重庆市育才成功学校2024年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份重庆市育才成功学校2024年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
2、（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x≥1B．x≤1且x≠0C．x≥0且x≠1D．x≠0且x≠1
3、（4分）下列各式中正确的是( )
A．B．C．＝a＋bD．＝－a－b
4、（4分）下列各组数中，以它们为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．9，16，25C．12，15，20D．1，2，
5、（4分）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（ ）
A．12B．14C．16D．18
7、（4分）如图，在中，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点，直线交于点，若的周长是12，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．11
8、（4分）使式子有意义的条件是（ ）
A．x≥4B．x=4C．x≤4D．x≠4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在菱形ABCD中,对角线AC=30，BD=60，则菱形ABCD的面积为____________．
10、（4分）当x＝_________时，分式的值为1．
11、（4分）化简的结果为________.
12、（4分）图中的虚线网格是等边三角形，它的每一个小三角形都是边长为1的等边三角形.
(1)如图①,连接相邻两个小正三角形的顶点A，B，则AB的长为_______
(2)在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画一个斜边长为的直角三角形，且它的顶点都在格点上.
13、（4分）两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的短直角边分别与∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若∠AOB＝60°，OM＝6，则线段OP＝______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，已知A、B两艘船同时从港口Q出发，船A以40km/h的速度向东航行；船B以30km/h的速度向北航行，它们离开港口2h后相距多远？
15、（8分）如图,在等腰△ABC中,∠CAB=90°,P是△ABC内一点,PA=1,PB=3,PC=,将△APB绕点A逆时针旋转后与△AQC重合.求:
(1)线段PQ的长;
(2)∠APC的度数.
16、（8分）在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的一边长为时，这条边上的高为．
（1）①求关于的函数表达式；
②当时，求的取值范围；
（2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为．你认为小李和小赵的说法对吗?为什么?
17、（10分）附加题：如图，四边形中，，设的长为，四边形的面积为.求与之间的关系式.
18、（10分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）.
（1）将沿轴方向向左平移个单位，画出平移后得到的；
（2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知+＝0，则（a﹣b）2的平方根是_____．
20、（4分）已知为实数，若有正数b，m，满足，则称是b，m的弦数．若且为正数，请写出一组，b, m使得是b，m的弦数：_____________．
21、（4分）如图，把一张矩形的纸沿对角线BD折叠，若AD=8，AB=6，则BE=__．
22、（4分）我市在旧城改造中，计划在市内一块如下图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要______元.
23、（4分）如图，菱形ABCD的面积为24cm2，正方形ABCF的面积为18cm2，则菱形的边长为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）将含有45°角的直角三角板ABC和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE．
（1）请写出图中的一对全等三角形并证明；
（2）你能发现并证明线段AD，BE，DE之间的关系吗？
25、（10分）解关于x的方程：
26、（12分）某校团委积极响应南充市“书香天府万卷南充”全民阅读活动，号召全校学生积极捐献图书共建“书香校园”．八（1）班40名同学都捐献了图书，全班40名同学共捐图书320册．班长统计了全班捐书情况如表：
（1）分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数；
（2）请算出捐书册数的平均数、中位数和众数，并判断其中哪些统计量不能反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
分析：检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
详解：A.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故不符合题意；
B. 被开方数含分母，故不符合题意；
C.被开方数含分母，故不符合题意；
D. 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故符合题意；
故选D.
点睛：此题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式.
2、C
【解析】
根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．
【详解】
由题意得：x≥2且x﹣2≠2．解得：x≥2且x≠2．
故x的取值范围是x≥2且x≠2．
故选C．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
3、D
【解析】
根据分式的性质：分子分母同时扩大或缩小相同倍数,值不变,和分式的通分即可解题.
【详解】
A. ,故A错误,
B. , 故B错误
C. a＋b,这里面分子不能用平方差因式分解,
D. ＝－a－b,正确
故选D.
本题考查了分式的运算性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
4、D
【解析】
根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、∵12＋22≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵92＋162≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵122＋152≠202，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵12＋22＝2，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5、C
【解析】
先化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数是否与相同，可得答案．
【详解】
A、＝，故A能与合并；
B、＝2，故B能与合并；
C、＝2，故C不能与合并；
D、能与合并
故选C
本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
6、B
【解析】
延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．
【详解】
延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC＝2MN＝6，
∴AC＝AD+CD＝14，
故选B．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
7、B
【解析】
利用垂直平分线的作法得MN垂直平分AC，则，利用等线段代换得到△CDE的周长，即可解答．
【详解】
由作图方法可知，直线是的垂直平分线，
所以，
的周长，
所以，，所以，选项B正确.
此题考查平行四边形的性质，作图—基本作图，解题关键在于得到△CDE的周长.
8、A
【解析】
根据二次根式有意义的条件(大于或等于0)即可求出x的范围．
【详解】
∵有意义，
∴x-4≥0,
∴x≥4.
故选A.
考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件(被开方数大于或等于0)．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【详解】
解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=30，BD=60，
∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=1．
故答案为：1．
此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．
10、2
【解析】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【详解】
∵分式的值为1，
∴x2-4=1，x+2≠1，
解得：x=2．
故答案为：2．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关性质是解题关键．
11、
【解析】
首先把分子、分母分解因式，然后约分即可．
【详解】
解：==
本题主要考查了分式的化简，正确进行因式分解是解题的关键．
12、 (1)；（2）见解析.
【解析】
（1）利用等边三角形的性质，解直角三角形即可解决问题．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）．
【详解】
解:（1）AB=2×1×cs30°=，
故答案为:．
（2）如图②中，△DEF即为所求．
本题考查作图——应用与设计，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13、
【解析】
根据HL定理证明，求得，根据余弦求解即可；
【详解】
∵OM=ON，OP=OP，，
∴，
∵∠AOB＝60°，
∴，
∵OM＝6，
∴．
故答案是．
本题主要考查了直角三角形的性质应用，结合三角函数的应用是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、它们离开港口2h后相距100km．
【解析】
由题意知两条船的航向构成了直角，再根据路程＝速度×时间，由勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵A、B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/h的速度向东航行；船B以30km/h的速度向北航行，
∴∠AOB＝90°，它们离开港口2h后，AO＝40×2＝80km，BO＝30×2＝60km，
∴AB＝＝100km，
答：它们离开港口2h后相距100km．
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出AO，BO的长是解题关键．
15、（1）；（2）135°
【解析】
(1)由性质性质得,AQ=AP=1,∠QAP=∠CAB=90°,由勾股定理得,PQ=.
(2)由∠QAP=90°,AQ=AP,得∠APQ=45°，根据勾股定理逆定理得∠CPQ=90°,所以，∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°.
【详解】
解：(1)∵△APB绕点A旋转与△AQC重合,
∴AQ=AP=1,∠QAP=∠CAB=90°,
∴在Rt△APQ中,PQ=.
(2)∵∠QAP=90°,AQ=AP,
∴∠APQ=45°.
∵△APB绕点A旋转与△AQC重合,
∴CQ=BP=3.
在△CPQ中,PQ=,CQ=3,CP=,
∴CP2+PQ2=CQ2,
∴∠CPQ=90°,
∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°.
本题考核知识点：旋转性质和勾股定理.解题关键点：熟记旋转性质和勾股定理.
16、（1）①；②；（2）小赵的说法正确，见解析
【解析】
（1）①直接利用三角形面积求法进而得出y与x之间的关系；
②直接利用x≥3得出y的取值范围；
（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．
【详解】
解:
为底，为高，
，
；
②当x=3时，y=2，
∴当x≥3时，y的取值范围为：0＜y≤2；
小赵的说法正确.
理由如下：小李:
整理得，x2-4x+6=0，
∵△=42-4×6＜0，
∴一个三角形的一边与这边上的高之和不可能是4；
小赵:
得
；
小赵的说法正确.
此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．
17、
【解析】
过D作DE⊥AC与E点，设BC=a，则AC=4a，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，易证得△ABC≌△DAE，所以AE=BC=a，DE=AC=4a，得到EC=AC-AE=4a-a=3a，在Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC=5a，所以有x=5a，即；根据四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，即可得到
【详解】
解：过作于点，如图
设，则，
而，
，
，
在中，
，即
又四边形的面积三角形的面积三角形的面积，
即与之间的关系式是
此题考查全等三角形的判定与性质，根据实际问题列二次函数关系式，解题关键在于作辅助线和证明△ABC≌△DAE.
18、（1）见解析；（1）见解析。
【解析】
（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（1）如图，△AB1C1即为所求．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、±1．
【解析】
根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可.
【详解】
根据题意得a-1=2，且b-5=2，
解得：a=1，b=5，
则（a-b）2=16，则平方根是：±1．
故答案是：±1．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为2时，这几个非负数都为2．
20、（答案不唯一）
【解析】
根据题中提供的弦数的定义判断即可．
【详解】
解：，
是4，3的弦数，
故答案为：（答案不唯一）
本题考查了平方差公式，正确理解题中的新定义是解本题的关键．
21、
【解析】
试题解析：∵AD∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，又∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，又BC′=BC=AD，
∴EA=EC′，
在Rt△EC′D中，
DE2=EC′2+DC′2，即DE2=（8-DE）2+62，
解得DE=．
22、150a
【解析】
作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，则∠DAC＝30°，由AC＝30m，即可求出CD＝15m，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】
解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD⊥BD，AC＝30m，
∴CD＝15m，
∵AB＝20m，
∴S△ABC＝AB×CD＝×20×15＝150m2，
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格为150a元．
故答案为：150a 元．
本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于做出AB边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
23、5cm
【解析】
根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
【详解】
解：因为正方形AECF的面积为18cm2，
所以AC＝＝6cm，
因为菱形ABCD的面积为24cm2，
所以BD＝＝8cm，
所以菱形的边长＝＝5cm．
故答案为：5cm．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）△ADC≌△CEB（2）AD＝BE+DE
【解析】
（1）结论：△ADC≌△CEB．根据AAS证明即可；
（2）由三角形全等的性质即可解决问题；
【详解】
解：（1）结论：△ADC≌△CEB．
理由：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ACB＝∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，
∴∠CAD＝∠ECB，
∵AC＝CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
（2）结论：AD＝BE+DE．
理由：∵△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵CE＝CD+DE，
∴AD＝BE+DE．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．
25、x=－5
【解析】
试题分析：方程左右两边同时乘以（x+1）（x－1），解出x以后要验证是否为方程的增根.
试题解析：
3（x+1）+2x（x－1）=2（x+1）（x－1）
3x+3+2x2－2x=2x2－2
x=－5.
经检验x=－5为原方程的解.
点睛：掌握分式方程的求解.
26、（1）1,3；（2）8,1,1，平均数不能反映该班同学捐书册数的一般情况,，理由见解析.
【解析】
（1）根据：全班40名同学和共捐图书320册这两个相等关系，设捐献7册的人数为x，捐献8册的人数为y，就可以列出方程组解决．
（2）找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．然后根据它们的意义判断．
【详解】
解：（1）设捐款7册的x人，捐款8册的y人，
由题意可得：
解得：
答：捐款7册的1人，捐款8册的3人；
（2）平均数为：320÷40＝8，
∵40个数据的中间是第20，21个数据的平均数，
∴中位数为：（1+1）÷2＝1，
众数是1．
因为平均数8受两个50的影响较大，所以平均数不能反映该班同学捐书册数的一般情况．
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及众数、中位数的定义，根据题意得出正确等量关系式是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
册数
4
5
6
7
8
50
人数
6
8
15
2