江苏省宿迁市泗洪县新星中学2023--2024学年上学期八年级期中数学反馈测试卷

这是一份江苏省宿迁市泗洪县新星中学2023--2024学年上学期八年级期中数学反馈测试卷，共21页。试卷主要包含了下列各数中，下列各式中运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．轴对称图形以其特有的对称美，给人们带来了一种和谐的美感．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．下列各数中：，0，，，，0.32，（）0，，0.1010010001中，无理数个数有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
3．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝∠A+∠CB．∠A：∠B：∠C＝5：12：13
C．a2＝b2﹣c2D．a：b：c＝5：12：13
4．下列各式中运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．2﹣1＝﹣2C．＝±4D．|﹣6|＝6
5．如图，若AB＝AD，BC＝CD，那么判断△ABC≌△ADC的依据是（ ）
A．SASB．HLC．ASAD．SSS
6．在△ABC中，AB＝AC，△ABC的中线BD将这个三角形的周长分为9和15两个部分，则BC长为（ ）
A．12B．4C．12或4D．6或10
7．如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（ ）
A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E
B．∠BDC＝3∠ABD
C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形
D．当E为AB中点时，
8．如图，在等边△ABC中，AC＝6，点O在AC上，且AO＝2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共10小题）
9．已知a，b，c满足，则a+b+c的平方根是 ．
10．将15.215用四舍五入法取近似值，精确到0.01为 ．
11．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是 ；
若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为 ．
12．若等腰三角形的周长为12，三边长都是整数，则其底边长为 ．
13．如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论．
（1）已知AB＝AC，∠1＝∠2，则 ；
（2）已知AB＝AC，BD＝DC，则 ；
（3）已知AB＝AC，AD⊥BC，则 ．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若∠BAC＝100°，则∠EAF＝ °．
15．如图，矩形纸片ABCD的长和宽分别为8和6，将纸片沿矩形的对角线折叠，重叠部分的面积等于 ．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点C，若DE＝3cm，则AC＝ cm．
17．如图所示，已知∠1＝∠2，AB＝DE，请你添加一个条件使△ABC≌△DEF，你添加的条件是 ．
18．已知：如图，边长为4的正方形ABCD中，点E为边DC上一点，且DE＝1，在AC上找一点P，则DP+EP的最小值为 ．
三．解答题（共10小题）
19．计算：（﹣2）2﹣20+|﹣2|+﹣．
20．解方程．
（1）3（x+1）2＝27．
（2）（x﹣2）3＝27．
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动，点P以每秒1个单位的速度、点Q以每秒3个单位的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过P和Q点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多长时间时，△PEC与△QFC全等？并说明理由．
22．按要求作图，保留作图痕迹，不写作法
（1）如图1，点D在直线l上，作出四边形ABCD关于直线l的对称的四边形；
（2）如图2，在直线l上求作一点P，使得点P到A、B两点的距离相等．
23．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝CD
（1）△ABF与△CDE全等吗？为什么？
（2）求证：BD平分EF．
24．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，DE是BC的垂直平分线．
（1）求△ABE的周长；
（2）求线段DE的长．
25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E．求证：△AEF为等腰三角形．
26．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F．
（1）在图中找出与△ABD全等的三角形，并证明你的结论；
（2）证明：BD＝2EC．
27．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）∠CMQ的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）连接PQ，当点P、Q运动多少秒时，△APQ是等腰三角形？
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．
（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．
①求证：∠OAF＝∠OCD；
②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；
（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．轴对称图形以其特有的对称美，给人们带来了一种和谐的美感．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：左起第一、第三、第四共3个图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
第二个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列各数中：，0，，，，0.32，（）0，，0.1010010001中，无理数个数有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：无理数有：，，共有3个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝∠A+∠CB．∠A：∠B：∠C＝5：12：13
C．a2＝b2﹣c2D．a：b：c＝5：12：13
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：A、∠B＝∠A+∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝5：12：13，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝180°×＝78°，不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、由a2＝b2﹣c2，得a2+c2＝b2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设a＝5k，b＝12k，c＝13k，由a2+b2＝25k2+144k2＝169k2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．解题的关键是掌握直角三角形的判定方法，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．下列各式中运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．2﹣1＝﹣2C．＝±4D．|﹣6|＝6
【分析】根据有理数的乘方、负整数指数幂、绝对值、幂的乘方与积的乘方、二次根式的化简等知识点进行作答．
【解答】解：A、应为a2•a3＝a5，故本选项错误；
B、应为2﹣1＝，故本选项错误；
C、应＝4，故本选项错误；
D、|﹣6|＝6，正确．
故选：D．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．
5．如图，若AB＝AD，BC＝CD，那么判断△ABC≌△ADC的依据是（ ）
A．SASB．HLC．ASAD．SSS
【分析】已知条件“AB＝AD，BC＝CD”和“公共边AC”是△ABC与△ADC中的三条对应边．
【解答】解：∵在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．在△ABC中，AB＝AC，△ABC的中线BD将这个三角形的周长分为9和15两个部分，则BC长为（ ）
A．12B．4C．12或4D．6或10
【分析】因为已知条件给出的15或9两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
【解答】解：根据题意，
①当12是腰长与腰长一半时，AC+AC＝15，解得AC＝10，所以腰长为4；
②当9是腰长与腰长一半时，AC+AC＝9，解得AC＝6，所以腰长为12，
∵6+6＝12，
∴不符合题意．
故腰长等于4．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（ ）
A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E
B．∠BDC＝3∠ABD
C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形
D．当E为AB中点时，
【分析】对于选项A，连接DE，根据CE⊥AB，点D是AC的中点得DE＝AD＝CD＝1/2AC，则BE＝DE，进而得点D在线段BD的垂直平分线上，由此可对选项A进行判断；
对于选项B，设∠ABD＝α，根据BE＝DE得∠EDB＝∠ABD＝α，的∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，再根据DE＝AD得∠A＝∠AED＝2α，则∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，由此可对选项B进行判断；
对于选项C，当E为AB中点时，则BE＝1/2AB，CE是线段AB的垂直平分线，由此得AC＝BC，然后根据BE＝AB，CD＝AC，BE＝CD得AB＝AC，由此可对选项C进行判断；
对于选项D，连接AO并延长交BC于F，根据E为AB中点，D为AC的中点得点F为BC的中点，再根据△ABC是等边三角形得∠OBC＝∠OAC＝30°，则OA＝OB，进而得OB＝2OF，AF＝3OF，由此得S△OBC＝BC•OF，S△ABC＝BC•AF＝BC•OF，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
连接DE，如图1所示：
∵CE⊥AB，点D是AC的中点，
∴DE为Rt△AEC斜边上的中线，
∴DE＝AD＝CD＝AC，
∵BE＝CD，
∴BE＝DE，
∴点D在线段BD的垂直平分线上，
即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，
故选项A正确，不符合题意；
对于选项B，
设∠ABD＝α，
∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠ABD＝α，
∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，
∵DE＝AD，
∴∠A＝∠AED＝2α，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，
即∠BDC＝3∠ABD，
故选B正确，不符合题意；
对于选项C，
当E为AB中点时，则BE＝1/2AB，
∵CE⊥AB，
∴CE是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，
∵BE＝AB，CD＝AC，BE＝CD，
∴AB＝AC，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
故选C正确，不符合题意；
对于选项D，
连接AO，并延长交BC于F，如图2所示：
当E为AB中点时，
∵点D为AC的中点，
∴根据三角形三条中线交于一点得：点F为BC的中点，
∵当E为AB中点时，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC，
∴∠OBC＝∠OAC＝30°，
∴OA＝OB，
在Rt△OBF中，OB＝2OF，
∴OA＝OB＝2OF，
∴AF＝OA+OF＝3OF，
∴S△OBC＝BC•OF，S△ABC＝BC•AF＝BC•OF，
∴，
故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
8．如图，在等边△ABC中，AC＝6，点O在AC上，且AO＝2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A＝∠C＝60°，根据旋转角是60°求出∠AOP+∠COD＝120°，再根据三角形内角和定理求出∠AOP+∠APO＝120°，从而得到∠APO＝∠COD，然后利用“角角边”证明△AOP和△CDO全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝CO，然后根据CO＝AC﹣AO计算即可得解．
【解答】解：在等边△ABC中，∠A＝∠C＝60°，
∵旋转角是60°，
∴∠AOP+∠COD＝120°，
在△AOP中，∠AOP+∠APO＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，
∴∠APO＝∠COD，
在△AOP和△CDO中，，
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP＝CO，
∵CO＝AC﹣AO＝6﹣2＝4，
∴AP＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，根据角的度数求出∠APO＝∠COD是解题的关键，也是本题的难点．
二．填空题（共10小题）
9．已知a，b，c满足，则a+b+c的平方根是 ±2 ．
【分析】根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后根据平方根的定义进行求解即可．
【解答】解：∵，，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c+3＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝﹣3，
∴a+b+c＝3+4+（﹣3）＝4，
∴a+b+c的平方根是±2．
故答案为：±2．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，平方根，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键．
10．将15.215用四舍五入法取近似值，精确到0.01为 15.22 ．
【分析】把千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【解答】解：将15.215用四舍五入法取近似值，精确到0.01为15.22，
故答案为：15.22．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
11．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是 1+ ；
若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为 1+ ．
【分析】根据当O到AB的距离最大时，OP的值最大，得到O到AB的最大值是AB＝1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理求出PM，即可求出答案；将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，根据22+22＝，得到∠PBA＝90°，由勾股定理求出PM即可
【解答】解：取AB的中点M，连OM，PM，
在Rt△ABO中，OM＝＝1，在等边三角形ABP中，PM＝，
无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，
∵O到AB的最大值是AB＝1，
此时在斜边的中点M上，
由勾股定理得：PM＝＝，
∴OP＝1+，
将△AOP的PA边长改为，另两边长度不变，
∵22+22＝，
∴∠PBA＝90°，由勾股定理得：PM＝＝，
∴此时OP＝OM+PM＝1+．
故答案为：1+，1+．
【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出PO的值是解此题的关键．
12．若等腰三角形的周长为12，三边长都是整数，则其底边长为 2或4 ．
【分析】此题我们可以采用列举法．即分别用整数代入题目中从而确定答案．
【解答】解：当腰长为4时，则底边＝12﹣8＝4，因为4﹣4＜4＜4+4，所以符合题意；
当腰长是5时，则底边＝12﹣10＝2，因为5﹣2＜5＜5+2，所以符合题意；
当腰长为3时，则底边＝12﹣6＝6，因为3+3＝6，所以不合题意，故舍去；
当腰长为6时，则底边＝12﹣12＝0，不符合题意，故舍去；
故答案为：2或4．
【点评】此题主要考查三角形三边关系及等腰三角形性质的运用；列举法在做选择题和填空题时有时非常好用，注意掌握．
13．如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论．
（1）已知AB＝AC，∠1＝∠2，则 BD＝CD，AD⊥BC ；
（2）已知AB＝AC，BD＝DC，则 ∠1＝∠2，AD⊥BC ；
（3）已知AB＝AC，AD⊥BC，则 BD＝CD，∠1＝∠2 ．
【分析】（1）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解；
（2）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解；
（3）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
故答案为：BD＝CD，AD⊥BC；
（2）∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠1＝∠2，AD⊥BC，
故答案为：∠1＝∠2，AD⊥BC；
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠1＝∠2，
故答案为：BD＝CD，∠1＝∠2．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若∠BAC＝100°，则∠EAF＝ 20 °．
【分析】由DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，可得AE＝BE，AF＝CF，即可得∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，继而求得∠BAE+∠CAF的度数，则可求得答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，
∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠BAE+∠CAF＝80°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝100°﹣80°＝20°．
故答案为：20．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．
15．如图，矩形纸片ABCD的长和宽分别为8和6，将纸片沿矩形的对角线折叠，重叠部分的面积等于 ．
【分析】先根据图形反折变换的性质得出BC＝EC，再由全等三角形的判定定理得出△ADF≌△CEF，故可得出DF＝EF，设DF＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△ADF中，利用勾股定理即可求出x的值，故可得出CF的长，利用三角形的面积公式即可求出△ACF的面积．
【解答】解：∵△ACE由△ACB反折而成，
∴AB＝AE＝8，CE＝BC＝AD＝6，∠B＝∠E＝90°，
在△ADF与△CEF中，
∵，
∴△ADF≌△CEF，
∴DF＝EF，
设DF＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△ADF中，
∵AD2+DF2＝AF2，即62+x2＝（8﹣x）2，解得x＝，
∴CF＝CD﹣DF＝8﹣＝，
∴重叠部分的面积＝S△ACF＝CF•AD＝××6＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是图形的反折变换，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点C，若DE＝3cm，则AC＝ 9 cm．
【分析】根据角平分线性质求出DC，根据含30°角的直角三角形性质求出AD，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点C，DE＝3cm，∠C＝90°，
∴DE＝DC＝3cm，∠DEA＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AD＝2DE＝6cm，
∴AC＝AD+DC＝6cm+3cm＝9cm，
故答案为：9．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形性质，角平分线性质的应用，能熟记两个定理是解此题的关键，注意：①角平分线上的点到角两边的距离相等，②在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
17．如图所示，已知∠1＝∠2，AB＝DE，请你添加一个条件使△ABC≌△DEF，你添加的条件是 ∠A＝∠D（答案不唯一） ．
【分析】根据题意可增加∠A＝∠D，由全等三角形的判定AAS得出答案．
【解答】解：添加的条件是∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
18．已知：如图，边长为4的正方形ABCD中，点E为边DC上一点，且DE＝1，在AC上找一点P，则DP+EP的最小值为 5 ．
【分析】BE交AC于P′，如图，根据正方形的性质得到点B、D关于AC对称，则P′D＝P′B，利用两点之间线段最短可判断此时P′D+P′E的值最小，接着利用勾股定理计算出BE，所以当P点与P′重合时得到DP+EP的最小值．
【解答】解：BE交AC于P′，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点B、D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BD，
∴此时P′D+P′E的值最小，
∵CE＝CD﹣DE＝4﹣1＝3，BC＝4，
∴BE＝＝5，
∴此时P′D+P′E的最小值为5，
当P点与P′重合时，DP+EP的最小值为5．
故答案为5．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．也考查了正方形的性质．
三．解答题（共10小题）
19．计算：（﹣2）2﹣20+|﹣2|+﹣．
【分析】首先计算乘方、零指数幂、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（﹣2）2﹣20+|﹣2|+﹣
＝4﹣1+2+（﹣2）﹣3
＝0．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20．解方程．
（1）3（x+1）2＝27．
（2）（x﹣2）3＝27．
【分析】（1）根据平方根的定义，由3（x+1）2＝27得x+1＝±3，进而求得x＝2或x＝﹣4．
（2）根据立方根的定义，由（x﹣2）3＝27得x﹣2＝3，进而求得x＝5．
【解答】解：（1）∵3（x+1）2＝27，
∴（x+1）2＝9．
∴x+1＝±3．
当x+1＝3时，x＝2．
当x+1＝﹣3时，x＝﹣4．
综上：x＝2或x＝﹣4．
（2）∵（x﹣2）3＝27，
∴x﹣2＝3．
∴x＝5．
【点评】本题主要考查平方根以及立方根，熟练掌握平方根以及立方根是解决本题的关键．
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动，点P以每秒1个单位的速度、点Q以每秒3个单位的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过P和Q点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多长时间时，△PEC与△QFC全等？并说明理由．
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：点P运动1或或12秒时，△PEC与△QFC全等．理由如下：
分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
即6﹣t＝8﹣3t，
t＝1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC＝t﹣6，QC＝3t﹣8，
∵由①知：PC＝CQ，
∴t﹣6＝3t﹣8，
t＝1；
t﹣6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，
CP＝6﹣t＝3t﹣8，
t＝；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，t﹣6＝6时，解得t＝12．
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
答：点P运动1或或12秒时，△PEC与△QFC全等．
【点评】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
22．按要求作图，保留作图痕迹，不写作法
（1）如图1，点D在直线l上，作出四边形ABCD关于直线l的对称的四边形；
（2）如图2，在直线l上求作一点P，使得点P到A、B两点的距离相等．
【分析】（1）分别作出A、B、C的对称点A′、B′、C′即可；
（2）作线段AB垂直平分线，交直线l于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图1所示，四边形A'B'C'D即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝CD
（1）△ABF与△CDE全等吗？为什么？
（2）求证：BD平分EF．
【分析】（1）求出AF＝CE，∠BFA＝∠DEC＝90°，根据HL证出Rt△ABF≌Rt∠CDE即可；
（2）求出BF＝DE，根据AAS证出△BFG≌△DEG即可．
【解答】（1）解：△ABF≌△CDE，
理由是：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠DEC＝90°，
在Rt△ABF和Rt∠CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt∠CDE（HL）．
（2）证明：∵Rt△ABF≌Rt∠CDE，
∴BF＝DE，
在△BFG和△DEG中，
，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG＝FG，
即BD平分EF．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
24．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，DE是BC的垂直平分线．
（1）求△ABE的周长；
（2）求线段DE的长．
【分析】（1）由垂直平分线的性质结合三角形的周长公式计算可求解；
（2）由勾股定理可求解BE，BC的长，再利用线段垂直平分线的性质可求得BD的长，再根据勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC＝6+8＝14；
（2）在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2，
即（8﹣BE）2+62＝BE2，
解得：BE＝，
在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
即BC2＝62+82＝100，
解得：BC＝10，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD＝5，∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2，
即52+DE2＝（）2，
解得：DE＝．
【点评】本题主要考查勾股定理，线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E．求证：△AEF为等腰三角形．
【分析】由在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，易得∠BAD＝∠C，又由BE平分∠ABC，∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，即可证得∠AFE＝∠AEF，继而证得：△AEF为等腰三角形．
【解答】证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE，
即△AEF为等腰三角形．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
26．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F．
（1）在图中找出与△ABD全等的三角形，并证明你的结论；
（2）证明：BD＝2EC．
【分析】（1）可利用ASA判断△ABD≌△ACF；
（2）根据（1）可得BD＝CF，证明△BFE≌△BCE，可得出EF＝CE＝CF，继而可得出结论．
【解答】（1）解：△ABD≌△ACF，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠FAC＝∠BAC＝90°，
∵BD⊥CE，∠BAC＝90°，
∴∠ADB＝∠EDC，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
（2）证明：∵△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF，
∵BD⊥CE，
∴∠BEF＝∠BEC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠FBE＝∠CBE，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝EC，
∴CF＝2CE，
∴BD＝2CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
27．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）∠CMQ的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）连接PQ，当点P、Q运动多少秒时，△APQ是等腰三角形？
【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAQ＝∠ACP，根据三角形的外角的性质解答；
（3）分三种情况分别讨论即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
∵点P、Q的速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ和△CAP中
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：∠CMQ的大小不发生变化，
∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠QMC＝∠QAC+∠ACP
＝∠QAC+∠BAQ
＝60°；
（3）解：当AP＝AQ时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立，
故不符合题意；
当PQ＝AQ时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立，
故不符合题意；
当AP＝PQ时，如图，
当AQ⊥BC时，AP＝BP＝PQ，
故t＝2÷1＝2时，△APQ为等腰三角形；
综上，当点P、Q运动2秒时，△APQ为等腰三角形．
【点评】本题考查全等三角形的判定、直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．
（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．
①求证：∠OAF＝∠OCD；
②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；
（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得出OA＝OB＝OC，OA⊥OC，证明△OAF≌△OCD（ASA），由全等三角形的性质得出∠OAF＝∠OCD；
②由全等三角形的性质求出AD＝3，由勾股定理可求出答案；
（2）过点O作OE⊥OD，交DA的延长线于点E，证明△OCD≌△OAE（AAS），由全等三角形的性质得出CD＝AE，OD＝OE，则可得出结论．
【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，
∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，
∵OE⊥OD，
∴∠AOC＝∠EOD＝90°，
∴∠AOF＝∠COD，
∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，
∴∠OAM＝∠MCD，
∴△OAF≌△OCD（ASA），
∴∠OAF＝∠OCD；
②解：∵△OAF≌△OCD，
∴AF＝CD＝1，
∵DF＝2，
∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵AC＝AB，
∴BC＝AC＝＝2；
（2）解：AD+CD＝OD．
理由：过点O作OE⊥OD，交DA的延长线于点E，
∵∠DOE＝∠AOC＝90°，
∴∠AOE＝∠COD，
∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，
∴∠ODC＝∠OEA，
又∵OA＝OC，
∴△OCD≌△OAE（AAS），
∴CD＝AE，OD＝OE，
∴DE＝OD，
∴AD+AE＝AD+CD＝OD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．