重庆市育才成功学校2023年数学八年级第一学期期末质量跟踪监视模拟试题【含解析】

这是一份重庆市育才成功学校2023年数学八年级第一学期期末质量跟踪监视模拟试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了下列因式分解正确的是， 的倒数是，下列说法错误的是，下列约分正确的是，若，则下列各式中不一定成立的是，已知关于x的一次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，直线，直线，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．若是完全平方式，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条图中的AB，CD两根木条，这样做是运用了三角形的
A．全等性B．灵活性C．稳定性D．对称性
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）
5． 的倒数是（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法错误的是( )
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
D．一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
7．下列约分正确的是( )
A．B．C．D．
8．若，则下列各式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
9．下面4组数值中，二元一次方程2x+y=10的解是（ ）
A．B．C．D．
10．已知关于x的一次函数y＝（2﹣m）x+2的图象如图所示，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞0D．m＜0
11．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
12．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．点A(2，－3)关于x轴对称的点的坐标是______．
14．已知与成正比例，且当时，则与的函数关系式为______
15．若实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是______．
16．在RtΔABC中，∠B=90°，∠A=30°,DE垂直平分AC,交AC于点E,交AB于点D,连接CD,若BD=2,则AD的长是___.
17．已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角度数为_____．
18．已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y＞8，则m的取值范围是____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且），在的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定．
例如：18可以分解成，，，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数，总有；
（2）如果一个两位正整数，（，为自然数），交换其个位上的数与十位上的数，得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为9，那么我们称这个为“求真抱朴数”，求所有的“求真抱朴数”；
（3）在（2）所得的“求真抱朴数”中，求的最大值．
20．（8分）按要求计算：
（1）化简：
（2）解分式方程：
（3）计算：
21．（8分）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为1．
（1）求直线AD的解析式；
（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
22．（10分）解方程：
（1）4x2＝25
（2）（x﹣2）3+27＝0
23．（10分）已知在等边三角形的三边上,分别取点.
(1)如图1,若,求证:;
(2)如图2,若于点于于,且,求的长;
(3)如图3,若,求证:为等边三角形.
24．（10分）阅读下列解题过程：
；
.
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请直接写出式子 ；
(2)利用上面所提供的解法，请化简的值.
25．（12分）已知，为直线上一点，为直线外一点，连结.
（1）用直尺、圆规在直线上作点，使为等腰三角形（作出所有符合条件的点，保留痕迹）.
（2）设，若（1）中符合条件的点只有两点，直接写出的值.
26．每年的月日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购.经调查：购买台甲型设备比购买台乙型设备多花万元，购买台甲型设备比购买台乙型设备少花万元.
（1）求甲、乙两种型号设备每台的价格；
（2）该公司经决定购买甲型设备不少于台，预算购买节省能源的新设备资金不超过万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，已知甲型设备每月的产量为吨，乙型设备每月的产量为吨.若每月要求产量不低于吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到，根据两直线平行，同位角相等可得．
【详解】如图，
直线，
．
，
，
直线，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
2、C
【分析】本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k的值．
【详解】由完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2可得：
kx=±2•2x•，
解得k=±．
故选：C
【点睛】
本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2是关键．
3、C
【解析】解：三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变，故这样做是运用了三角形的稳定性
故选：C
4、D
【解析】试题分析：A、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；
B、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断；
C、原式提取公因式得到结果，即可做出判断；
D、原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
解：A、原式=（x+2）（x﹣2），错误；
B、原式=（x+1）2，错误；
C、原式=3m（x﹣2y），错误；
D、原式=2（x+2），正确，
故选D
点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法与提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5、C
【解析】根据倒数定义可知，的倒数是．
【详解】解：-×-=1
故答案为：C.
【点睛】
此题考查倒数的定义，解题关键在于熟练掌握其定义．
6、C
【解析】根据角平分线的判定定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定定理判断即可．
【详解】A、角平分线上的点到角的两边距离相等，故本选项正确；
B. 直角三角形的两个锐角互余，故本选项正确；
C、应该是：等腰三角形底边上的角平分线、中线、高线互相重合，故此选项错误；
D、根据等边三角形的判定定理“有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形”知本选项正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，注意，有一个角是60°的“等腰三角形”是等边三角形，而不是有一个角是60°的“三角形”是等边三角形．
7、D
【分析】根据题意找出分子与分母的最大公因式，利用分式的基本性质化简即可得出结果．
【详解】解：A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项错误；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查分式的约分，先找出分子与分母的最大公因式，并熟练利用分式的基本性质化简是解题的关键．
8、D
【分析】根据不等式的性质进行解答．
【详解】A、在不等式的两边同时减去1，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
B、在不等式的两边同时乘以3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
C、在不等式的两边同时乘以-1，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意．
D、当时，不等式不一定成立，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，做这类题时应注意：在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
9、D
【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可．
【详解】A．把代入方程得：左边=﹣4+6=2，右边=1．
∵左边≠右边，∴不是方程的解；
B．把代入方程得：左边=4+4=8，右边=1．
∵左边≠右边，∴不是方程的解；
C．把代入方程得：左边=8+3=11，右边=1．
∵左边≠右边，∴不是方程的解；
D．把代入方程得：左边=12﹣2=1，右边=1．
∵左边=右边，∴是方程的解．
故选：D．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10、B
【分析】根据一次函数的增减性即可列出不等式,解不等式即可.
【详解】由图可知：1﹣m＞0，
∴m＜1．
故选B．
【点睛】
此题考查的是一次函数图像及性质,掌握一次函数图像及性质与一次项系数的关系是解决此题的关键.
11、C
【详解】∵一个正多边形的一个外角为36° ，
∴这个正多边形的边数是360÷36=10，
故选C
12、D
【分析】根据三角形的内角和定理和直角三角形的定义逐项判断即可．
【详解】A、由和可得：∠C=90°，是直角三角形，此选项不符合题意；
B、由得，又，则∠A=90°，是直角三角形，此选项不符合题意；
C、由题意，，是直角三角形，此选项不符合题意；
D、由得3∠C+3∠C+∠C=180°，解得：，则∠A=∠B=≠90°，不是直角三角形，此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、直角三角形的定义，会判定三角形是直角三角形是解答的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、 (2，3)
【分析】根据 “关于x轴对称的点,横坐标相同, 纵坐标互为相反数” 解答.
【详解】解:点A（2，-3）关于x轴对称的点的坐标为(2,3).
故答案为:(2,3).
【点睛】
本题考查了关于x轴,y轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数:
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3) 关于原点对称的点, 横坐标与纵坐标都互为相反数.
14、
【分析】已知y-2与x成正比例，且当x=-1时y=5，用待定系数法可求出函数关系式．
【详解】y-2与x成正比例，即：
且当x=-1时y=5，则得到：
则与的函数关系式为：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求函数关系式的问题，掌握待定系数法是解题的关键．
15、15
【详解】因为实数x,y满足,
所以,解得:,,
因为x,y的值是等腰三角形的两边长,所以等腰三角形的三边可能是:3,3,6或3,6,6,
又因为3+3=6, 所以等腰三角形三边是:3,6,6,
所以等腰三角形的周长是15,
故答案为:15.
点睛:本题主要考查非负数的非负性和三角形三边关系,等腰三角形的性质.
16、4
【分析】首先根据题意DE垂直平分AC,可判断AD=CD，可得出△ADC是等腰三角形，∠A=∠ACD=30°，又因为在RtΔABC中，∠B=90°，∠A=30°,得出∠ACB=60°，∠BCD=30°，又由BD=2,根据三角函数值，得出sin∠BCD==，得出CD=4，进而得出AD=4.
【详解】解：∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰三角形，∠A=∠ACD=30°
又∵在RtΔABC中，∠B=90°，∠A=30°,
∴∠ACB=60°，∠BCD=30°
又∵BD=2,
∴sin∠BCD==
∴CD=4
∴AD=4.
故答案为4.
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定和利用三角函数求三角形的边长，熟练掌握即可得解.
17、70°或40°.
【分析】已知等腰三角形的一个内角为70°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当70°是顶角或者70°是底角两种情况．
【详解】此题要分情况考虑：
①70°是它的顶角；
②70°是它的底角,则顶角是180°−70°×2=40°.
故答案为70°或40°.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质, 三角形内角和定理.掌握分类讨论思想是解决此题的关键.
18、m＜﹣1．
【分析】先解方程组，然后将x、y的值代入不等式解答．
【详解】解：解方程组得x=2m﹣1，y=4﹣5m，
将x=2m﹣1，y=4﹣5m代入不等式2x+y＞8得
4m﹣2+4﹣5m＞8，
∴m＜﹣1．
故答案为：m＜﹣1．
【点睛】
本题考查了方程组与不等式，熟练解方程组与不等式是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）所有的“求真抱朴数”为：12，23，34，45，56，67，78，89；（3）．
【分析】（1）求出是m的最佳分解，即可证明结论；
（2）求出，可得，根据x的取值范围写出所有的“求真抱朴数”即可；
（3）求出所有的的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴是m的最佳分解，
∴；
（2）设交换后的新数为，则，
∴，
∴，
∵，，为自然数，
∴所有的“求真抱朴数”为：12，23，34，45，56，67，78，89；
（3）∵，，，，，，，，其中最大，
∴所得的“求真抱朴数”中，的最大值为．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，正确理解“最佳分解”、“”以及“求真抱朴数”的定义是解题的关键．
20、（1）；（2）无解；（3）1
【分析】(1)先把括号内的分式通分化简，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可；
(2)先把分式方程化为整式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可；
(3)根据绝对值、二次根式以及平方差公式计算，再合并即可．
【详解】(1)
；
(2)方程两边同乘(x﹣3)，得，
，
解得：，
检验：当时，最简公分母，
所以不是原方程的解，
所以原方程无解；
(3)
．
【点睛】
本题考查了分式的化简，实数的混合运算，解分式方程，解分式方程要注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；(2)解分式方程一定注意要验根．
21、（1）y=2x+10；（2）y=m+3（-2＜m＜4）；（3）存在，点F的坐标为(，0)或(-，0)或(-，0)
【分析】（1）根据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，设出解析式为y=-x+n，把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD的值，从而求出D点的坐标，直接根据待定系数法求出AD的解析式；
（2）先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的总坐标，将P点的总坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；
（3）要使△PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，根据等腰直角三角形的性质求出（2）中m的值，就可以求出F点的坐标．
【详解】（1）∵OB=OC，
∴设直线AB的解析式为y=-x+n，
∵直线AB经过A（-2，6），
∴2+n=6，
∴n=4，
∴直线AB的解析式为y=-x+4，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∵△ABD的面积为1，A（-2，6），
∴S△ABD=×BD×6=1，
∴BD=9，
∴OD=5，
∴D（-5，0），
设直线AD的解析式为y=ax+b，
∴，
解得．
∴直线AD的解析式为y=2x+10；
（2）∵点P在AB上，且横坐标为m，
∴P（m，-m+4），
∵PE∥x轴，
∴E的纵坐标为-m+4，
代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，
解得x=，
∴E（，-m+4），
∴PE的长y=m-=m+3；
即y=m+3，（-2＜m＜4），
（3）在x轴上存在点F，使△PEF为等腰直角三角形，
①当∠FPE=90°时，如图①，
有PF=PE，PF=-m+4PE=m+3，
∴-m+4=m+3，
解得m=，此时F（，0）；
②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，
∴EF=-m+4，
∴∴-m+4=m+3，
解得：m=．
∴点E的横坐标为x==-，
∴F（-，0）；
③当∠PFE=90°时，如图③，有 FP=FE，
∴∠FPE=∠FEP．
∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，
∴∠FPE=∠FEP=45°．
作FR⊥PE，点R为垂足，
∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，
∴∠PFR=∠RPF，
∴FR=PR．
同理FR=ER，
∴FR=PE．
∵点R与点E的纵坐标相同，
∴FR=-m+4，
∴-m+4=（m+3），
解得：m=，
∴PR=FR=-m+4=-+4=，
∴点F的横坐标为-=-，
∴F（-，0）．
综上，在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（，0）或（-，0）或（-，0）．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．
22、（1）x＝±；（2）x＝﹣1
【分析】（1）由直接开平方法，即可求解；
（2）先移项，再开立方，即可求解．
【详解】（1）4x2＝25，
x2＝，
∴x＝±；
（2）（x﹣2）3+27＝0，
（x﹣2）3＝﹣27，
x﹣2＝﹣3，
∴x＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查解方程，掌握开平方和开立方运算，是解题的关键．
23、（1）证明见解析；（2）5；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，，进一步证得，即可证得；
（2）根据等边三角形性质和30°的直角三角形性质，得出线段长之间关系，列出方程即可解答；
（3）延长BD到M，使BM=AD，连接ME，延长EC到N，使CN=BE，连接FN，可得，再证，从而得出，再由三角形外角性质即可证得结论.
【详解】证明：（1）如图1中，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中
，
∴，
（2）如图2中，是等边三角形，
，
，
，
，
∴，
同理可得：，，
∵，即：
∴
解得：
（3）如图3，延长BD到M，使BM=AD，连接ME，延长EC到N，使CN=BE，连接FN，
∵AD=CF，
∴BM=CF，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
∴，，
又∵，，
∴
在和中，
，
，
∴，
又∵，，
∴；
又∵
∴为等边三角形．
【点睛】
此题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要锻炼学生的推理能力，解（3）的关键通过作辅助线构造三角形全等证明角和线段的关系.
24、（1） ；（2）
【分析】（1）观察题目中所给的运算方法级即可求解；（2）根据（1）的结论，化简各个二次根式后合并计算即可求解．
【详解】（1）
（2）
【点睛】
本题考查二次根式的分母有理化，熟练确定分母的有理化因式和合并同类二次根式是解决问题的关键．
25、（1）图见解析；（2）n的值为1．
【分析】（1）分和AB与MN不垂直两种情况，①当时，以点A为圆心，AB为半径画弧，交MN于两点，则是符合条件的点；②当AB与MN不垂直时，分别以A为圆心，AB为半径画弧，交MN于两点，再以B为圆心，BA为半径画弧，交MN于点，则是符合条件的点；
（2）由（1）即可知，此时有，据此即可得出答案．
【详解】（1）依题意，分以下2种情况：
①当时，以点A为圆心，AB为半径画弧，交MN于两点，则是符合条件的点，作图结果如图1所示；
②当AB与MN不垂直时，分别以A为圆心，AB为半径画弧，交MN于两点，再以B为圆心，BA为半径画弧，交MN于点，则是符合条件的点，作图结果如图2所示；
（2）由题（1）可知，此时有
则
故此时n的值为1．
【点睛】
本题考查了圆的尺规作图、直尺画线段、等腰三角形的性质等知识点，易出错的是题（1），理解题意，分两种情况讨论是解题关键，勿受题中示意图的影响，出现漏解．
26、（1）甲万元,乙万元；（2）有种；（3）选购甲型设备台,乙型设备台
【分析】（1）设甲型设备每台的价格为x万元，乙型设备每台的价格为y万元，根据“购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲型设备m台，则购买乙型设备（10−m）台，由购买甲型设备不少于3台且预算购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出各购买方案；
（3）由每月要求总产量不低于2040吨，可得出关于m的一元一次不等式，解之结合（2）的结论即可找出m的值，再利用总价＝单价×数量求出两种购买方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】解：(1)设甲型设备每台的价格为万元,乙型设备每台的价格为万元,
根据题意得： ，
解得：
答：甲型设备每台的价格为万元,乙型设备每台的价格为万元.
(2)设购买甲型设备台,则购买乙型设备台,
根据题意得：
解得：
∵取非负整数,∴
∴该公司有种购买方案,
方案一：购买甲型设备台、乙型设备台；
方案二：购买甲型设备台、乙型设备台；
方案三：购买甲型设备台、乙型设备台
(3)由题意：,解得：,
∴为或
当时,购买资金为：(万元)
当m＝5时,购买资金为：(万元)
∵,
∴最省钱的购买方案为：选购甲型设备台,乙型设备台
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．