北京市延庆区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共4页，150分，考试时长120分钟．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知直线，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 平行线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D. 5
4. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若平面，平面的法向量为，则平面的一个法向量可以是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知向量，，，若，，共面，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 9
8. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，E为中点，，则直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知正三棱锥的底面的边长为2，是空间中任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知复数，则的虚部为_________．
12. 已知，，则_________．
13. 已知直线与直线垂直，则的值为_________．
14. 已知复数满足，则的最小值为______．
15. 已知正方体的棱长为2，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面．给出下列四个结论：
①的面积的最大值为；
②满足使的面积为2的点有且只有4个；
③点可以是的中点；
④线段的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：
（1）经过点，平行于直线；
（2）倾斜角是，截距是4；
（3）经过点，点；
（4）经过点，且在两坐标轴上截距和为5．
17. 如图，在中，，，平分交于点，．
（1）求值；
（2）求的面积．
18. 已知点、、．
（1）若直线通过点与，求直线的一个方向向量，并求直线的方程；
（2）求线段的垂直平分线的方程；
（3）若点关于直线对称点为，求点到直线的距离．
19. 如图，在多面体中，为正方形，平面，，.
（1）求证：；
（2）求直线BD与平面所成角大小.
20. 如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
21. 已知集合为非空数集，定义：
，
（1）若集合，直接写出集合，.
（2）若集合，，且，求证：
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.