江苏省南京市联合体2024-2025学年九年级上学期期中学情分析练习数学试卷

这是一份江苏省南京市联合体2024-2025学年九年级上学期期中学情分析练习数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x－y＝3 B．x＝eq \F(1,x)＋1 C．x2＋3x－7＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
2．已知⊙O的半径为1，点P在⊙O外，则OP的长（ ）
A．大于1 B．小于1 C．大于2 D．小于2
3．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．(x－2)2＝－1 B．(x－2)2＝0 C．(x－2)2＝1 D．(x－2)2＝m
4．小明在处理一组数据“12，12，28，15，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在20～30之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（ ）
A．EQ \O\AL(AB,\S\UP5(⌒))＝EQ \O\AL(BC,\S\UP5(⌒)) B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD
A
M
B
O
P
（第6题）
A
B
O
C
D
（第5题）
6．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△ABP的内心．其中所有正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．一组数据为1，－1，3，2，则这组数据的极差是 ．
8．写出一个两根分别为1和2的一元二次方程： ．
9．某公司对某应聘者进行创新、综合知识、语言三项测试，三项成绩分别为72分、50分、88分．若这三个分数依次按1：2：1的比例确定综合成绩，则该应聘者的得分为 分．
10．用半径为30 cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
11．一元二次方程x2－3x＋m＝0的两根是x1，x2，则2x1＋x2＝1，则m的值为 ．
A
C
B
D
O
（第12题）
（第13题）
C
A
B
O
D
E
12．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AB)沿弦AB折叠交OC于点D，OD＝EQ \F(1,3)OC，若AB＝8，则⊙O的半径为 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则扇形ODE的面积为 ．
14．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AF，CG交于点P，则∠APC＝ °．
A
B
C
D
F
H
G
E
P
（第14题）
P
B
C
E
A
D
F
G
（第16题）
15．对于两个不相等的实数a，b，规定max{a，b}表示a，b中较大的数，例如max{1，2}＝2．则方程max{2x，x＋2}＝x2－4的解为 ．
16．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，CD上，EG与BF交于点P，AE＝1，BF＝EG，DG＞AE，则DP长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．）
17．（8分）解方程：
（1）x2－6x－4＝0； （2）3x(x－2)＝4－2x．

18．（7分）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下统计图表信息：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为S12，S22，则S12 S22（填“＞”“＜”
或“＝”）；
（3）若要从七、八年级选一个年级代表学校参加比赛，应该选哪个年级？说明理由．
19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24 m，花圃的面积为45 m2，墙的最大可用长度为10 m，求边AB的长．
A
B
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋2m－1＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是另一个根的两倍，求方程的两个根．
21．（7分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC是⊙O的直径．
A
B
C
D
O
求证：四边形ABCD是矩形．
22．（8分）某种商品原价为100元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格比第一次降价后的价格少16元．若两次降价的百分率相同且不超过50%，求降价的百分率．
23．（8分）用直尺和圆规作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积．
（1）如图①，已知扇形OAB，过点O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
（2）如图②，已知扇形OAB，作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧
平分．
（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
①
A
B
O
A
B
O
②
24．（8分）某商家购进一批产品，成本为10元/件，分为“线上”和“线下”两种销售方式．“线上”销售时：售价为16元/件，且每件产品商家需多付2元快递费；“线下”销售时：售价为12元时，线下月销量为1 200件，售价每增加1元，线下月销量就减少100件．该商家本月计划购进1 500件，预计全部售完，且“线上”销量小于“线下”销量．“线下”如何定价才可使“线上”和“线下”的月利润共可达到6 900元？
25．（8分）定义：设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1＋x2|＝|x1x2|，
则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程x2＝0是“和谐方程”．
（1）下列方程是“和谐方程”的是 ．
①x2－x＝0；②x2－4x＋4＝0；③(x＋1)(x－EQ \F(1,2))＝0．
（2）若方程x2－(m＋2)x＋2m＝0是“和谐方程”，求m的值．
（3）若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系．
F
C
E
D
A
B
H
O
G
26．（8分）如图，在□ABCD中，过点C的⊙O与AB，AD分别相切于点E，F，交BC，CD交于点G，H．连接FH，FH＝FD．
（1）求证：四边形ABGF是平行四边形；
（2）若AE＝4，BE＝6，求⊙O的半径．
27．（10分）
【问题提出】
当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？
【数学眼光】
如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角∠ACB最大，站在此处观赏最理想．
A
B
C
H
O
A
B
C
A
B
C
D
C′
H
O
① ② ③
【数学思维】
小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线HC上任取异于点C的点C′，连接AC′交⊙O于点D，连接BD，BC′……
（1）按照小明的思路完成证明过程；
【问题解决】
（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面1.8米，最大视角为30°，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？
（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米,观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离CH的长．（用含a，b，m的代数式表示）
2024－2025学年度第一学期期中学情分析练习卷
九年级数学参考答案
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分)
二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分)eq\f({ eq\r( 7 )},3) \* MERGEFORMAT
7．4 8．(x－1) (x－2)＝0（不唯一） 9．65 10．10 11．－10
12．5 13． EQ \F(5,4)π 14．67.5° 15．x1＝－2，x1＝1＋EQ \R(,5) 16．EQ \R(,34)－2
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（8分）
解：（1）x2－6x＋9－9－4＝0，1分
(x－3) 2＝13 ，2分
x－3＝±eq \r(13) ，3分
∴ x1＝3＋eq \r(13)，x2＝3－eq \r(13) ．4分
（2）3x(x－2)＝－2(x－2) ， 5分
3x(x－2)＋2(x－2)＝0 ，6分
(3x＋2) (x－2)＝0，7分
∴ x1＝－ EQ \F(2,3)，x2＝2．8分
（7分）
（1）80，86；2分
（2）＞；4分
（3）∵ EQ \\ac(\S\UP7(－),x)1＝ EQ \\ac(\S\UP7(－),x)2 ，S21＞S22，
∴两个年级的学生成绩实力相当，但八年级学生成绩更稳定，选八年级学生参赛．
（∵七年级有两位学生90分以上，最高分是99分，且七年级成绩的中位数是87分比八年级的分数高，
∴七年级的学生的中等水平较高，选择七年级去参赛可能得高分．） 7分
19．（8分）
解：设边AB的长为x m，
由题意得(24－3x)x＝45．4分
整理，得x2－8x＋15＝0．
解得x1＝3，x2＝5．6分
∵当x＝3时，24－3x＝15，15＞10，
∴x＝3不符合题意，舍去．7分
答：边AB的长为5 m．8分
20．（8分）
（1）证明：法1：∵(x－2m＋1)(x－1)＝0，1分
∴x1＝2m－1，x2＝1． 3分
∵当m＝1时，方程有两个相等的实数根，
当m≠1时，方程有两个不相等的实数根，4分
∴不论m为何值，该方程总有实数根． 5分
法2：∵a＝1，b＝－2m，c＝2m－1，
∴b2－4ac＝(－2m)2－4(2m－1)＝4m2－8m＋4 2分
＝4(m－1)2．3分
∵不论m为何值，b2－4ac＝4(m－1)2≥0，4分
∴不论m为何值，该方程总有实数根．5分
（2）解：法1：∵方程的一个根为是另一个根的两倍，
又∵由（1）可知方程的一个根为1，6分
∴方程的另一个根为2或eq \f(1,2)．7分
∴方程的两个根为x1＝eq \f(1,2)，x2＝1或x1＝1，x2＝2．8分
法2：∵方程的一个根为是另一个根的两倍，
∴设一个根为t，则另一个根为2t，
∴t＋2t＝2m，t·2t＝2m－1．6分
2t2＝3t－1．
解得：t1＝eq \f(1,2)，t2＝17分
当t＝eq \f(1,2)时，方程的两个根为x1＝eq \f(1,2)，x2＝1，
当t＝1时，方程的两个根为x1＝1，x2＝2，
∴方程的两个根为x1＝eq \f(1,2)，x2＝1或x1＝1，x2＝2．8分
21．（7分）
证明：∵AC是⊙O直径，
∴∠B＝∠D＝90°. 2分
A
B
C
D
O
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
eq \b\lc\{(\a\al(AC＝AC，,AD＝BC．))
∴ Rt△ABC≌Rt△CDA. 4分
∴AB＝CD.5分
∴四边形ABCD是平行四边形.6分
∴□ABCD是矩形.7分
22．（8分）
解：设降价的百分率为x，由题意得：
100(1－x)－100(1－x)2 ＝16，4分
整理得：x2－x＋0.16＝0．
解得：x1＝0.2，x2＝0.8（超过50%，舍去）．7分
答：降价百分率为20%．8分
A
B
C
O
23．（8分）
（1）如图，OC即为所求．
4分
（2）如图， eq \(\s\up 5(⌒),DE)即为所求．
A
B
C
D
O
A
B
D
E
O
方法1 方法2
24．（8分）
解：设定价为x元/件，由题意得：1分
(x－10)[1200－100(x－12)]＋4[1500－(2400－100x)]＝69004分
整理得：x2－38x＋345＝0，5分
解得：x1＝15，x2＝23．6分
当x＝15时，“线上”销量小于“线下”销量，符合题意；
当x＝23时，“线上”销量大于“线下”销量，不符合题意，舍去．7分
答：定价为15元/件．8分
（8分）
（1）②③；2分
（2）∵a＝1,b＝－(m＋2),c＝2m，
∴x1＋x2＝－ EQ \F(b,a)＝－(m＋2)，x1x2＝ EQ \F(c,a)＝2m．
方程x2－(m＋2)x＋2m＝0是“和谐方程”，
∴│－(m＋2)│＝│2m│4分
法1：∴ (m＋2)2＝4m2．
即3m2－4m－4＝0．
∴m＝2，m＝－EQ \F(2,3)．6分
法2：∴m＋2＝－2m，或 m＋2＝2m．
∴m＝2，m＝－EQ \F(2,3)．6分
（3）b2＝c2（或b＝±c）．8分
26．（8分）
（1）证明：∵四边形FGCH是⊙O的内接四边形，
F
C
E
D
A
B
H
O
G
N
M
∴∠FGC＋∠FHC＝180°．
又∵∠FHD＋∠FHC＝180°，
∴∠FHD＝∠FGC．
∴∠FHD＝∠FGC．
∵FH＝FD，
∴∠FHD＝∠D．
∵在□ABCD中，∠B＝∠D，
∴∠B＝∠FGC．
∴AB∥FG．
∵AF∥BG，
∴四边形ABGF是平行四边形．4分
（2）∵⊙O与AB，AD分别相切于点E，F，AE＝4，BE＝6，
∴BG＝AF＝AE＝4，FG＝10．5分
连接OE交FG于点M，过A作AN⊥FG于点N，
易证OE⊥AB，OE⊥FG，FM＝5，MN＝AE＝4，FN＝1．
在Rt△AFN中，AN＝eq \r(,15)．6分
∴EM＝AN＝eq \r(,15)．
设⊙O的半径为r，
在Rt△FOM中，52＋(r－eq \r(,15))2＝r2，r＝ eq \f(4,3)eq \r(,15)． 8分
27．（10分）
（1）证明：∵∠ADB是△DBC′的外角，
∴∠ADB＞∠AC′B．
在⊙O中，∠ACB＝∠ADB，
∴∠ACB＞∠AC′B，
∴在点C处，视角最大．3分
（2）过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA．
由题意得：AB=3－1.8=1.2米，AB⊥HC，∠ABC＝30°，HC为⊙O切线．
A
H
C
B
E
O
N
M
∴在⊙O中，∠AOB＝2∠ACB＝60°，
A
H
C
B
E
O
N
M
又∵AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝BO=AB=1.2．
∵OE⊥AB， ∴AE＝BE＝ EQ \F(1,2)AB＝ eq \f(3,5)．
在Rt△OAE中，OE＝ eq \f(3,5)eq \r(,3)，
∵HC为⊙O切线，
∴OC⊥HC．∴∠OEA＝∠EHC＝∠OCH＝90°．
∴四边形OEHC为矩形．
∴CH＝OE＝ eq \f(3,5)eq \r(,3)，即观赏者站在距离墙壁 eq \f(3,5)eq \r(,3)米处最理想．7分
CN＝HM＝AM－AE－OC＝1.2，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米．8分
（3）eq \r((a－m)(b－m))．10分 平均数
众数
中位数
七年级参赛学生成绩
85.5
m
87
八年级参赛学生成绩
85.5
85
n
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
A
B
B
C
D