
由余弦定理得， …………12分
解得， …………13分
故，解得 …………14分
故，周长为6. …………15分
18.（1）证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， …………1分
令eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.)) …………3分
所以无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)． …………4分
（2）解：由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，
在y轴上的截距为1＋2k， …………5分
要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，)) …………7分
解得k＞0； …………8分
当k＝0时，直线为y＝1，
符合题意，综上，故k的取值范围是[0，＋∞)． …………9分
（3）解：由题意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．…10分
依题意得eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)＜0，,1＋2k＞0，))解得k＞0. …………12分
由S＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)|eq \f(1＋2k,k)|·|1＋2k| …………13分
＝eq \f(1,2)·eq \f(1＋2k2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4)) …………14分
≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4， …………15分
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝ …………17分
19.（1）证明：因为A, D分别为边MB, MC的中点，所以…………1分
因为BM⊥BC，所以，所以PA⊥AD …………2分
又PA⊥AB，，平面，…………3分
所以PA⊥平面ABCD…………4分
（2）解：因为PA⊥AB，PA⊥AD，，
所以AP，AB，AD两两垂直.
以A为坐标原点，所在直线
分别为轴，…………5分
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意有A(0,0,0)，，，
D(0,1,0)，，，…6分
则，，，……7分
设平面的法向量，
则有 …………9分
令，得，，
所以是平面的一个法向量 …………10分
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为 …………11分
（3）解：假设存在，使二面角G-AD-P的正弦值为，
即使二面角G-AD-P的余弦值为.
由（2）得，，
所以，， …………12分
易得平面的一个法向量为.
设平面的法向量，
，
解得，令，得，
则是平面的一个法向量. …………14分
由图形可以看出二面角G-AD-P的夹角为锐角，且正弦值为，
故二面角G-AD-P的余弦值为，
则有， …………15分
即，解得， …………16分
又因为，所以.
故存在，使二面角G-AD-P的正弦值为 …………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
A
D
B
C
C
题号
9
10
11
答案
AB
BD
BCD