郑州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份郑州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．圆心为，且与y轴相切的圆的方程是( )
A.B.
C.D.
3．已知,,，若不能构成空间的一个基底，则( )
A.3B.1C.5D.7
4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线l的一个法向量为，则直线l的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为( )
A.B.C.D.
5．台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为( )
A.1hB.C.2hD.
6．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线,所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．直线与曲线恰有1个公共点，则实数b的取值范围是( )
A.B.
C.D.或
8．在正三棱柱中，，，，M为棱上的动点，N为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为( )
A.2B.C.D.
二、多项选择题
9．以下四个命题为真命题的是( )
A.过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为
B.直线的倾斜角的范围是
C.已知，，则边的中垂线所在的直线的方程为
D.直线关于对称的直线方程为
10．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k（且）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，，圆上有且只有一个点P满足，则r的取值可以是( )
A.1B.4C.3D.5
11．已知正方体的棱长为3，E，F分别为棱,上的动点.若直线与平面所成角为，则下列说法正确的是( )
A.任意点E，F，二面角的大小为
B.任意点E，F，点C到面的距离为
C.存在点E，F，使得直线与所成角为
D.存在点E，F，使得线段长度为
三、填空题
12．已知点到直线和直线的距离相等，则________.
13．如图，在棱长为1的正方体中，点P、Q分别是棱上的动点.若异面直线、互相垂直，则________.
14．已知实数、、、满足，，，则的最大值为________.
四、解答题
15．已知的顶点,,,线段AB的中点为D,且.
（1）求m的值;
（2）求BC边上的中线所在直线的方程.
16．如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，.
(1)证明：；
(2)若，求点B到平面的距离.
17．已知圆，直线.
(1)若直线l与圆O相切，求m的值；
(2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程.
18．在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E是的中点，G在线段上，且满足.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
(3)在线段上是否存在点H，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19．一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度.
(1)已知为直角边为1的等腰直角三角形，其中，求分别以三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；
(2)已知正方体的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和外接圆构成的几何系统的区径；
(3)已知正方体的棱长为2，求正方形内切圆和正方形内切圆构成的几何系统的区径.
参考答案
1．答案：B
解析：因为直线l的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
故直线的倾斜角为.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题意，圆心坐标为，可知AB错误；
设圆心半径为r，且圆心到轴的距离为，
则由圆与y轴相切可得，
故圆的方程为：.
故选：C.
3．答案：B
解析：若不能构成空间的一个基底，
,,共面，
存在,，使，
即，
解得，
故选：B.
4．答案：B
解析：根据题意进行类比，在空间任取一点，则，
平面的法向量为，，
所以该平面的方程为.
故选：B.
5．答案：C
解析：
如图所示，以点M为坐标原点建立直角坐标系，则，
以N为圆心，为半径作圆，
则圆的方程为，
当台风进入圆内，则城市N处于危险区，
又台风的运动轨迹为，
设直线与圆的交点为A，B，
圆心N到直线的距离，
则，
所以时间，
故选：C.
6．答案：D
解析：取的中点O，连接，由四边形为菱形，，
得，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，又四边形为正方形，
故以O为坐标原点，为y轴建立如图空间直角坐标系，
设，则,,,，
故,，
所以，
即直线,所成角的余弦值为.
故选：D
7．答案：D
解析：曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，
当直线与曲线相切时，
则圆心到直线的距离为，
可得（正根舍去），
当直线过,时，，
如图，直线与曲线恰有1个公共点，则或.
故选：D.
8．答案：D
解析：因为正三棱柱中，有，所以O为的中点，取中点Q，连接，如图，以O为原点，,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则,,,，
因为M是棱上一动点，设，且，
因为，且，
所以，于是令,，
所以，，
又函数在上为增函数，
所以当时，，即线段长度的最小值为.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：选项A，当直线过原点时直线方程为，
当直线不过原点时，设直线方程为，
将点代入得，解得，
所以直线方程为，
综上所述该直线方程为或，错误；
选项B，因为直线的斜率为，所以，所以倾斜角的范围是，正确；
选项C，点B，C的中点为，直线的倾斜角为，
则边的中垂线所在的直线平行于x轴，即该直线方程为，故C正确；
选项D，设直线关于对称的直线上任意一点的坐标为，
则该点关于点对称的点为，
将点代入得
，即，故D正确；
故选：BCD.
10．答案：AD
解析：设，由，
得，
整理得，
又圆上有且仅有一点P满足，
所以两圆相切，圆的圆心坐标为，半径为2，
圆的圆心坐标为，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，得.
综上可知，或5.
故选：AD.
11．答案：ABD
解析：如图，作，垂足为M，连接，
因为平面，所以是在平面上的射影，所以，
是二面角的平面角，
,是平面内两条相交直线，所以平面，
而平面，所以平面平面，
则是在平面内的射影，是直线与平面所成的角，
又是直角三角形，由已知，所以，A正确；
，则，，中斜边上的高为，由平面平面，得C到直线的距离就是C到平面的距离，B正确；
，所以（它是锐角）就是与所成的角，在中，显然有，因此，锐角，因此直线与所成角不可能是，C错；
设,，则，
由三角形面积有，所以，
当且仅当时等号成立，所以，取等号时，，D正确.
故选：ABD.
12．答案：或
解析：由题知，化简得，
所以，解得或.
故答案为：或.
13．答案：1
解析：如图，建立空间直角坐标系，设,,,.则,.故.所以，.
故答案为1
14．答案：
解析：设,，O为坐标原点，则,，
由,,，
可得A,B两点在圆上，且，则，
所以三角形为等边三角形，，
的几何意义为A,B两点到直线的距离与之和，
记线段,的中点分别是C,，O到直线的距离为，
则有，且，
所以，
所以的最大值为，
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,所以D的坐标为,
因为,所以,
解得.
（2）设线段BC的中点为E,由（1）知,则,
所以,
所以直线AE的方程为,化简得,
即BC边上的中线所在直线的方程为.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）因为，，
所以，所以，
因为为直四棱往，
所以，因为，面，
所以面，
因为，所以面，
因为面，所以.
（2）由（1）及题意知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，.
所以，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，解得，，
，
所以点B到平面的距离为.
17．答案：(1)；
(2).
解析：（1）（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切，
所以，解得；
（2）当时，直线，连接，，则，，
所以O，A，P，B四点共圆，切线长，
故最短当且仅当最短，即时最短，
因为，所以，此时，
所以，
联立得，
故以为直径的圆的方程为，
因为弦即圆O与上述圆的公共弦，
所以弦所在直线方程为.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，
解析：（1）如图，取中点M，
因为且，
又因为E，M分别为，的中点，
所以且，
所以且，四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，
因为，所以，又，
又因为，，所以，
如图2，以D为原点，，，所在方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设点G坐标为，则，，
由得，则，所以，，
设平面的一个法向量为，由，
令，得，
设平面的一个法向量为，由，
令，得，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
（3）存在，，理由如下：
设，，
所以，所以，
所以，
因为与平面所成角的正弦值为，所以，
整理得，解得，（舍），
所以存在满足条件的点H，，
则.
19．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）如图，若几何系统中的两点分别在两圆上，不妨设其中一点N在上.
若另一点M在上，则，当M,E,D,N共线时取到等号；
若另一点M在上，则，当M,F,D,N共线时取到等号；
若两点在同一圆上，则最大距离为直径，即.
综上，该几何系统的区径为.
（2）记棱切球的球心为O，即为正方体的中心，易求得棱切球的半径为.
因为为正三角形，记它的外接圆圆心为，
得其半径为.又，
则球心O到的外接圆上任意一点的距离均为，圆与球O的位置关系如图：
若两点分别在球上和圆上，设点M在球O上，点N在上，则有，.
所以，当M,O,N三点共线，且M,N在O的异侧时取到等号.
若两点同时在球上或圆上，则最大距离为的直径，即.
综上，该几何系统的区径为.
（3）如图以D为原点建立空间直角坐标系，
在平面上，的方程为；
在平面上，的方程为.
若两点分别在两圆上，设点M在上，点在上，
且,.
则
（其中为辅助角），
即，等号成立当且仅当.
若两点在同一个圆上，则最大距离为的直径，即2.
综上，该几何系统的区径为.