大庆铁人中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份大庆铁人中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设命题,,则为( )
A.,B.,
C.,D.,
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知,则下列结论不正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,则D.若,则
4．下列各组函数是同一个函数的是( )
A.与B.与
C.与D.与
5．“”是“方程有实数解”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知关于x的不等式的解集为,则( )
A.B.不等式的解集是
C.D.不等式的解集为或
7．存在三个实数,,使其分别满足下述两个等式：
(1)
(2)
其中M表示三个实数,,中的最小值,则( )
A.M的最大值是B.M的最大值是-2
C.M的最小值是D.M的最小值是-2
8．一般地,若函数的定义域为,值域为,则称为的“k倍跟随区间”;特别地,若函数的定义域为,值域也为,则称为的“跟随区间”.下列结论不正确的是( )
A.函数存在跟随区间
B.若为的跟随区间,则
C.函数存在跟随区间
D.二次函数存在“2倍跟随区间”
二、多项选择题
9．已知函数,则关于函数正确的说法是( )
A.函数的定义域为B.函数在单调递减
C.函数值域为D.不等式的解集为
10．下列说法正确的有( )
A.函数 的最小值为2
B.已知,则的最小值为
C.若正数x,y满足,则的最小值为3
D.设,,,则的最小值为
11．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为：设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,如,.若,,则下列说法正确的是( )
A.当时,
B.
C.函数的值域为
D.当时,函数的值域为
三、填空题
12．已知函数的定义域,则函数的定义域为______________.
13．我们用符号表示a,b,c三个数中较大的数,若,,则的最小值为_____________.
14．已知,,若任给,存在,使得,则实数a的取值范围_____________.
四、解答题
15．已知集合,.
(1)当时,求;;
(2)若,求实数a的取值范围.
16．已知函数经过,两点.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明;
(3)若对任意恒成立,求实数m的取值范围.
17．已知函数对任意x满足：,二次函数满足：且.
(1)求,的解析式;
(2)若,解关于x的不等式.
18．已知函数,
(1)若函数在上单调递增,求实数m的取值范围;
(2)若对任意恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设函数在上的最小值为,求函数的表达式.
19．问题：正实数a,b满足,求的最小值.其中一种解法是：,当且仅当且时,即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x,y满足,求的最小值;
(2)若实数a,b,x,y满足,求证：;
(3)求代数式的最小值,并求出使得M最小的m的值.
参考答案
1．答案：B
解析：由全称命题的否定为特称命题,则原命题的否定为,.
故选：B.
2．答案：B
解析：由,可得,
由,可得,
所以.
故选：B.
3．答案：C
解析：对于A,由,得,而,则,正确;
对于B,由,,得,正确;
对于C,若,当时,则,不正确;
对于D,因,由,可得,正确.
故选：C.
4．答案：D
解析：对于A,函数的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数,所以A不符合题意;
对于B,函数,,所以两个函数的对应关系不同,所以不是同一个函数,所以B不符合题意;
对于C,函数的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数,所以C不符合题意;
对于D,由函数与的定义域与对应关系都相同,所以是同一个函数,所以D符合题意.
故选：D.
5．答案：B
解析：当时,此时的方程为,即无解,所以有实数解;
因为,所以,即,所以方程有实数解;
所以“”是“方程有实数解”的必要不充分条件.
故选：B.
6．答案：C
解析：对A,由不等式的解集为可知,A错误;
对B,又2和3是方程的两根,由韦达定理可得,
即,所以,
解得,B错误;
对C,,C正确;
对D,,解得,D错误.
故选：C.
7．答案：B
解析：由已知得,,,中必有2个正数,1个负数,
设,,,则,
因为,所以,
所以,即,
所以,由得,,即,
所以,
故选：B.
8．答案：C
解析：对于A,因为在R上单调递增,所以对于,其值域为,
由“跟随区间”的定义可知函数存在无数个跟随区间,故A正确;
对于B,若为的跟随区间,且的对称轴为,
所以,解得或（舍）,故B正确;
对于C,假设存在“跟随区间”,
因为在单调区间,上均单调递减,
则有,解得,
此时在内包含0,时函数无意义,故不存在跟随区间,故C错误;
对于D,若函数存在2倍跟随区间,
设定义域为,值域为,
当时,函数在定义域上单调递增,则,
则a,b是方程的两个不相等的实数根,解得或 ,
故存在定义域为使得值域为,D正确.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：由,要使函数有意义,则,解得,
则函数的定义域是,值域为,故A正确;
向左平移一个单位,得到,再向上平移1个单位,得到,
因为函数在上为减函数,所以函数在单调递减,
函数在单调递减,故B正确;
由,知,,所以,
所以函数值域为,故C错误;
不等式即,所以,所以,
所以不等式的解集为,故D正确.
故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：对A,令,则,
因为在上单调递增,所以,A错误;
对B,,
当且仅当,即时,等号成立,所以B正确;
对C,由得,
所以,
当且仅当时,等号成立,所以C正确;
对D,由得,
所以
,
当且仅当,即时,等号成立,所以D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：对于A,当时,,正确;
对于B,因为,,使得,此时,
从而,错误;
对于C,由B选项解题思路可知,函数是以1为周期的周期函数,
故只需讨论在上的值域即可,
当时,,即函数的值域为,正确;
对于D,当时,,当时,,
当时,,依次类推,当时,,取并集得函数的值域为,正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由函数的定义域得要使函数有意义,则满足,
解得或,即函数的定义域为.
故答案为：.
13．答案：2
解析：联立,解得,
联立,解得或,
联立,解得或,
作出函数的图象如图：
由图可知,则的最小值为.
故答案为：2.
14．答案：
解析：当时,
可知在上单调递减,在上单调递增,
所以在上的值域为,在上的值域为,
所以在上的值域为,
当时,为增函数,在上的值域为,
所以,解得：
当时,为减函数,在上的值域为,
所以,解得：
当时,为常数函数,值域为,不符合题意;
综上：a的取值范围是.
15．答案：(1)或,
(2)
解析：(1)由得,所以,
所以或,
当时,,或,
所以或,.
(2)由,得,由(1)知,,
当,即时,,满足,因此;
当,即时,,为使得,
需满足,解得,因此,
综上,或,
即实数a的取值范围.
16．答案：(1)
(2)在上单调递减,证明见解析
(3)
解析：(1),,
,解得,
.
(2)在上单调递减,证明如下：
任取,,且,
则,
,,且,
,,
,
,即,
所以函数在上单调递减.
(3)由对任意恒成立得,
由(2)知在上单调递减,
函数在上的最大值为,
,
所求实数m的取值范围为.
17．答案：(1),
(2)答案见解析
解析：(1)①,
用代替上式中的x,
得②,
联立①②,可得;
设,
所以,
即
所以,解得,,
又,得,所以.
(2)因为,
即,
化简得,,
①当时,,不等式的解为;
②当,即,即时,不等式的解为或;
③当,即,即或,
当时,不等式的解为或,
当时,不等式的解为,
④当,即时,,解得且,
综上所述,当时,不等式的解为;
当时,不等式的解为;
当时,不等式的解为或;
当时,不等式的解为且;
当时,不等式的解为或.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为函数在上单调递增,
当,即时,满足函数在单增,所以;
当时,若在上单调递增,则需满足,解得,
综上：.
所求实数m的取值范围为.
(2)当时,,由得,不符合题意;
当,为使得恒成立,则需满足,
即,解得;
综上：,实数m的取值范围为.
(3)二次函数的对称轴为.
当,即时,在上单调递增,
此时;
当,即时,在上单调递减,在上单调递增,
此时;
当,即时,在上单调递减,
此时.
综上,.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)时,M取得最小值.
解析：(1)因为,,,
所以,
当且仅当,即,时取等号,
所以的最小值是.
(2),
又,当且仅当时等号成立,
所以,
所以,当且仅当且x,y同号时等号成立.此时x,y满足.
(3)令,,由得,
,
又,,所以,
构造,
由,可得,因此,,
由(2)知,
取等号时,且x,y同正,
结合,解得,即,.
所以时,M取得最小值.